1、嘔心整理圓錐曲線中的類最值 問題作者:日期:嘔心整理圓錐曲線中的 7類最值問題圓錐曲線最值問題是高考中的一類常見問題，解此類問題與解代數(shù)中的最值問題方法類似， 由于圓錐曲線的最值問題與曲線有關(guān)，所以利用曲線性質(zhì)求解是其特有的方法。下面介紹7種常見求解方法1【二次函數(shù)法】將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，再利用配方法或均值不等式或判別式等方法求解?！镜湫屠}1】過動(dòng)直線x+2y=p與定直線2x-y=a的交點(diǎn)(其中p (0,3a)的等軸雙曲線系2 2x y 中，當(dāng)p為何值時(shí)，到達(dá)最大值與最小值？分析：求出交點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線 ，可得 的二次函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)方法求解。x y a解：由x2yp，得

2、交點(diǎn)Q(詈,譽(yù))，交點(diǎn)Q坐標(biāo)代入雙曲線2 x2y =(P2a)25(2p a)2 =5=25( 3p228ap 3a )14a 225a2-3(p) P(0,3 a.25334a12 f4a4a 5a4a5a當(dāng)pmaxa2,又 0p 3a,p,| p|3333333當(dāng)p=3a時(shí)，m0nin點(diǎn)悟把所求的最值表示為函數(shù)，再尋求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，但要注意函數(shù)的定義 域?！咀兪接?xùn)練1】A, B, C三點(diǎn)在曲線x上，其橫坐標(biāo)依次為1, m,4(1m4),953當(dāng)厶ABC的面積最大時(shí)，m等于( )A . 3B.4 C.q D.q答案 B解析 由題意知A(1,1), B(m, ,m), C(4,2).

3、直線AC所在的方程為x3y+ 2 = 0,點(diǎn)B到該直線的距離為|m 3 m+ 2|11d=,10Sabc = 2AC| d= 2=2|m 3,m+ 2匸 1|(.m|)2-?.T m (1,4),二當(dāng).m=多時(shí),Sk abc有最大值，此時(shí)m= 9應(yīng)選B.答案 B2y= ax ,解析由方程組y= kx+ b,【變式訓(xùn)練2】拋物線y= ax2與直線y= kx+ b(k0交于A, B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐 標(biāo)分別為X1, X2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是X3，那么恒有()A . X3 = X1 + X2C . X1 + X2 + X3= 0B . X1X2 = X1X3 + X2X3D . X1X2 +

4、 X2X3 + X3X1 = 0得 ax2-kx-b二0,可知 xl + x2二，xlx2a，x3二治 代入各項(xiàng)驗(yàn)證即可得B正確，應(yīng)選B.2【不等式法】列出最值關(guān)系式，利用均值不等式“等號(hào)成立的條件求解?！镜湫屠}】過橢圓2x2 y22的焦點(diǎn)的直線交橢圓 A,B兩點(diǎn)，求AOB面積的最大值分析：由過橢圓焦點(diǎn)，寫出直線AB方程為y=kx+1 ,與橢圓方程聯(lián)立，消去 y，得關(guān)于x的一元二次方程，巧妙的利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以起到避繁就簡的效果。解：橢圓焦點(diǎn)(0, 1)，設(shè)過焦點(diǎn)(0,1)，直線方程為y=kx+1與2x2y2 2聯(lián)立，消去y,得(2 k2)x2 2kx 1 0, 其中兩根X1,X2為A

5、,B橫坐標(biāo)。將三角形AOB看作 AOF與 BOF組合而成，|OF|是公共邊 ，它們 在公共邊上的高長為1 | X1 X2 | S AOB |OF | |x1 X2 |,其中 |OF|=c=1.22|x1X2)24X1X2 =24k2 4(2 k2)；(2 k2)2S AOB二2 當(dāng) k211k2 1即k=0時(shí),取等號(hào)即當(dāng)直線為y=1時(shí)，得到 AOB的面積最大值為一2點(diǎn)悟利用均值不等式求最值，有時(shí)要用“配湊法，這種方法是一種技巧。在利用均值不等式時(shí)，要注意滿足三個(gè)條件：1、每一項(xiàng)要取正值；2、不等式的一邊為常數(shù)；3、等號(hào)能夠成立。其中正確應(yīng)用“等號(hào)成立的條件是這種方法關(guān)鍵。2 2【變式訓(xùn)練】 如

