1、【下載本文檔，可以自由復(fù)制內(nèi)容或自由編輯修改內(nèi)容，更多 精彩文章，期待你的好評和關(guān)注，我將一如既往為您服務(wù)】十二種點到直線距離公式證明方法用高中數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)點到直線的距離公式的方法。已知點P（Xo, Yo）直線I : Ax+By+C=0 （A、B均不為0），求點P到直線I 的距離。（因為特殊直線很容易求距離，這里只討論一般直線）1用定義法推導(dǎo)點P到直線I的距離是點P到直線I的垂線段的長，設(shè)點P到直線 I的垂線為垂足為 Q由I垂直I '可知I '的斜率為B/AVW的方程：丫-¥產(chǎn)2僅-紺Ef趺立 方程組解紹交點O （旦冬*p獸.A?+ B3|PQb t瓷暫AC -切I

2、A7+B2知=4蟲絲申目中二AC _ABBC p a 射心+ Bw+CZ 8怕冷+ B¥CF沖B2P(Axo+Bvo+O1鬲B 2 用設(shè)而不求法推導(dǎo) 3 用目標(biāo)函數(shù)法推導(dǎo)點線 /:Ax+By4C=0 上任意一點的距離的最屮值就是點P到苴 線/的建離。在/上取任意點M(x理),用 兩咸的距禺公述有|PM|(x-xJ(y-yJ? 為了利用條件Ax+By+CO上式變形 一下，配廣系數(shù)處理緡：lAfx-xJ+Bly-yoJF+IAfy-yJ-Bfx-xdF> lA(x-xJ+B(y-ya)a=lAXc+ Byb+C:(Axo+By0+C=O)/. Vi門護(hù)麗研 孑 咚回四當(dāng)?shù)┤‘?dāng)Afy

3、-yJ-Bfx-xJO時啟等 號廝以最小值就是d叱©過已知點P (心)作已)直8U：Ax + By+C = 0的垂線,沒垂足為Q(X(Y)t E!)*y0Ax+By+COA(y-yJ-BX'xJ=：OAfx-XoJ + BfyyJ-IAxD+ByQ+C由上式得:滬fr忖-¥d'網(wǎng)必+BW+CF4.用柯西不等式推導(dǎo)“求證：(a2 +b2 )(c 2+d2) > (ac+bd) 2 ,當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc，即 a/c=b/d 時等號成立?！睂崬榭挛鞑坏仁降淖詈喰问?，用它可以非常方便地 推出點到直線的距離公式。Q3教育資料5 用解直角三角形法推導(dǎo)” p仁./

4、JPG|=|y0+留匚十卜他壯也咕 易得 ZGPH "或心PH =180°-a,g 瑪沖情況下都有席£ GPH "g紙=爲(wèi).:、L GPH =廠-=yT+tga x/TVTP d=|PH|=| PG|gs 乙 GPH 冃® 吐| 也蟲十DsAxo+Byb+CLv+B7"VA 陸設(shè)直線I的傾斜角為過點P作PM/ y軸交I于G(xi , yi)，顯然 X=x。,所以.滬合tG.6 用三角形面積公式推導(dǎo)|PM|= x/i&y+¥T護(hù)/. IPM處峯巴+B笫涉=> (AJ B引PMf 吋(AB=| |*(計N (Ax-

5、Axo+ By- By(J?=( - Axj-By0- C); 兒g |PMU=鑼勢呼L，當(dāng)且僅當(dāng)V'A7+設(shè)點 M (x,y)為直線Z:Ax+By+C=0 上任意一點.莊慧點叫2到茸線I的 建離為氏!»：兩點旬陰視公式的推導(dǎo)過程中-使出 降維黑想閻造育希三鍋弟.受此曰示*當(dāng) ABOBrt*iit點 円&歸旳兩條點纜號別 炸平廳于X軸y鈿的兩條直線別交貢 SeZ:Ax+Bv+C=O M f-匚“、 NCxo.- A0 ), a(J |MP|=|XD+ BYC |d |NP|u|wi土曾U_|.MP丄 NPrD.j.在Rt中.由盲角三角形ea直積公 式得：;-|MP|

