1、初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題歸類(lèi)復(fù)習(xí)含例題、練習(xí)及答案3151531此時(shí) QN - PM .所以 CQ CN QN 4 .所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類(lèi)開(kāi)放性題目解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜 ，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題關(guān)鍵：動(dòng)中求靜數(shù)學(xué)思想：分類(lèi)思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想本文將初一至二學(xué)習(xí)過(guò)的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)復(fù)習(xí)，希望對(duì)同學(xué)們能有所幫助。一、等腰三角形類(lèi)：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題例1:2021年上海市虹口區(qū)中考模擬第 25題如圖1,在Rt ABC中，/ A = 90, AB= 6, AC= 8,點(diǎn) D為邊BC的中點(diǎn)，DE丄BC交邊AC

2、于點(diǎn)E,點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且 / PDQ = 90.1求ED、EC的長(zhǎng)；2假設(shè)BP = 2，求CQ的長(zhǎng)；3記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，假設(shè) PDF為等腰三角形，求 BP的長(zhǎng).44443如圖5，如圖2,在Rt PDQ 中，tan QPD QDDN3PDDM4在 Rt ABC 中，tanCBA 33 .所以/ QPD / C .CA 4由/ PDQ = 90,/ CDE = 90,可得/ PDF = / CDQ .A/乂A/XITJ/J/ | mB圖1備用圖因此 PDF CDQ .當(dāng)厶PDF是等腰三角形時(shí)， CDQ也是等腰三角形. 如圖 5，當(dāng) CQ = CD

3、 = 5 時(shí)，QN = CQ CN = 5 4 = 1如圖 3 所示.444 5此時(shí) PM QN .所以 BP BM PM 3 -333 3 如圖6，當(dāng)QC = QD時(shí)，由cosC 理，可得CQ - 卻.CQ258思路點(diǎn)撥257所以QN = CN CQ = 4如圖2所示.8 8477 25此時(shí) PM QN .所以 BP BM PM 3 -366 6不存在 DP = DF的情況.這是因?yàn)? DFP / DQP / DPQ如圖5,圖6所示.1.第2題BP= 2分兩種情況.2 解第2題時(shí)，畫(huà)準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系.3 .第3題探求等腰三角形 PDF時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞

4、性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形 解答：1在 Rg ABC 中， AB = 6, AC = 8,所以 BC = 10.CDQ.3在 Rt CDE 中，CD = 5,所以 ED CD tan C 5 -42如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DM丄AB, DN丄AC,垂足分別為254M、N,那么DM、DN是 ABC的兩條中位線， DM = 4, DN = 3.由/ PDQ = 90,/ MDN = 90,可得/ PDM =Z QDN . 因此 PDM QDN .所以PMQN4 .所以 QN 3 PM , PMDN 344QN .3如圖3,當(dāng)BP = 2,P在BM上時(shí)，PM = 1 .此時(shí)QN33PM -.所以 CQ CN

5、QN 31944444如圖4,當(dāng)BP = 2,P在MB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM = 5 .圖2圖3圖5圖6考點(diǎn)伸展：如圖6,當(dāng)厶CDQ是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形,PB= PD.在厶BDP中可以直接求解 BP二6二、直角三角形：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)題例2：2021年河南省中考第23題如圖1，直線y 標(biāo)是-2, 0.1試說(shuō)明 ABC是等腰三角形;-x 4和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為 B、C,點(diǎn)A的坐32動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，

6、 MON的面積為S .求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S= 4的情形？假設(shè)存在， 求出對(duì)應(yīng)的t值；假設(shè)不存在請(qǐng)說(shuō)明理由； 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng) MON為直角三角形時(shí)，求 t的值.圖15 t 325所以.解得tt 58如圖5，當(dāng)/ OMN = 90時(shí)，N與C重合，t 5 . 不存在/ ONM = 90的可能.25所以，當(dāng)t 或者t 5時(shí)， MON為直角三角形.8思路點(diǎn)撥：1.第1題說(shuō)明 ABC是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).2 .不管M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示 OM邊上的高都是相同的，用含有 t的式子表 示OM要分類(lèi)討論.3 .將S

7、= 4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于4 .分類(lèi)討論 解答：t的方程.MON為直角三角形，不存在/ ONM = 90的可能.AJr/卩aqmb1直線yRt BOC 中，因此BC = BA,所以2如圖2，圖3,4-x 4與x軸的交點(diǎn)為B3, 0、與y軸的交點(diǎn)C0, 4.3OB= 3,圖4考點(diǎn)伸展：在此題情景下，如果 MON的邊與AC平行，求 當(dāng) MN/AC 時(shí)，t = 2.5.圖5t的值.如圖 6,當(dāng)ON/AC時(shí)，t= 3;如圖乙OC = 4,所以BC= 5.點(diǎn)A的坐標(biāo)是-2, 0，所以BA = 5.ABC是等腰三角形.過(guò)點(diǎn)N作NH丄AB,垂足為H .4t .54在 Rt BNH 中，BN = t,

