1、 第十三章 軸對稱軸對稱知識要點(diǎn)1軸對稱圖形與軸對稱 軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形這條直線是它的對稱軸 軸對稱：把一個平面圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱，這條直線叫做對稱軸2軸對稱的性質(zhì) 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線3線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等 判定：與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上4關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn) 點(diǎn)(x，y)關(guān)于

2、x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)； 點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)；溫馨提示1軸對稱圖形是針對一個圖形而言，是指一個具有對稱的性質(zhì)的圖形；軸對稱是針對兩個圖形而言，它描述的是兩個圖形的一種位置關(guān)系2在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)一樣，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)一樣等腰三角形知識要點(diǎn)1等腰三角形的性質(zhì) 性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)； 性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)2等腰三角形的判定方法 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個

3、角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)3等邊三角形的性質(zhì)和判定方法 性質(zhì)：等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于60 判定方法1：三個角都相等的三角形是等邊三角形 判定方法2：有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形4直角三角形的性質(zhì) 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半溫馨提示1“等邊對等角”和“等角對等邊”只限于在同一個三角形中，在兩個三角形中時，上述結(jié)論不一定成立2在應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)時應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)必須是在直角三角形中；(2)必須有一個銳角等于30方法技巧1等腰三角形的性質(zhì)是證明兩個角相等的重要方法，當(dāng)要證明同一個三角形的兩個角相等時，

4、可嘗試用“等邊對等角”2等腰三角形的判定是證明線段相等的一個重要方法，當(dāng)要證明位于同一個三角形的兩條線段相等時，可嘗試用“等角對等邊”3利用軸對稱可以解決幾何中的最值問題，本方法的實(shí)質(zhì)是依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以與兩點(diǎn)之間線段最短和三角形兩邊之和大于第三邊13.1軸對稱13.2畫軸對稱圖形專題一軸對稱圖形12012下列圖案是軸對稱圖形的是（ ）2眾所周知，幾何圖形中有許多軸對稱圖形，寫出一個你最喜歡的軸對稱圖形是：_（答案不唯一）3如圖，陰影部分是由5個小正方形組成的一個直角圖形，請用兩種方法分別在下圖方格涂黑兩個小正方形，使它們成為軸對稱圖形專題二軸對稱的性質(zhì)4如圖，ABC和ADE關(guān)于直線l對稱，下

5、列結(jié)論：ABCADE；l垂直平分DB；C=E；BC與DE的延長線的交點(diǎn)一定落在直線l上其中錯誤的有（）A0個B1個C2個D3個5如圖，A=90，E為BC上一點(diǎn)，A點(diǎn)和E點(diǎn)關(guān)于BD對稱，B點(diǎn)、C點(diǎn)關(guān)于DE對稱，求ABC和C的度數(shù)6如圖，ABC和ABC關(guān)于直線m對稱（1）結(jié)合圖形指出對稱點(diǎn)（2）連接A、A，直線m與線段AA有什么關(guān)系？（3）延長線段AC與AC，它們的交點(diǎn)與直線m有怎樣的關(guān)系？其他對應(yīng)線段（或其延長線）的交點(diǎn)呢？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，請敘述出來與同伴交流專題三靈活運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決問題7如圖，在RtABC中，ACB=90，AB的垂直平分線DE交于BC的延長線于F，若F=3

6、0，DE=1，則EF的長是（）A3 B2 C D18如圖，在ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則ADE的周長等于_9如圖，ADBC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，那么線段AB、BD、DE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并加以證明專題四利用關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)求字母的取值圍10已知點(diǎn)P（2，3）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q（a，b），則a+b的值是（）A1B1C5D511已知P1點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2（32a，2a5）是第三象限的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)，稱為整點(diǎn)），則P1點(diǎn)的坐標(biāo)是_參考答案:1D 解析：將D圖形上下或左右折疊，圖形都能重合，D圖形是軸

7、對稱圖形，故選D2圓、正三角形、菱形、長方形、正方形、線段等3如圖所示：4A 解析：根據(jù)軸對稱的定義可得，如果ABC和ADE關(guān)于直線l對稱，則ABCADE，即正確；因?yàn)槿绻麅蓚€圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，故l垂直平分DB，C=E，即，正確；因?yàn)槌奢S對稱的兩個圖形對應(yīng)線段或延長線如果相交，那么，交點(diǎn)一定在對稱軸上，故BC與DE的延長線的交點(diǎn)一定落在直線l上，即正確綜上所述，都是正確的，故選A5解：根據(jù)題意A點(diǎn)和E點(diǎn)關(guān)于BD對稱，有ABD=EBD，即ABC=2ABD=2EBDB點(diǎn)、C點(diǎn)關(guān)于DE對稱，有DBE=BCD，ABC

8、=2BCD且已知A=90，故ABC+BCD=90故ABC=60，C=306解：（1）對稱點(diǎn)有A和A，B和B，C和C（2）連接A、A，直線m是線段AA的垂直平分線（3）延長線段AC與AC，它們的交點(diǎn)在直線m上，其他對應(yīng)線段（或其延長線）的交點(diǎn)也在直線m上，即若兩線段關(guān)于直線m對稱，且不平行，則它們的交點(diǎn)或它們的延長線的交點(diǎn)在對稱軸上7B 解析：在RtFDB中，F(xiàn)30，B60 在RtABC中，ACB90，ABC60， A30在RtAED中，A30， DE1，AE2連接EB. DE是AB的垂直平分線，EBAE2. EBDA30ABC60，EBC30F30，EFEB2故選B88 解析：DF是AB的垂直

