1、第1 1頁共 1818 頁2020 屆湖南省百所重點高中高三12 月大聯(lián)考數(shù)學（理）試題一、單選題1 1 .若向量av3,2,b1,m, 且a bi，則m()2233A A .B B.C.C.D.D.3322【答案】B Brrr r【解析】若a(為，yd,b化以），且a b，則有x2X210，列出方程可求得m.m.【詳解】Q a b，xiy2X2yi0，代入得3m 2 ( 1) 0，解得m故選：B B【點睛】本題主要考查向量平行的等價條件，屬于基本題C C.A B x 0 x 2【答案】C C【解析】對集合A，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，從而化簡集合A,再與B進行交、并運算，從而

2、得到答案【詳解】 因為A x|0 x 4,B x| 1 x 2,所以AI B x|0 x 2,A B x | 1 x 4. .故選：C.C.【點睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交、并運算，考查基本運算求解能力A A .3B B.2C C.1D D. 1 13 3設函數(shù)f xlnx,x ,若g x 1,x0,x是奇函數(shù)，則2 2設集合AX(VX1)(仮x 1 x 2，則（第2 2頁共 1818 頁答案】 A A22【解析】 先求出fe2的值，再根據(jù)奇函數(shù)的性質f( x) f (x)，可得到f e2的值，最后代入f e2g(e2) 1，可得到答案 . .【詳解】/ f x是奇函數(shù)f e2f

3、e2lne22g e2f e213故選： A A【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求值的問題，屬于基礎題 . .解析】 由空間中直線與直線、 直線與平面以及平面與平面位置關系的判定逐一核對四個選項得答案.【詳解】解：對于A，由，得/或 與 相交，故A錯誤；對于B，由m，n，利用線面垂直的性質可得m/n,故B正確；對于C，由，m,n，得m n或m/n或m與n相交或m與n異面,故C錯誤；對于D，由/，m，n，得m/n或m與n異面.判斷正確的是B.故選：B.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用， 考查空間中直線與直線、 直線與平面以及平面與平面4 4已知 ， ，是()A A 若 ，C C若,m【答

4、案】 B B是三個不同的平面，則/，n，則mm，n是兩條不同的直線，B B .若下列判斷正確的，則m/n，n，則m/n第3 3頁共 1818 頁位置關系的判定，考查空間想象能力與思維能力，屬于基礎題.C C.3,22D D.【答案】B B【解析】分別計算f 11 0,1：33320,根據(jù)零點存在定理得到答案【詳解】因為f110,f320，且f x為增函數(shù)故f X的零點所在的區(qū)間為1,31,3 . .2 2故選：B【點睛】本題考查了函數(shù)零點的范圍，靈活使用零點存在定理是解題的關鍵6 6.已知等比數(shù)列an的前 n n 項和為Sn，且S54,S1010,則S15()A A . 1616B B. 19

5、19C C.2020D D . 2525【答案】B B【解析】利用S5,S10S5,S15S10成等比數(shù)列求解【詳解】因為等比數(shù)列an的前 n n 項和為Sn，所以S5,S1S10S5,S15S10成等比數(shù)列，因為S54,S1010,所以$0S56,S15S109，故Sl5109 19故選：B B【點睛】本題考查等比數(shù)列前n n 項性質，熟記性質是關鍵，是基礎題7 7 .已知函數(shù)f (x)a sin3 x ab(a 0,x R)的值域為5,3，函數(shù)g(x) b cosax,則g(x)的圖象的對稱中心為()kkA A., 5 (k Z)B B., 5 (k Z)448kxx5 5 .函數(shù)f x

6、348的零點所在的區(qū)間為(第4 4頁共 1818 頁,4 (k Z)云4 (k Z)【答案】【解析】由值域為5,3確定a,b的值，得g(x)cos4x，利用對稱中心列方程求解即可【詳解】因為f (x)b,2a b，又依題意知f f (x)(x)的值域為5,3，所以2a b 3得a 4，所以g(x) 5cos4 x，令4x2(k Z)，得xk(k Z)，則g(x)的48圖象的對稱中心為(kZ). .故選：B B【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質, 考查函數(shù)的對稱中心，重點考查值域的求解，易錯點是對稱中心縱坐標錯寫為0 08 8 .設tan 211cos17A A .飛a【答案】2a1【解析】原

