1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第九章練習(xí)題5：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 王克金基本概念1. 設(shè)為平面在第一卦限的部分的上側(cè) ，將化為對(duì)面積的曲面積分的結(jié)果為 答案：解 第二型曲面化為第一型曲面積分，平面法向量為，單位化得 變成二重積分2.設(shè)為Z=0（）的上側(cè) ，則=（ ）（A） （B）（C） （D）0答案：（C）解 ，選C2.設(shè)曲面為Z=0，方向向下，D為平面區(qū)域：，則=（ ）C（A）1 （B） （C） （D）0答案：（C）解 投影區(qū)域?yàn)镈，下側(cè)取負(fù)，選C，B與C矛盾，計(jì)算結(jié)果為-2，A,D不成立。3.已知曲面為在第一卦限部分且方向向下，則=（ ） 答案：（B）解 在面的投影由圍成。由于平面取下側(cè)，化為二

2、重積分取負(fù)號(hào)，C,D被積函數(shù)錯(cuò)誤，A符號(hào)錯(cuò)誤，故選B4.計(jì)算，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè).解 因?yàn)橹袥](méi)有，在的投影為0，所以在面的投影在面的投影；5. 為柱面被平面Z=1和Z=4所截得的在第一卦限內(nèi)的部分，方向向外,則= 答案：解 因?yàn)橹袥](méi)有，所以6.計(jì)算，其中是球面外側(cè)在的部分。解 利用曲面積分的可加性，“一代二投三定向”，并注意利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。的上側(cè)；的下側(cè)7.計(jì)算,其中是球面的下半部分的下側(cè).解 利用“一代二投三定向”計(jì)算注:后一積分作代換8.計(jì)算，其中是拋物面介于及之間的部分的下側(cè)。解 利用積分的可加性，并注意用對(duì)稱(chēng)性。首先，計(jì)算其中 ， ，前側(cè)；，后側(cè)

3、。其次，于是，原積分9.計(jì)算，其中是曲面介于之間部分的下側(cè)。解 將積分曲面投影到面，并注意利用對(duì)稱(chēng)性.在面的投影為10.計(jì)算，式中連續(xù)，是長(zhǎng)方體的外表面。解 利用曲面積分的可加性，直接計(jì)算的后側(cè)；的前側(cè)；的左側(cè)；的右側(cè)；的下側(cè)；的上側(cè)。則 同理可得：所以 奇偶性，對(duì)稱(chēng)性1.設(shè)為球面,為其上半球面,則( )式正確. (A); (B);(C). (D) 答案：（B）解 (A)和(D)為第一類(lèi)曲面積分，曲面沒(méi)有方向，(A)的左邊(D)的左邊故(A)和(D)都錯(cuò)第一類(lèi)曲面積分的偶倍奇零定理 若關(guān)于面對(duì)稱(chēng)（的方程中以偶函數(shù)形式出現(xiàn)）（1）關(guān)于為奇函數(shù)，則；（2）關(guān)于為偶函數(shù)，則(B)和(C)都是第二類(lèi)曲

4、面積分，曲面有方向?yàn)榍蛎嫱鈧?cè)，上側(cè)，下側(cè)(B)的左邊(B)正確(D)的左邊第二類(lèi)曲面積分的偶零奇倍定理 若關(guān)于面對(duì)稱(chēng)（的方程中以偶函數(shù)形式出現(xiàn)）（1）關(guān)于為奇函數(shù)，則；（2）關(guān)于為偶函數(shù)，則若關(guān)于面對(duì)稱(chēng)（的方程中以偶函數(shù)形式出現(xiàn)）（1）關(guān)于為奇函數(shù)，則；（2）關(guān)于為偶函數(shù)，則2設(shè)是球面的外側(cè)，則=（ ）A（A）0 （B） （C） （D）答案：（A）解 積分變量和，關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，結(jié)果為零或3. 設(shè)為球面的上半部分的上側(cè)，則下列式子錯(cuò)誤的是（ ）(A); (B);(C) (D) 答案：（C）解 積分變量和，關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，A,B，D的被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，都正確C的被積函數(shù)關(guān)于為奇

