1、平行線分線段成比例 平行線分線段成比例定理及其推論1. 平行線分線段成比例定理如下圖,如果1l 2l 3l ,則BC EF AC DF =,AB DE AC DF =,AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行線分線段成比例定理的推論:如圖,在三角形中,如果DE BC ,則AD AE DEAB AC BC=ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理:如上圖,如果有BCDEAC AE AB AD =,那么DE BC 。 專題一、平行線分線段成比例定理及其推論基本應用【例1】 如圖,DE BC ,且DB AE =,若510AB AC =,求AE 的長。EDCBA【例

2、2】 如圖,已知/AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求證:111cab=+.FE DCBA【鞏固】如圖,AB BD ,CD BD ,垂足分別為B 、D ,AC 和BD 相交于點E ,EF BD ,垂足為F .證明:111AB CD EF+=. FEDCBA【鞏固】如圖,找出ABD S 、BED S 、BCD S 之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.FE DCBA【例3】 如圖,在梯形ABCD 中,AB CD , 129AB CD =,過對角線交點O 作EF CD 交AD BC ,于E F ,求EF 的長。OFED CBA【鞏固】(上海市數(shù)學競賽題如圖,在梯形ABCD 中,

3、AD BC ,AD a BC b E F =,分別是AD BC ,的中點,AF 交BE 于P ,CE 交DF 于Q ,求PQ 的長。QPFED CBA專題二、定理及推論與中點有關(guān)的問題【例4】(2007年北師大附中期末試題 (1如圖(1,在ABC 中,M 是AC 的中點,E 是AB 上一點,且14AE AB =, 連接EM 并延長,交BC 的延長線于D ,則BCCD=_. (2如圖(2,已知ABC 中,:1:3AE EB =,:2:1BD DC =,AD 與CE 相交于F ,則EF AFFC FD+ 的值為( A.52B.1C.32D.2(1MEDC BA(2F ED CBA【例5】 (200

4、1年河北省中考試題如圖,在ABC 中,D 為BC 邊的中點,E 為AC邊上的任意一點,BE 交AD 于點O .(1當1A 2AE C =時,求AOAD的值;(2當11A 34AE C =、時,求AOAD的值; (3試猜想1A 1AE C n =+時AOAD的值,并證明你的猜想.【例6】 (2003年湖北恩施中考題如圖,AD 是ABC 的中線,點E 在AD 上,F 是BE 延長線與AC 的交點.(1如果E 是AD 的中點,求證:12AF FC =; (2由(1知,當E 是AD 中點時,12AF AEFC ED=成立,若E 是AD 上任意一點(E 與A 、D 不重合,上述結(jié)論是否仍然成立,若成立請

5、寫出證明,若不成立,請說明理由.F E DA【鞏固】(天津市競賽題如圖,已知ABC 中,AD 是BC 邊上的中線,E 是ADED CAO上的一點,且BE AC =,延長BE 交AC 于F 。求證:AF EF =。FEDCBA【例7】 (寧德市中考題如圖,ABC 中,D 為BC 邊的中點,延長AD 至E , 延長AB 交CE 的延長線于P 。若2AD DE =,求證:3AP AB =。PEDCBA【鞏固】(濟南市中考題;安徽省中考題如圖, ABC 中,BC a =,若11D E ,分 別是AB AC ,的中點,則1112D E a =;若22D E 、分別是11D B E C 、的中點,則221

6、3224a D E a a =+= ; 若33D E 、分別是22D B E C 、的中點,則33137248D E a a a =+= ;若n n D E 、分別是-1-1n n D B E C 、的中點,則n n D E =_.專題三、利用平行線轉(zhuǎn)化比例E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1CBA【例8】 如圖，在四邊形 ABCD 中， AC 與 BD 相交于點 O ，直線 l 平行于 BD ，且 與 AB 、 DC 、 BC 、 AD 及 AC 的延長線分別相交于點 M 、 N 、 R 、 S 和 P . 求證： PM × PN = PR × PS A

7、B D l R S O C N P M 【鞏固】已知，如圖，四邊形 ABCD ，兩組對邊延長后交于 E 、 F ，對角線 BDEF ， AC 的延長線交 EF 于 G 求證： EG = GF A B C E D G F 【例9】 已知： P 為 DABC 的中位線 MN 上任意一點， BP 、 CP 的延長線分別交對 邊 AC 、 AB 于 D 、 E ，求證： AD AE + =1 DC EB A E M P B D N C 【例10】 在 DABC 中，底邊 BC 上的兩點 E 、 F 把 BC 三等分， BM 是 AC 上的中 線， AE 、 AF 分別交 BM 于 G 、 H 兩點，求

8、證： BG : GH : HM = 5 : 3 : 2 6 A M G B E H F C 【例11】 如圖， M 、 N 為 DABC 邊 BC 上的兩點，且滿足 BM = MN = NC ，一條 平行于 AC 的直線分別交 AB 、 AM 和 AN 的延長線于點 D 、 E 和 F . 求證： EF = 3DE . A D E B M F N C 【例12】 已知：如圖，在梯形 ABCD 中， AB / / CD ， M 是 AB 的中點，分別連 接 AC 、 BD 、 MD 、 MC ，且 AC 與 MD 交于點 E ， DB 與 MC 交于 F . （1）求證： EF / / CD （

9、2）若 AB = a , CD = b ，求 EF 的長. A E M F B D C 【鞏固】 （山東省初中數(shù)學競賽題）如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC ， AD = 3 ，BC = 9 ，AB = 6 , CD = 4 ，若 EF BC ，且梯形 AEFD 與梯形 EBCF 的周長相 等，求 EF 的長。 7 A D E B F C 【例13】 （山東省競賽題）如圖， ABCD 的對角線相交于點 O ，在 AB 的延 長線上任取一點 E ，連接 OE 交 BC 于點 F ，若 AB = a ，AD = c ，BE = b ,求 BF 的值。 D O F A B E C 【例14】 已知等腰直角 DABC 中， E 、 D 分別為直角邊 BC 、 AC 上的點，且 CE = CD ，過 E 、 D 分別作 AE 的垂線，交斜邊 AB 于 L ， K 求證： BL = LK C E D B L K A 家庭作業(yè) 【習題1】 如已知 DE AB ， OA2 = OC × OE ，求證： AD BC . 8 C D O A B E 【習題2】 在 DABC 中， BD = CE ， DE 的延長線交 BC 的延長線于 P ，