7、式【詳解】sin17ntsin 17a,則sin 17 cos172aB B.21 a先對式子進行化簡，分子分母同時除以tan62，根據(jù)誘導公式可得tan 211cos17tan17 1cos17tan31tan17 tan454aD D.亍, ,再利用正切的和角公式求解可得a， 進而利用倍角公式求解即sin 17 cos17因為tan 211tan17 1tan 17 tan45 1tan 1745tan62, ,所以tan 62故選：A A【點睛】tan31 a, ,2ta31處，故沁cos171 tan2311 a2sin17cos172aa21本題考查利用正切的和角公式、倍角公式進行化

8、簡，考查三角函數(shù)分式齊次式求值問題9 9 .已知函數(shù)f xe2x 1e2xmx在R上為增函數(shù)，則m的取值范圍為(第5 5頁共 1818 頁第6 6頁共 1818 頁,4,eB B.4e,2，eD D.2,e,【答案】【解析】函數(shù)f2x 1ee2xmx在R上為增函數(shù)，等價于2e2x12x2e m0對x R恒成立，然后分離變量,得m 2e2x12e2x，求出2e2x12e2x的最小值, 就能確定 m m 的取值范圍. .【詳解】因為函數(shù)f x2x 1e2xemx在 R R 上為增函數(shù)，所以2x 1x 2e2e2x0對x R恒成立，即m 2e2x 12e2x對x R恒成立，又因為2e2x1 2x2e

9、2.2e2x12e2x4隹，所以m4, e.故選：A A【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍，分離變量是解決本題的關鍵1010 .在直角坐標系 xOyxOy 中，直線I I:y kx 4與拋物線 C C：y1相交于點，Muuu/ uuu/uuu uuuvMA MBMAMB0,1,且B B. 8 8“ uuv uuv，貝y OA OB(D D . 1010【解析】聯(lián)立消 y y,得x2kx50，設uur uuruuuruurX1X25，因為MA MBMAMB【答案】C C然后可求得A人， ,B X2,y2uuruur uuruur，所以 MAMA MBMB則X1X2【詳解】kx2

10、X0 0，列出等式可得k k 的值,uur uuu，亠OA OB的值.4，得x1,kx，則unrMA(為,y1umr1),MB(X2, y21)uuuruuruuu uuiT因為MAMBMAMBk5,x1x2所以 MAMAX-|x2uuruurMBMB 0 0 ,iur uur則MA MB %x2kx!3 kx?31 k2%x23kx1x29第7 7頁共 1818 頁故選：D D第 6 6 頁共 1818 頁2 2 25 1k 3k 90，所以k22UJU uuuo所以OA OBXiX2y-iy21 k2XiX24k x1x216 358 16 9故選：C C【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線

11、的位置關系的綜合應用，聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解是解決本題的關鍵1111棱長為a的正四面體ABCD與正三棱錐E BCD的底面重合，若由它們構成的多面體 ABCDEABCDE 的頂點均在一球的球面上，則正三棱錐E BCD的內切球半徑為 （）A A3、.2 6B6A AaB Ba12 12廠3、3 /63、2 . 6C CaD Da12 12【答案】D D【解析】由邊長為a的正四面體可求得外接球的半徑，接著求出正三棱錐的側棱長，從1而算出正三棱錐的表面積 S S 及體積 V V，最后代入公式-Sr V，可得內切球的半徑 r.r.3【詳解】由題意，多面體ABC

12、DE的外接球即正四面體ABCD的外接球，且其外接球的直徑為則正三棱錐E BCD的三條側棱兩兩垂直.易求得正三棱錐E BCD的表面積S3W a2，體積41 1.2.2.223VE BCDa a a a 3222224設正三棱錐EBCD的內切球的半徑為 r r，由1Sra3，得r3、2、6a32412AEAE，易求得正四面體ABCD的高AFa，外接球的半徑為設正三棱錐E BCD的高為h，因為AE-6a2& h，所以h予.因為底面BCD的邊長為 a a,所以EB EC EDx第9 9頁共 1818 頁【點睛】本題主要考查正三棱錐的外接球與內切球的半徑問題，屬于難題12.設fx是定義在齊，2上