5、函數(shù)，C錯(cuò)了?；蛘咛砑虞o助平面下側(cè)，可用高斯公式，C的結(jié)果為4.設(shè)為球面，為有向曲面取外側(cè)，在下列四組積分中，同一組兩個(gè)積分均為零的是（ ） 答案：（B）解 由對(duì)稱(chēng)性，關(guān)于某個(gè)自變量，面積曲面積分為奇函數(shù)，對(duì)坐標(biāo)曲面積分為偶函數(shù)時(shí)，積分值為0，故A,C,D不能同時(shí)滿足上條件，B滿足，選B5. 為球面，對(duì)坐標(biāo)曲面積分，取外側(cè)，取上側(cè)，下面運(yùn)算正確的是（ ）A 答案：（A）解B被積函數(shù)關(guān)系錯(cuò)誤，C左邊積分不為0，D左邊為0，右邊不為0，A由性質(zhì)知成立。6. .設(shè)為球面的外側(cè)，則必有（ ）B =0答案：（B）解 積分曲面關(guān)于對(duì)稱(chēng)，關(guān)于偶函數(shù)積分值為0，關(guān)于奇函數(shù)積分值為折半曲面的2倍，故A,D不成立

6、，C倍數(shù)關(guān)系不對(duì)，選B7.設(shè)為球面的外側(cè)，則等于（ ） 答案：（B）解 積分曲面關(guān)于對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)關(guān)于變量為奇函數(shù)，故積分值為2倍上半球面積分值，化為二重積分，選B，結(jié)果大于0，C不選，A值不對(duì)，D被積函數(shù)不能含。8.設(shè).設(shè)為球面的外側(cè)，是面上的圓域，則下述表示正確的是（ ） = 以上都不對(duì)答案：（C）解 A倍數(shù)關(guān)系不對(duì)，B左邊不為0，右邊為0，C由對(duì)稱(chēng)性知成立，C成立D就不成立，選C9計(jì)算其中是由曲面及平面所圍成立體表面外側(cè)；解 等號(hào)右邊第二項(xiàng)：積分曲面關(guān)于對(duì)稱(chēng)，關(guān)于偶函數(shù)積分值為0又 所以 三合一（二合一，改變積分變量）1.計(jì)算，其中為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限部分的上側(cè).解 ：2.設(shè)為平

7、面在第四卦限的上側(cè)，為連續(xù)函數(shù)，則= 答案：解 過(guò)程見(jiàn)前題3.設(shè)是旋轉(zhuǎn)拋物面的外側(cè)，是平面上圓域，則 可化為二重積分（ ） A 答案：（A）解：，由同一法，被積函數(shù)可化為，外側(cè)是下側(cè)，化為二重積分取負(fù)號(hào)，故選A，其余明顯不符。高斯公式1.若是空間區(qū)域的外表面,下述計(jì)算中運(yùn)用高斯公式正確的是( ). (A) (B) (C) （D） 答案：（B）解 A中右邊被積函數(shù)錯(cuò)誤，B正確，C符號(hào)錯(cuò)誤，D被積函數(shù)錯(cuò)誤。2.計(jì)算，其中是平面所圍成的立方體的全表面的外側(cè)。解 題設(shè)曲面為封閉曲面,利用高斯公式,再用化為直角坐標(biāo)的三次積分3.計(jì)算，其中為平面所圍成立體表面的外側(cè)。解設(shè)曲面為封閉曲面,利用高斯公式,再化

8、為三次積分.不妨設(shè)。利用高斯公式4. 設(shè)為球面的外側(cè)，則曲面積分_答案： 解 由高斯公式，5.計(jì)算，其中為球面的外側(cè)。解題設(shè)曲面為封閉曲面,高斯公式,再用球面坐標(biāo)化為三次積分.6. 設(shè)為曲面的外側(cè)，則=_ 答案：解 由高斯公式積分=7.設(shè)是由半球面與錐面所圍成區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外側(cè)，則=_ 答案：解 利用高斯公式，原積分化為3倍體積，利用球坐標(biāo)三重積分計(jì)算可得。8.計(jì)算，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，為錐面與兩球面所圍立體的表面外側(cè)。解 利用高斯公式消去被積函數(shù)中的,再用高斯公式計(jì)算. 9 計(jì)算，其中為上半球體表面的外側(cè)。解 題設(shè)曲面為封閉曲面,利用高斯公式,再用球面坐標(biāo)化為三次積分.10.計(jì)算曲面積