9、平分線，DB=DAEG是AC的垂直平分線，EC=EABC=8，ADE的周長=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=89解：AB+BD=DE 證明：ADBC，BD=DC，AB=AC點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AC=CEAB=CEAB+BD=CE+DC=DE10C 解析：關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，a=2，b=3a+b=5解得1.5a2.5，又因?yàn)閍必須為整數(shù)，a=2點(diǎn)P2（1，1）P1點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1）13.3等腰三角形13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題專題一等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用1如圖在ABC中，BF、CF是角平分線，DEBC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，DE經(jīng)過點(diǎn)

10、F結(jié)論：BDF和CEF都是等腰三角形；DE=BD+CE； ADE的周長=AB+AC；BF=CF其中正確的是_(填序號)2如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB（1）求證：DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)A=40時，求DEF的度數(shù)；（3）DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？（4）請你猜想：當(dāng)A為多少度時，EDF+EFD=120，并請說明理由3如圖，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BE是ABC的平分線，DEBC，垂足為D（1）請你寫出圖中所有的等腰三角形；（2）請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由（3）如果BC=10，求AB+A

11、E的長專題二等邊三角形的性質(zhì)和判定4如圖，在等邊ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)，連接OP，以O(shè)為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，連接PD，如果PO=PD，那么AP的長是_5如圖在等邊ABC中，ABC與ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且ODAB，OEAC（1）試判定ODE的形狀，并說明你的理由；（2）線段BD、DE、EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程6如圖，ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時，M、N同時停止運(yùn)動（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動幾

12、秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒后，可得到等邊三角形AMN？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運(yùn)動的時間專題三最短路徑問題7如圖，A、B兩點(diǎn)分別表示兩幢大樓所在的位置，直線a表示輸水總管道，直線b表示輸煤氣總管道現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設(shè)一個連接點(diǎn)，安裝分管道將水和煤氣輸送到A、B兩幢大樓，要求使鋪設(shè)至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最短圖中，點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于直線b的對稱點(diǎn)，AB分別交b、a于點(diǎn)C、D；點(diǎn)B是點(diǎn)B關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)，BA分別交b、a于點(diǎn)E、F則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點(diǎn)依次是（）AF和C

13、BF和ECD和CDD和E8如圖，現(xiàn)準(zhǔn)備在一條公路旁修建一個倉儲基地，分別給、兩個超市配貨，那么這個基地建在什么位置，能使它到兩個超市的距離之和最小? (保留作圖痕跡與簡要說明)參考答案:1 解析：DEBC，DFB=FBC，EFC=FCBBF是ABC的平分線，CF是ACB的平分線，F(xiàn)BC=DBF，F(xiàn)CE=FCBDBF=DFB，EFC=ECF，DFB，F(xiàn)EC都是等腰三角形DF=DB，F(xiàn)E=EC，即有DE=DF+FE=DB+ECADE的周長=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC綜上所述，命題正確2解：(1)證明：AD+EC=AB，BD=CEAB=AC，B=CBE=CF，BDECEFD

14、E=EF，即DEF是等腰三角形 (2)A=40，B=C=(180A)=(18040)=70BDECEF，BDE=CEFDEF=180BEDCEF=180BEDBDE=B=70 (3)不能DEF=B90，DEF不可能是等腰直角三角形 (4)60理由：當(dāng)A=60時，B=C=60，由（2）可得DEF=60EDF+EFD=1203解：（1）ABC，ABD，ADE，EDC（2）AD與BE垂直證明：BE為ABC的平分線，ABE=DBE. 又BAE=BDE=90，BE=BE，ABE沿BE折疊，一定與DBE重合A、D是對稱點(diǎn)ADBE（3）BE是ABC的平分線，DEBC，EAAB，AE=DE在RtABE和RtD

15、BE中，RtABERtDBE（HL）AB=BD又ABC是等腰直角三角形，BAC=90，C=45又EDBC，DCE為等腰直角三角形DE=DC即AB+AE=BD+DC=BC=1046 解析：連接OD，PO=PD，OP=DP=ODDPO=60ABC是等邊三角形，A=B=60，AC=AB=9OPA=PDB=DPA60OPAPDBAO=3，AO=PB=3，AP=65解：（1）ODE是等邊三角形，其理由是：ABC是等邊三角形，ABC=ACB=60ODAB，OEAC，ODE=ABC=60，OED=ACB=60ODE是等邊三角形（2）BD=DE=EC其理由是：OB平分ABC，且ABC=60，ABO=OBD=3

16、0ODAB，BOD=ABO=30DBO=DOBDB=DO同理，EC=EODE=OD=OE，BD=DE=EC6解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x1+12=2x，解得：x=12（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形AMN，如圖，AM=t1=t，AN=ABBN=122t，三角形AMN是等邊三角形，t=122t解得t=4點(diǎn)M、N運(yùn)動4秒后，可得到等邊三角形AMN（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知12秒時M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖，假設(shè)AMN是等腰三角形，AN=AMAMN=ANMAMC=ANBAB=BC=AC，ACB是等邊三角形C=B在ACM和ABN中，ACMABNCM=BN設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，M、N運(yùn)