1、初等數(shù)學研究課程教學大綱課程名稱初等數(shù)學研究/The Research on Elementary Mathematics課程編碼10011500310課程類型專業(yè)選修課課程性質(zhì)專業(yè)主干課適用范圍數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學（教師教育）專業(yè)學分數(shù)3先修課程心理學基礎(chǔ)、高等數(shù)學等課程學時數(shù)54實驗/實踐學時無課外學時無考核方式考試 一、教學大綱的說明（一）課程的地位、作用和任務(wù)初等數(shù)學研究為第四學期的課程，是為數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學（教師教育）專業(yè)本科生開設(shè)的專業(yè)選修課，是師范院校教學計劃的重要組成部分，也是整個師范教育結(jié)構(gòu)體系的重要支柱，學生通過學習和訓練，對中小學數(shù)學教學內(nèi)容有一個較全面的高觀點的認識，掌握

2、作為一名數(shù)學教師應(yīng)掌握的專業(yè)知識和基本解題技能，打下扎實基礎(chǔ)。（二）課程教學的目的和要求本課程的教學目的是使學員掌握中小學數(shù)學教學所需的初等數(shù)學的基礎(chǔ)理論、基本知識和基本技能；了解初等數(shù)學的內(nèi)容和知識結(jié)構(gòu)；在數(shù)學思想上得到啟發(fā)，在數(shù)學方法上得到初步培訓，為教好初等數(shù)學打下較堅實的基礎(chǔ)。本課程分為初等代數(shù)和初等幾何兩部分，其基本要求是：掌握：數(shù)系擴展的理論、解析式分類及其恒等變形理論、掌握用初等方法討論函數(shù)、方程的基本概念及其解法、不等式的基本性質(zhì)及其證明不等式的常用方法、利用初等幾何變換解題、軌跡命題的證明方法、作圖的基本知識和常用的方法。 理解：代數(shù)延拓原理、方程的同解理論、解不等式的概念和

3、理論、合同變換、位似變換和相似變換等概念。了解：數(shù)系擴展的形式及其所遵循的原則、函數(shù)概念的發(fā)展與幾種定義方式、中學幾何的邏輯結(jié)構(gòu)。（三）課程與其他課程的聯(lián)系本課程涉及到部分高等數(shù)學知識，因而在開設(shè)本課程之前需為學生開設(shè)預(yù)備課程：數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何。（四）教材與教學參考書 教材：華南師范大學王林全、林國泰教授主編，初等代數(shù)研究教程初等幾何研究教程，暨南大學出版社2004年6月教學參考書：1、余元希等編著，初等代數(shù)研究，高等教育出版社，1988年2月2、王仁發(fā)編著，高觀點下的中學數(shù)學，高等教育出版社3、陳計編，初等數(shù)學前沿，江蘇教育出版社二、課程的教學內(nèi)容、重點和難點第一部分 初等代數(shù)第

4、一章 緒 論 內(nèi)容：代數(shù)學發(fā)展概述、作為教學科目的中學代數(shù)第二章 數(shù) 系內(nèi)容：數(shù)的概念的擴展、自然數(shù)集基數(shù)理論、序數(shù)理論、整數(shù)環(huán)、有理數(shù)域、近似計算初步、實數(shù)域、無理數(shù)的引入、實數(shù)的概念及其大小比較、實數(shù)的運算、實數(shù)集的性質(zhì)、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)的幾何表示、復(fù)數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)集的性質(zhì)。重點：自然數(shù)的基數(shù)理論及整數(shù)環(huán)的構(gòu)造、有理數(shù)大小比較的法則、有理數(shù)的運算法則和有理數(shù)集的性質(zhì)。難點：了解數(shù)系擴展的形式及其所遵循的原則；確切理解無理數(shù)、實數(shù)概念、掌握實數(shù)大小比較的法則、實數(shù)的運算和實數(shù)集的性質(zhì)；確切理解復(fù)數(shù)概念，掌握復(fù)數(shù)的兩種表示形式、復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)集的性質(zhì)。 第三章 解析

5、式內(nèi)容：解析式及其分類、多項式的基本概念、多項式的恒等、待定系數(shù)法、多項式的因式分解方法、分式的基本概念、分式恒等的充要條件、分式的基本性質(zhì)、代數(shù)延拓原理、部分分式、根式的運算法則和變形、復(fù)合二次根式、共軛根式、指數(shù)式與對數(shù)式、指數(shù)概念的擴展、對數(shù)及其性質(zhì)、常用對數(shù)、三角式的概念、三角式的恒等變形、反三角式的概念、三角式的反三角運算、反三角式的恒等變形。重點：確切理解多項式概念、掌握待定系數(shù)法和多項式的因式分解方法、根式的運算法則和變形難點：代數(shù)延拓原理第四章 初等函數(shù)內(nèi)容：函數(shù)概念的發(fā)展、函數(shù)的三種定義方式、函數(shù)的相等、函數(shù)的幾種表示方式、函數(shù)的一般定義；用初等方法討論函數(shù)：函數(shù)的定義域與值