13、的奇函數(shù)，其導函數(shù)為f x，當，2時cosxxsi nx0，則不等式f x乙3fsin x的解集為33, U3，3B B.3，【答案】B B【解析】 令hf x，易得h xsin xsin x，i是定義在，2上的偶函數(shù)，因為f xx，可知sin x,上單調遞減,2在 -,-,上單調遞增，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調性，確定不等式的解【詳解】f xsin xx是定義在2，,上的奇函數(shù),2f x門忑是定義在2，2上的偶函數(shù).,時，sin x ，由f2cosx cx，得sin xx第1010頁共 1818 頁x sinx f x cosx 0，則 -3綜上，所求不等式的解集為 故選：B B【點睛】本題主要

14、考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及利用函數(shù)的單調性解不等式，構造函數(shù)是解決本題的關鍵二、填空題v廠vv v1v vv1313 .設向量a1,2丁2,b2,cosa, b一，則aab.3【答案】7 7uir2uu2vvIM, v u/v【解析】 先求出a的值，然后代入公式aa，Xba|bcosa,b，可得到答案?！驹斀狻縌a（1,2血）,ra(2廚3,v vvv2vuM2v vuvv1a(a b) a2aba 3a b cosa,b 9 3 2 ( -)73故答案為：7 7第 8 8 頁共 1818 頁x sin xf xcosxsin2x，則，2上單調遞減.233f3sinx化為sin x3一，

15、即h xsin 3，則x -32sin xx是定義在2,00,上的偶函數(shù).22,2,0上單調遞增，且時,sinx 0，將f晉f sinx化為sin x3sin3第1212頁共 1818 頁【點睛】 本題主要考查平面向量的數(shù)量積，屬于基礎題1414現(xiàn)有下列四個結論，其中所有正確結論的編號是【詳解】若0 x 1，則lgx logx10的最大值為2；若a，3a 1，a 1是等差數(shù)列an的前 3 3 項則a42x3”的一個必要不充分條件是“x log23”;若xy 0且x y 4，則x 2y 6.【答【解逐項判斷對錯，便能得到答案【詳僅當x1，貝y lg x 0,Igx1時，等號成若 a a,3a 1

16、,a 1是等差數(shù)列a42 a 1 3a因為Iog23 Iog49Q x y 0, x y1logx10 lgxlgx正確;an的前 3 3 項，則a所以不正確;log483，所以不正確;2y) 0卵y)lgx1Igx12 3a 16.+ +，得2，當且x 2y 6所以也正確.故所有正確結論的編號是旦.故答案為：【點本題主要考查了不等式性質，基本不等式，等差數(shù)列以及必要不充分條件,屬于基礎題. .1515 .若函數(shù)f(x) sin x (0)在(0,2(0,2 ) )內存在唯一的x0，使得6f x01,則 f(x)f(x)的最小正周期的取值范圍為1212 1212【答案】匚,人)11115 5【

17、解析】由題意可得 人 一(一,2-),26 6 6(37、，,解得的6 2 2一 一2范圍，可得周期T的范圍.第1313頁共 1818 頁Q函數(shù)f (x)泅%捫0)在(0,2(0,2 ) )內存在唯一的Xo，使得f(x0)1Q x(0,2),Xo6(6，26，37-，解得51126(2，2(6，?，.2121212周期T,) ). .115 51212 1212 故答案為：匕,匕).11115 5【點睛】本題考查正弦函數(shù)的周期性、不等式的性質，考查數(shù)形結合思想的運用，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題.1616.如圖，在四棱錐P ABCD中，PD平面ABCD,AB AD,AB/CD,A

18、D CD PD 2,AB 1,E,F分別為棱PC,PB上一點，若BE與平面PCD所成角的正切值為 2 2,則(AF EF)2的最小值為 _ . .【答案】14 4 23【解析】先找出BE與平面PCD所成角，再利用正切值為 2 2,證得 E E 為 PCPC 的中點根據(jù)所給各邊的長度，求出APB, BPC的斜弦值，再將PBC翻折至與平面 PABPAB 共面，利用余弦定理求出AE,即為(AF EF)2的最小值【詳解】取 CDCD 的中點 H H，連接 BHBH , EH.EH.依題意可得，BH CD因為PD平面 ABCDABCD，所以PD BH,從而BH平面 ABCDABCD ,所以 BEBE 與