9、分.其中是由曲面與平面所圍成的半球體的表面外側(cè).解已為閉曲面,用高斯公式轉(zhuǎn)為三重積分,并用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分.11.用高斯公式計(jì)算曲面積分.其中是由曲面與平面所圍成的半球體的表面外側(cè).解 積分曲面已為閉,用高斯公式轉(zhuǎn)為三重積分計(jì)算,空間區(qū)域?yàn)榘肭?用球面坐標(biāo).12.求曲面積分，其中是球面外側(cè)在的部分。解 補(bǔ)充輔助面構(gòu)成閉曲面,用高斯公式.添加輔助平面，取下側(cè)，與圍成的空間區(qū)域?yàn)?，于?13. 為球面的外側(cè)，則=（ ）(A） （B） （C） （D）答案：（D）解 添有向平面取下側(cè)，則，故有結(jié)果為D14.設(shè)為球面的外側(cè)，則=（ ）（A）0 （B） （C） （D）答案：（B）解 原式=15 設(shè)為球

10、面的上半部分的上側(cè),在求時(shí)，需要補(bǔ)充曲面后使用Gauss公式，下面補(bǔ)法正確的是（ ） B（A）取下側(cè)（B） ，其中 以原點(diǎn)為心的單位球面上半部分取下側(cè)（C）取下側(cè) （D取上側(cè)答案：（B）解 A,C,D均包含原點(diǎn)，在該點(diǎn)不連續(xù)，故只有B可選。16.計(jì)算曲面積分，其中為上半球面的上側(cè)。解 首先,將曲面方程代入被積函數(shù)化簡(jiǎn)曲面積分;其次,添加輔助面用高斯公式;再者,空間區(qū)域?yàn)榘肭蝮w,用球面坐標(biāo)計(jì)算或先重后單計(jì)算三重積分.作輔助平面取下側(cè)。17.計(jì)算，其中為下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù)。解 補(bǔ)充輔助面，用高斯公式.設(shè)，取下側(cè)。與圍成的區(qū)域?yàn)?，在面的投影區(qū)域?yàn)椋谑怯?8.計(jì)算曲面積分，其中為上半球面

11、上側(cè)。解 補(bǔ)充輔助面用高斯公式,再用球面坐標(biāo).設(shè)，取下側(cè)。與圍成的區(qū)域?yàn)?，在面的投影區(qū)域?yàn)?，于是?9.計(jì)算，為半橢球面的上側(cè)。解 添加橢圓面,構(gòu)成閉曲面用高斯公式.注意對(duì)稱(chēng)性的使用.取為橢圓面的下側(cè)，則 （是關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，且分別是關(guān)于的奇函數(shù)） 20.計(jì)算曲面積分,其中,方向取外法線方向.解 由高斯公式令，則，故，故，同樣，故21.計(jì)算為錐面被平面與所截出的部分外側(cè)。解 直接利用投影計(jì)算曲面積分.在面的投影為，于是22.計(jì)算為錐體的表面，為此曲面外法線方向余弦。解 23.計(jì)算，其中為曲面夾在平面及之間的部分，為此曲面的外法線的方向余弦。解 添加輔助面，取上側(cè)，與構(gòu)成閉區(qū)域，用高斯公式，用球

12、面坐標(biāo)計(jì)算三重積分而于是24. 設(shè)是錐面下側(cè)，則= 答案：解 無(wú)法直接利用高斯公式，需補(bǔ)，取上側(cè)， =，故有結(jié)果25.用高斯公式計(jì)算，其中是由柱面所圍立體的表面外側(cè).解 直接用高斯公式,并用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分.由高斯公式,并用柱面坐標(biāo)原式26.利用高斯公式計(jì)算曲面積分其中為柱面所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解 直接用高斯公式,由于是柱面體,用柱面坐標(biāo)較方便.27.利用高斯公式計(jì)算曲面積分，其中的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。解 28. 為柱面被平面Z=0和Z=3所圍成封閉曲面外側(cè),則= 答案：解 有高斯公式，積分化為，注意到積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，在利用柱坐標(biāo)計(jì)算可得29.計(jì)算曲面積分,其中為柱面