8、 sin B -，所以 NH5OM = 2 t,此時(shí)4 224t) t t2 t5 55OM = t 2,此時(shí)2)4t 務(wù) 4t.555如圖2,當(dāng)M在AO上時(shí),11S OM NH (222如圖3,當(dāng)M在OB上時(shí),11S OM NH (t22定義域?yàn)? v tPA*圖3考點(diǎn)伸展如果第3題沒(méi)有限定點(diǎn) N在x軸上方的平面內(nèi)，那么菱形還有如圖 6的情形.PMTVpoA四、相似三角形：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題例4:2021年蘇州中考 28題如圖，點(diǎn) O為矩形 ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，AB=10cm, BC=12cm，點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為

9、1cm/s,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s,當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)圖形是 EBF .設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t單位：s.1當(dāng)t=s時(shí)，四邊形EBFB為正方形；2假設(shè)以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) F, C, G為頂點(diǎn)的三角形相似，求 t的值；3是否存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合？假設(shè)存在，求出 t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4DEVC思路點(diǎn)撥：1利用正方形的性質(zhì)，得到 BE = BF，列一元一次方程求解即可；2 EBF與厶FCG相似,分兩種情況，需要分類(lèi)討論，逐一分析計(jì)算；3本問(wèn)為存在型

10、問(wèn)題.假設(shè)存在，那么可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在.解答：1假設(shè)四邊形 EBFB為正方形，那么 BE=BF，即：10- t=3t，解得t=2.5；10-t2分兩種情況，討論如下:HR 附 假設(shè) EBF FCG，那么有，即rC CG-假設(shè) EBF GCF，那么有，即CG FC10-七3tl.Et 12-3112 - St 1.Ft，解得：t=2.8 ；，解得：t= - 14 - 2不合題意，舍去或t= - 14+2.!.當(dāng)t=2.8s或t=- 14+2 八s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F, C, G為頂點(diǎn)的三角形相似.3假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合.如圖

11、，過(guò)點(diǎn)O作OM丄BC于點(diǎn)M，那么在RtA OFM中，0F=BF=3t,222222FMBC-BF=6 - 3t, OM =5，由勾股定理得：OM +FM =OF，即：5 + 6- 3t= 3t 解得：t= ；過(guò)點(diǎn) O 作 ON丄 AB 于點(diǎn) N,那么在 RtAOEN 中，OE=BE=10 - t, EN=BE - BN=10 - t - 5=5 - t, ON=6,由勾股定理得：On+EnJoE2,即：62+ 5- t2= 10 - t2解得：t=3.9 .二V 工3.9不存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合.61考點(diǎn)伸展：此題為運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)、相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、

12、解方程 等知識(shí)點(diǎn).題目并不復(fù)雜，但需要仔細(xì)分析題意，認(rèn)真作答.第2問(wèn)中，需要分類(lèi)討論，防止漏解；第3問(wèn)是存在型問(wèn)題，可以先假設(shè)存在，然后通過(guò)推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，從而判定不存在.拓展練習(xí)：1、如圖 1,梯形 ABCD 中，AD / BC, 以1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q從C開(kāi)始沿 發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒。當(dāng)t=時(shí)，四邊形是平行四邊形；/ B=90 , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點(diǎn) P 從 A 開(kāi)始沿 AD 邊CB向點(diǎn)B以2 cm/秒的速度移動(dòng)，如果 P, Q分別從A , C同時(shí)出N(1)當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ADC CEB ，DE=AD + BE;當(dāng)

13、直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證： DE=AD-BE ;當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn) DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān) 系，并加以證明.5、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖 1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊BC的中點(diǎn). AEF 90 , 且EF交正方形外角 DCG的平行線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF.經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn) M,連接 ME那么 AMEC,易證 AME ECF，所以 AE EF 在此根底上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：1小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)改為“點(diǎn)E是邊BC上除B,C外的任意一點(diǎn)，其它

14、條件不變，那么結(jié)論“AE=EF仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；2小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上除C點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF2、如圖2正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 的最小值為4,點(diǎn)M在邊DC上且DM=1 ,為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，那么DN+MNO2題圖點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0的直線l從3、如圖，在只也ABC 中,6、如圖，射線MB上,MB=9,A是射線MB外一點(diǎn),AB=5且A到射線MB的距離為3,動(dòng)點(diǎn)P從M沿射線MB 方向以1個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，設(shè) P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.求 PAB為等腰三角形的t值；2 PAB為直角三角形的