6、|NP|-V JMNpd, .d-|PQ|-BMIJPtlLx/IPmP+IPKF_JAj+Byp+CVAJ+B37 用向量法推導(dǎo)由巨線f的方程AxBy+CO. (A, 8 不能問時為山 可得自線F的法向雖為A mAB)恕過蠱PlXojd低亙線2的垂線,垂定為H收脅 則向量FFT=*mB0 沖d=h （氣 B）.所議 X =Xo+XA# v'-v=xB 且 |P1T|=ST二怎學(xué)弓薩=|x.|<¥帀二又因旳點H(XI在直線f上. 所以就有:A*By»t=O,旦I A(xa+kA)-hB (¥十 hB)+C=0,二人(A/+附=-(Axq十By+Ch又

7、因旳 A衛(wèi)不同時為Oj二 | PH* |= Vfx.y'-yJ5 =|X| VA+B3-=|vTPtBTgg如肘I=曲斗址r 6vTP+S8 用向量射影公式推導(dǎo)設(shè)R是胃線上的任意一點.設(shè)R(x.W.直線的萬向向量為m=(-B tA)JIJS線 的送向雖為 PC-fA, B) =(x-Xo,y-yJ吐圧西1 = 座沁巴71 ' 阿 va2+efJAxo+ByotClVat+b2愿評:向星是一種很好的工具.用向 墨處理，既避幵了分類討論，又體現(xiàn)子平 E 口量的工具性,會有事屮功電的效果。9 利用兩條平行直線間的距離處處相等推導(dǎo)如果過點 P(XoYq)作 /：Ax+By+C=0 的平

8、行線:Ax+By-Ax0 ByoO,那么盲線 /'上任意一點到/的距間都曙于點P到直 線的距離既然可ru&g取點,我門應(yīng) 設(shè)法匣這個點到直線/的距羸容易求得, 選取旨線rxfflag交點g (暫氛, 0).13 g作的垂線厘足為臥設(shè)？與* 軸相交于熄F ( -0),容易求得FG =如譽(yù)甬a(chǎn)與直線9W斜甬卩相等或互補(bǔ),;Ttana= ±tanp= ±一盤嚴(yán)而“葉lAxg+Byo+Ci_JAL_/A2+Bs10 .從最簡單最特殊的引理出發(fā)推導(dǎo)引理：坐標(biāo)原點到直線LAx+By+C=O 迥距禹 h- d VAB2簡證；5tN原點到旨線的庫禺這一將 殊情形入手設(shè)直線軸

9、分別交 于點EF則點E.F的坐標(biāo)分別是-詈,Q）血-皆h由三角形面積恒輸;夕EF巾=冷9F%老萌由平廳匪系求出迪a鞏心曲目與/ 平行的直線的方亀Ax+BaAxB妒0, 設(shè)巨線/和/分別與X軸交于點E、G則點丘卜學(xué)心豐加由皿得d EGW OE4© =gB 葉口A| 皿琴盯 VSVB=11 通過平移坐標(biāo)系推導(dǎo)如果點P%¥tJ . 是坐標(biāo)原點就好了， | / 為此、我冊如嘰7 I一vj為原點建立盲第丈 坐標(biāo)系x'o”.井使JT坐標(biāo)別與 I I '* 呈標(biāo)軸x理平«設(shè)直線/在新坐標(biāo)系中記 為化設(shè)田S點G在新融掠系中的坐標(biāo)分 別是快ntxM。則由0G*=0O"卡了芒薦 (xty)=(x0lyJ+(x,Py')l/.x=Xo+xhJY=y0+y' 直線t在新坐標(biāo)系中的方稈是:AfxSxJ+B (yh+yo)+C=O>gD Ax'+By +AXo+Bya+CO. 點O'到直線F的距MStSfS P (%血到 直線f的底離.由引理邙礙：力 JAxBys+Q/AJ+Br12.由直線與圓的位置關(guān)系推導(dǎo)當(dāng)萇點p(也曲為區(qū) 心03區(qū)與直線譏 Ax+By+C=O相切時'匾 的半徑藕是點Pxo.yj到 直線 /：Ax+Bv+C=0 99Se 離，于是，問題轉(zhuǎn)化