19、平面 PCDPCD 所成角為BEH,且tanBEH2，則EH 1，則 E E 為 PCPC 的中點EH EH第1414頁共 1818 頁因為PB 3,PC 2 2，BC一5,所以cos BPC上2，所以BPC -. .24將PBC翻折至與平面 PABPAB 共面，如圖所示，則圖中當 F F 為 AEAE 與 PBPB 的交點時，AF EF取得最小值，此時，(AF EF)2AE2(2印(刀2 2込2寧 屮 故答案為:【點睛】 本題考查空間中線面垂直、線面角、余弦定理等知識的交會，考查空間相象能力和運算求解能力，將空間中線段和的最值問題，轉化成平面問題，對轉化與化歸思想的考查要 求較高，屬于難題三

20、、解答題X1717 .設函數(shù)f x e 1.(1) 若曲線y f x與 x x 軸的交點為 A A，求曲線y f x在點 A A 處的切線方程；(2) 證明：f x x.【答案】(1 1)y x；( 2 2)詳見解析. .【解析】(1 1)令y 0，可求得函數(shù)與 x x 軸的交點 A A，對f x ex1求導，代入點A的橫坐標可得切線斜率，然后根據(jù)點斜式可寫出切線方程；(2 2)構造函數(shù)g x f x x exx 1，然后求出g(x)的最小值，不等式可證【詳解】在Rt PAB中，cos APBAPPBC0SAPC C0S APB 4、2 2 2 1233第1515頁共 1818 頁()解：令f

21、 X ex 1 0，得x 0,所以 A A 的坐標為o,o因為f x ex，所以f 01,故曲線y f x在點 A A 處的切線方程為y xxx(2 2)證明：設函數(shù)g x f x x e x 1,g x e 1,令g x 0,得x 0；令g x 0,得x 0所以9xming00,從而g x 0,即f x x【點睛】本題主要考查求函數(shù)在某點的切線方程以及用導數(shù)證明不等式1818 .已知四棱錐P ABCD的直觀圖如圖所示，其中AB,AP,AD兩兩垂直,AB AD AP 2，且底面ABCD為平行四邊形(2 2)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1 1,粗線畫出的是該四棱錐的正視圖與俯視圖,請在網格紙上

22、用粗線畫出該四棱錐的側視圖，并求四棱錐P ABCD的體積【答案】(1 1)證明見解析(2 2)83 3【解析】(1 1)根據(jù)PA AB,PA AD得到PA平面ABCD，得到證明(2 2)直接畫出側視圖，利用體積公式直接計算得到答案【詳解】(1) 因為AB, AP,AD兩兩垂直，所以PA AB,PA AD. .因為AB AD A，所以PA平面ABCD. .因為BD平面ABC，所以PA BD. .(2) 該四棱錐的側視圖如圖所示：(1)證明：PA第1616頁共 1818 頁128P ABCD的體積為222. .33本題考查了三視圖的應用，體積的計算，意在考查學生的計算能力和空間想象能力，屬于基礎題

23、. .,宀-,、匚acosA19.在VABC中，角 A A，B B，C C 所對的邊分別為a，b，c，已知2b ccosC(1(1)求角 A A 的大小;(2)求2sin B sin C的取值范圍.【答案】(1 1)A； (2 2)3【解析】(1 1)根據(jù)正弦定理以及sin (A C) si nB，逐步化簡，可求得角 A A ；(2(2)角 B B 用角 C C 表示，逐步化簡，得結果為、3cosC，確定角 C C 的范圍，便能求得 答案，注意一點，cosC 0. .【詳解】解：(1 1 )由一cosA，結合正弦定理可得snAcosA2b c cosC2sin B sinC cosC即sin