15、t值；3假設(shè)AB=5且/ ABM=45 ，其他條件不變，直接寫(xiě)出PAB為直角三角形的t值。與AC重合的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)。作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點(diǎn)D 過(guò)點(diǎn)C作CE / AB交直線1于點(diǎn)E，設(shè)直線1的旋轉(zhuǎn)角為1當(dāng)度時(shí),四邊形EDBC是等腰梯形，此時(shí) AD的長(zhǎng)為BP當(dāng)度時(shí),四邊形EDBC是直角梯形，此時(shí) AD的長(zhǎng)為2當(dāng)90時(shí)，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說(shuō)明理由.4、在厶 ABC 中，/ ACB=90 ,圖1AC=BC，直線 MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,7、如圖1，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF / BC交CD于點(diǎn)F AB 4, BC 6，/ B 60 .求：1求點(diǎn)

16、E 到 BC 的距離；2點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM EF交BC于點(diǎn)M，過(guò)M作MN / AB交折線ADC于 點(diǎn)N，連結(jié)PN，設(shè)EP x.當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)如圖2， PMN的形狀是否發(fā)生改變？假設(shè)不 變，求出 PMN的周長(zhǎng)；假設(shè)改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn) N在線段DC上時(shí)如圖3，是否存在點(diǎn)P , 使PMN為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由10、如圖，在厶AOB中，/ AOB=90 OA=OB=6 , C為OB上一點(diǎn)，射線CD丄OB交AB于點(diǎn)D , OC=2 .點(diǎn) P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒.個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度

17、的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) P到到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q也隨之停止.過(guò)點(diǎn) P作PE丄OA 于點(diǎn)E, PF丄OB于點(diǎn)F,得到矩形PEOF.以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形 QMN ,斜邊MN / OB , 且MN=QC .設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t單位：秒.1求t=1時(shí)FC的長(zhǎng)度.2求MN=PF時(shí)t的值.3當(dāng) QMN和矩形PEOF有重疊局部時(shí)，求重疊陰影局部圖形面積4直接寫(xiě)出 QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí) t的值.S與t的函數(shù)關(guān)系式.&如圖， ABC中，AB AC 10厘米,BC8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).(1如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由 動(dòng)B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),

18、同時(shí)，點(diǎn) Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后, BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由;假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使 BPD與 CQP全等？2假設(shè)點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿 ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在 ABC的哪條邊上相遇?8題圖9、如下列圖，在菱形 ABCD中，AB=4，/ BAD =120 AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊 BC . CD上滑動(dòng)，且E、F不與B. C. D重合.1證明不管 E、F在BC . CD上如何滑動(dòng)

19、，總有 BE=CF ;2當(dāng)點(diǎn)E、F在BC . CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形 AECF和厶CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變, 求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大或最小值.參考答案：1、 解：1要使四邊形 PQCD為平行四邊形，那么 PD=CQ AD=18cm，即18-t=2t，解得：t=6 ;2設(shè)經(jīng)過(guò)ts,四邊形PQCD是等腰梯形.過(guò) Q點(diǎn)作QE丄AD，過(guò)D點(diǎn)作DF丄BC ,v四邊形PQCD是 等腰梯形， PQ=DC 又T AD / BC, / B=90 ,二 AB=EQ=DF . EQPA FDC. FC=EP=BC-AD=21-18=3 .又t AE=BQ=21-2t , EP=t-AE ,

20、 EP=AP-AE=t- 21-2t=3.得：t=8.經(jīng)過(guò)8s,四邊形PQCD是等腰梯形.2、5; 3、解：1 30, 1 : 60, 1.5;2當(dāng)/% =90時(shí)，四邊形EDBC是菱形.T/a =/ACB=90,. BC/ED. T CE/AB, 四邊形 EDBC 是平行四邊形在 Rt ABC 中，/ ACB=90,/ B=60,BC=2, / A=30.2假設(shè)/ APB=90 9-t=4 t=5假設(shè)/ PAB=90 BP/BA=BA/BE (9-t)/5=5/4 t=11/4綜上，t=5、11/4。1 BE - AB 2.7、解：1如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EG BC于點(diǎn)G. t E為AB的中點(diǎn)，2在

21、 RtA EBG 中，/ B 60 , / BEG 30 . BG 21 EG 丘 AB=4,AC=2 3 AO= 2-AC在 Rt AOD 中，/ A=30,二 AD=2. BD=2. BD=BC.又四邊形 EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形4、解：1 T/ ACD= / ACB=90 / CAD+ / ACD=90 / BCE+ / ACD=90 / CAD= / BCE / AC=BC ADCCEB / ADCCEB CE=AD , CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2) T/ ADC= / CEB= / ACB=90/ ACD= / CBE 又 t AC=BC ACD