13、及平面所圍區(qū)域的外側(cè).解:由高斯公式30.計(jì)算曲面積分，其中為有向曲面，其法向量與軸正向的夾角為銳角。解 添加輔助面構(gòu)成閉曲面，同時(shí)注意對(duì)稱(chēng)性的使用.添加平面，取下側(cè)。設(shè)與圍成的區(qū)域?yàn)?，在面的投影為，利用高斯公式可?1. 設(shè)是有向曲面，其法向量與軸正向夾角為銳角，則= 答案：解 無(wú)法直接利用高斯公式，需補(bǔ)，取下側(cè)， =，故有結(jié)果32.設(shè)為曲面的上側(cè),計(jì)算曲面積分解 設(shè)為平面上被所圍部分的下側(cè), 與所圍成的空間區(qū)域記為,則由于所以33.計(jì)算積分，其中的方程為，它的法向量與軸正向的夾角為鈍角。解 添加輔助面用高斯公式.加一曲面，取外法向右側(cè)，為與所圍立體。設(shè) 34.設(shè)立體由曲面與平面所圍（），的

14、外表面為，的體積為，證明證 應(yīng)用高斯公式，并注意對(duì)稱(chēng)性的使用35.設(shè)空間區(qū)域是由曲面與平面圍成，其中為正整數(shù)，記 的表面外側(cè)為，的體積為，則 。答案：解 由高斯公式，原積分=，由性質(zhì)得36.計(jì)算曲面積分，其中是曲面的上側(cè)。解添加輔助面用高斯公式.作輔助平面，取下側(cè)。利用高斯公式故37.計(jì)算曲面積分，這里是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面，正側(cè)向外。解 添加輔助面構(gòu)成閉曲面用高斯公式.的方程為，取的下側(cè)，與圍成的區(qū)域?yàn)椋筛咚构?8.計(jì)算，其中為曲面與平面所圍成的立體表面的外側(cè)。 解 設(shè)圍成的區(qū)域?yàn)椋酶咚构饺≈孀鴺?biāo)，則原式39.計(jì)算曲面積分，其中為曲面的上側(cè)。解 取，下側(cè)。與圍成的立體為所以

15、40設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是曲面與所圍成立體表面之外側(cè)，則=（ ）（A）16 （B）-16 （C）-8 （D）因未知，故無(wú)法確定。答案：（A）解 利用高斯公式可得積分為所圍成立體體積，選A41.計(jì)算，其中是平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)成的曲面的下側(cè)。解補(bǔ)充平面構(gòu)成閉曲面,用高斯公式.據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面的公式，可得為，取下側(cè)（其中） 為（）上側(cè) 則 = 應(yīng)用1.設(shè)流速場(chǎng)，則流過(guò)球面的流量值=（ ）A（A）0 （B） （C） （D）1答案：（A）解 通量2.曲面積分在數(shù)值上等于（ ）C(A)向量穿過(guò)曲面的流量 (B) 面密度為的曲面的質(zhì)量(C) 向量穿過(guò)曲面的流量（D）曲面的面積的平方答案：（C）解 質(zhì)量為對(duì)面積的曲面

16、積分，B不成立，D顯然不成立，在面上流量是方向向量，選C不選A3. 設(shè)是錐面與平面所圍成的封閉曲面外側(cè)，則向量場(chǎng)通過(guò)曲面的通量= 答案：解 4.求向量通過(guò)閉區(qū)域的邊界曲面流向外側(cè)的通量。解 根據(jù)通量公式,利用高斯公式計(jì)算.5.計(jì)算積分，其中是橢圓面的外側(cè)。解 用閉曲面變形原理.設(shè),則作球面充分小,取外側(cè),在與圍成的空間區(qū)域上用高斯公式,有6.計(jì)算曲面積分，其中是曲面的外側(cè)。解 用閉曲面變形原理去掉分母,再用高斯公式.令，則，但在所圍成的區(qū)域內(nèi)不具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。取的外側(cè)，為與之間的部分，則（）7.設(shè)對(duì)于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面，都有其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，求解 由題設(shè)及高斯公式得式中由圍成，號(hào)對(duì)應(yīng)于曲面取外側(cè)或內(nèi)側(cè)。由的任意性，可知，即由一階線性微分方程的通解公式，可求得其通解為，由于，必有，即因此8.設(shè)為一光滑閉曲面，為上點(diǎn)外法線，試計(jì)算積分：，