24、AcosC 2cosAsinB cosAsinC,即sin AcosC cosAs inC 2cos As in B,即sin A C 2cos Asi nB,所以sin B 2cos AsinB,即sin B 2cosAsin B.1因為B 0,，所以sin B 0,所以cosA -.2又A 0,，所以A -.3(2 2)【點第1717頁共 1818 頁【答案】(1 1)證明見解析；(2 2)三9020【解析】(1 1)連接 CGCG，并延長 CGCG 與BD相交于點O，連接OA，可證得EG/AO， 從而得證;(2(2)過點O在BCD中作OF BD，與DC相交于點 F F，可得FOA 120

25、，以點O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OF所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求平面urABC的法向量m x, y, z和平面ACD的一個法向量為r1r r 3 2n X1, y1,Z1，再求得cos m,n；- =V4 V10即可得解. .【詳解】(1 1)證明：連接 CGCG，并延長 CGCG 與BD相交于點O，連接OA,2sin Bsin C2sin2C3sinC 2J31 .cos C sisinC、3cosC因為C0,2，所以cosC2,1，又cosC0,所以cosC,02U 0,1所以2sin B sinC的取值范圍是Uo,、3.【點本題主2020如圖，在三棱錐A

26、BCD中，BD BC, BD BC 2, ABAD . 5，二面角2EA，點G為BCD的重心. .二0，進而利用同角三角函數(shù)關系20第1818頁共 1818 頁因為點G為BCD的重心，所以CG 2GO,第1919頁共 1818 頁在CAO中，有CE CG2,EA GO所以EG/AO,則AO平面ABD,GE平面ABD,所以GE /平面ABD;(2)解：過點O在BCD中作OFBD，與DC相交于點F，因為DBBC，AB AD，貝V FOA為二面角ABD C的平面角，則FOA 1200。x軸,OFOF 所在直線為y軸，建立如圖所示的空間2,AB AD.5,FOA1200，則A 0, 1,巧,B 1,0

27、,0C 1,2,0,D1,0,0UJU所以AB-uuu1,1,3 ,BC0,2,0uuir,AD一uuir1,1,DC 2,2,0ir記平面ABC的法向量mx,y,z,v uuv-m AB x y、3z則vuuuvm BC 2y 0ir令z 1，得到平面ABC的一個法向量m3,0,1,設平面ACD的一個法向量為nX1,y1, Z1vuuu/沖nAD則vuuv nDC X1y1、 、3z12x12y10得到平面ABC的一個法向量n 3, 3,2,cos m,n：1020，以點O為坐標原點，OB所在直線為【點睛】本題主要考查了線面平行的證明及求解二面角，利用空間直角坐標系正確寫點坐標是解題的關鍵，

28、屬于中檔題4444122121已知數(shù)列an滿足aia2a3ann(4n 1).32(1 1)證明：數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)設bna2(1 n)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.n 12【答案】(1 1)證明見解析；(2 2)Tnn 1 3 n +. .【解析】(1 1 )令n 1，計算可得首項，再將n換為n 1，相減可得a；2n 1，由等 差數(shù)列的定義即可得到結論；(2 2)求得bna；(1 3n) (2n 1) (2n 1) 3n，設(2n 1) 3n的前n項和為 & , 運用數(shù)列的分組求和、錯位相減法求和，結合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算可 得所求和.【詳解】1(1 1)證明：數(shù)

29、列a.滿足a：a；a34a：n(4n21),3當n 1時，a4 11 3 1，即a；1,3444412n-2時，a1a2a3a. 13(n 1)(4(n 1) 1),3一444412又 da2asan3 n(4 n 1),3兩式相減可得a4(4n21)】(n 1)(4(n 1)21) (2n 1)2,33a；0，即有a；2n 1，對n 1也成立，2則數(shù)列an為首項為 1 1，公差為 2 2 的等差數(shù)列；設二面角B AC D的平面角為，則sin即二面角B AC2D的正弦值為(2 2)bnan2(1 3n) (2n 1) (2n 1) 3n,設(2n 1) 3n的前n項和為& ,則Sn1 3 3 325 33(2n 1) 3n,第 1616 頁共 1818 頁第2222頁共 1818 頁3Sn1 323 335 34(2n相減可得2Sn3 2(32339(1 3n 1)n 13 2(2n 1) 3,1 3化簡可得Sn3 (n 1) 3n 1,1則前n項和Tnn(1 2n 1) 3【點