22、CBE CE=AD , CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 當(dāng) MN 旋轉(zhuǎn)至U圖 3 的位置時(shí)，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)t/ ADC= / CEB= / ACB=90/ ACD= / CBE , 又 t AC=BC , ACDCBE , AD=CE,CD=BE, DE=CD-CE=BE-AD.5、解：1正確.證明：在AB上取一點(diǎn)M ,使AMEC，連接ME .BMBE .BME 45 ,AME135.vCF是外角平分線DCF 45,ECF135 .AMEECF* * AEBBAE 90。,AEBCEF 90 ,BAECEF . AMEBCFA

23、SA.AE EF .2正確.證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) N .使ANCE ,連接 NE .BN BE .NPCE 45.四邊形ABCD是止方形，AD /BE .DAEBEA .NAECEF . ANEECFASA.AE EF .2當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PMN的形狀不發(fā)生改變.t PM EF, EG 1EF, PM/ EG .t EF / BC, EPGM , PMEG3J.同理MNAB 4 .如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PHMN 于 H ,t MN/AB,/ NMC / B 60，/ PMH30 .1 PH - PM322 MH PMcos303-那么NHMNMH 43 522 2523 2在 R

24、tA PNH 中，PNNH2 PH27 .22 PMN 的周長(zhǎng)=PM PN MN74 .即點(diǎn)E到BC的距離為3.圖1C圖2當(dāng)PMPN時(shí)，如圖3，作PRMN于R，那么MRNR .類(lèi)似，MR -.2 MN2MR 3.t MNC是等邊三角形，MC MN 3.此時(shí)，xEP GMBCBGMC 6 13 2.當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí), PMN的形狀發(fā)生改變，但 AMNC恒為等邊三角形.6、解：解：1作 AE 丄 BM 于 E。那么 AE=3 , t AB=5 , BE=V AB2-AE2=4 MP=t, BP=9-t假設(shè) AP=AB, 9-t=2 4C. t=1 假設(shè) PA=PB , BP/(1/2AB)

25、=AB/BP 9-t)2=1/2*5*5 t=9- V5/2(9+ V5舍去 假設(shè) BA=BP , |9-t|=5 t=4、14綜上,t=1、4、9-V5/2 14GM圖3圖4當(dāng)MPMN時(shí)，如圖4，這時(shí)MCMN MP 、當(dāng)NPNM時(shí)，如圖5, / NPM/ PMN 30 /PNM / MNC 180 . 因此點(diǎn)P與F重合, MCPMta n301.此時(shí)，x EP GM此時(shí)，x EP GM 6 1.35 ,3.那么/ PMN 120，又/ MNC 60 , PMC為直角三角形.6 114.綜上所述，當(dāng)x 2或4或5 3時(shí)， PMN為等腰三角形.&解：解：1：t 1 秒, BPCQ 313厘米,A

26、B 10厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),5厘米.又 pcBCBP,BC8厘米,PC 835厘米,PC BDAE與BC垂直時(shí)，邊AE最短.故 AEF的面積會(huì)隨著 AE的變化而變化，且當(dāng) AE最短時(shí)，正三角形 AEF 的面積會(huì)最小，又SaCEF=S四邊形AECF - SaAEF，那么此時(shí) CEF的面積就會(huì)最大.二 SCEF = S四邊形AECF-SAAEF 4 31 2 32 3 232 3 o CEF的面積的最大值是 3。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。又: ABAC BPD CQP【分析】1先求證 AB=AC,進(jìn)而求證厶ABC、 ACD為等

27、邊三角形，得/ ACF =60 AC=AB，從而求證厶ABE BA ACF，即可求得 BE=CF。 BPCQ又： BPD CQPC ,那么BPPC4, CQ BD 52由厶 ABE BA ACF 可得 Saabe=Saacf，故根據(jù) S 四邊形 aecF = S aec+Sa acf= Saaec+SaabE=Saabc 即點(diǎn) P ,-t點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間BP 433秒,2設(shè)經(jīng)過(guò)X秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇,聖3 80點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了 3厘米.VqCQt厘米/秒。由題意，得28 24可得四邊形AECF的面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短. AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng) AE最短時(shí)，正三角形 AEF的面積會(huì)最小，根據(jù)Sacef=S四邊形aecf & aef,那么 CEF的面積就會(huì)最大。15x43x 2 10，解得803 秒.點(diǎn)P、點(diǎn)Q