6、域、函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性；基本初等函數(shù)。重點：了解函數(shù)概念的發(fā)展與幾種定義方式、掌握用初等方法討論函數(shù)。難點：掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖象。第五章 方 程內(nèi)容：方程的基本概念、方程的同解性；一元代數(shù)方程（特殊類型）的解法：方程的變換、一元三次方程的解法、倒數(shù)方程的解法、二項方程的解法、解含有參數(shù)的方程、二元一次不定方程；初等超越方程：指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程、反三角方程；方程組的基本概念、方程組的同解性、方程組的解法（特殊類型方程組的解法舉例）。重點：確切理解方程（組）的基本概念、會解一些特殊類型的方程（組）。難點：掌握方程（組）的同解性。第六章 不等式內(nèi)容：不等式及其基本

7、性質(zhì)；證明不等式的常用方法：分析法、綜合法、比較法、反證法、傳遞法、數(shù)學歸納法、利用已知不等式；幾個著名不等式；解不等式（組）：同解不等式、一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）、一元高次不等式、一元分式不等式、一元無理不等式、絕對值不等式、指數(shù)不等式 、對數(shù)不等式、三角不等式；不等式的應(yīng)用。重點：掌握不等式的基本性質(zhì)、掌握證明不等式的常用方法、熟悉幾個著名的不等式。難點：確切理解解不等式的概念和理論、運用不等式求函數(shù)的最大（小）值。第七章 排列與組合*內(nèi)容：加法原理與乘法原理、相異元素的不重復(fù)排列、相異元素的重復(fù)排列、相異元素的環(huán)狀排列、不相異元素的全排列、相異元素的不重復(fù)組合、組合的性

8、質(zhì)、組合恒等式、相異元素的重復(fù)組合、組合公式在多項式定理中的應(yīng)用。重點：掌握加法原理和乘法原理、掌握排列與組合的概念及公式推導。 難點：掌握幾個組合恒等式及其在多項式定理中的應(yīng)用。第二部分 初等幾何第一章 緒 言內(nèi)容：初等幾何研究的對象和目的、中學幾何的邏輯結(jié)構(gòu)。第二章 幾何的證明內(nèi)容：證度量關(guān)系：證兩線段或兩角相等、和差倍分與不等、證成比例線段間的關(guān)系、證定值問題；證位置關(guān)系：證線段的垂直與平行、證共點線與線共點、證共點圓與圓共重點：熟悉常用的證題方法和技巧。 第三章 幾何量的計算內(nèi)容：線段度量的概念、勾股定理推廣、斯蒂瓦爾特定理及其應(yīng)用、面積概念、面積的計算、解三角形。重點：會面積的計算和

9、解三角形。 難點：掌握勾股定理推廣和斯蒂瓦爾特定理及其應(yīng)用。 第四章 初等幾何變換內(nèi)容：合同變換及其間的關(guān)系、位似變換和相似變換、初等變換的應(yīng)用（解題）。重點：能利用初等幾何變換解題。 難點：理解合同變換、位似變換和相似變換等概念。第五章 幾何軌跡內(nèi)容：軌跡的概念與證明方法、軌跡命題的類型、常用軌跡命題及其證明、軌跡的探求。重點：確切理解軌跡的概念、掌握軌跡命題的證明方法、掌握常用的幾個軌跡命題。 難點：軌跡的探求。第六章 幾何作圖*內(nèi)容：作圖的基本知識：尺規(guī)作圖與作圖公法、作圖成法；常見的作圖方法；尺規(guī)作圖不可能問題簡介。重點：掌握作圖的基本知識和常用的方法。 難點：尺規(guī)作圖與作圖公法、作圖成法。第七章 立體幾何*內(nèi)容：直線與平面的各種位置關(guān)系、空間作圖公法、簡單作圖題、三面角及其性質(zhì)、三面角的相等、多面角及其性質(zhì)、四面體的一些性質(zhì)、凸多面體的歐拉定理、正多面體、截面圖的畫法、體積概念、擬柱體體積公式、體積計算。重點：掌握空間直線與平面的各種位置關(guān)系。難點：掌握三面角、四面體的性質(zhì)。備注：* 部分為學生自學章節(jié)二、 學時分配教學內(nèi)容各教學環(huán)節(jié)學時分配備注