6、下圖，設(shè)點(diǎn).F,，F(xiàn)2是 乙1的兩個(gè)32焦點(diǎn)，過F2的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求 F1AB的 面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程。分析：S/F1 AB SVF1F2ASVF1F2B，設(shè) A(Xi, yj , B(X2, y2),那么 S/F1AB12廳汀2丨|y1y21 I yiy21 (Q c1)設(shè)直線 AB 的程為 xky入橢圓方程得(2k223)y 4ky 40yi4ky2 2k2 3,yy42k23即|yy214 3(k2 1)2k232、k2 iSVF1AB 1，2t t ( t2t丄tt1 禾|用均值不等式不能區(qū)取“=利用 f(t)2t11t 1 的單調(diào)性易得在t 1時(shí)取最小值

7、tSVf1ab 在t1即k 0時(shí)取最大值為4 3，此時(shí)直線AB的方程為x 133【PA點(diǎn)), P1-PF的最小值】 其中，點(diǎn)A為曲線C 橢圓,e是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),雙曲線或拋物線內(nèi)一定點(diǎn)異于焦2【典型例題1】雙曲線C： X9雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求2y 1內(nèi)有一點(diǎn)165PF的最小值。31分析：注意到式中的數(shù)值“ 3 恰為，那么可由雙曲5eAe是曲線C的離心率。-4圖3線的第二定義知一 PF等于雙曲線上的點(diǎn) P到左準(zhǔn)線的距離53PM，從而 |PA| 3|PF5=PA + PM，由圖知，當(dāng)A、P、三點(diǎn)共線時(shí),PA+ PM取得最小值，其大小為AM944。551題中-PFed (

8、d為P到焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離)，從而將所求轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離?！镜湫屠}22】雙曲線92乙1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(9?2)，試在此雙曲線上求163使|MA| 5|mf|的值最小并求出這個(gè)最小值-分析易知離心率e解析丄I于B.如圖1所示,53-,-|MF |的最值問題轉(zhuǎn)化為| MA | d的最值問題.35為雙曲線的右準(zhǔn)線，M為雙曲線上任意一點(diǎn)，分別作 MN丄I于N , AB5離心率e3由雙曲線的第二定義有|MF | | MN |3 3|MF |.53| MF | = | MA | MN |5I AB|.M為AB與雙曲線右支的交點(diǎn)時(shí),| MA| | MF |取得最小值.5當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為3

9、 5a 2(丁22)，最小值為9 ；365圖【變式例題1】拋物線y24x ,定點(diǎn)A(3,1) , F是拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上求一點(diǎn) P,OQ,那么 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值。使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值 分析：由點(diǎn)A引準(zhǔn)線的垂線，垂足解：如圖，Q y2.4x,p 2 ,焦點(diǎn)F(1,0)。 由點(diǎn)A引準(zhǔn)線x= -1的垂線|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即為最小值.(| AP |y2 4x由j，得P(4,1)為所求點(diǎn).| PF |)min假設(shè)另取一點(diǎn) P ，顯然 | AP | P F | | AP | P Q | | AP | PQ|。點(diǎn)悟利用圓錐曲

10、線性質(zhì)求最值是一種特殊方法。在利用時(shí)技巧性較強(qiáng)，但可以避繁就簡，化| PF |難為易。又如圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn) A與其上一動(dòng)點(diǎn) P,求|AP|的最值時(shí)，?？紤]圓錐e曲線第二定義?！咀?cè)嚴(yán)}2】在橢圓x22J 1內(nèi)有一點(diǎn)P( 1, - 1), F為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn) M，使|MP|+2|MF|3最小，那么這一最小值是()7B.C. 3D. 427 1, A (4, 0)， B2x2【變式例題3】橢圓25(2, 2)是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，求：5(1) 求 -|PA| | PB| 的最小值；(2)求 | PA| |PB|4的最小值和最大值分析：(1) A為橢圓的右焦點(diǎn)。作PQ丄右準(zhǔn)線于

11、點(diǎn) Q，那么由橢圓的第二定義|pa|45e , -|PA| PB | | PQ | PB |，顯然點(diǎn)P應(yīng)是過B向右準(zhǔn)線作垂線|PQ|54與橢圓的交點(diǎn)，最小值為17。4(2)由橢圓的第一定義，設(shè)C為橢圓的左焦點(diǎn)，那么|PA| 2a |PC|二|PA| |PB| |PA| 2a |PC| 10 (| PB | | PC |)，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與B、C成一條直線時(shí)，便可取得最大和最小值。當(dāng)|PB| | PC | | BC |, | PA| | PB| 有最大值，最大值為 10 |BC| 10位置時(shí)，|PB| |PC | BC | ,|PA| |PB |有最小值，最小值為10

12、P到P位置時(shí),2訴0 ； 當(dāng) P 至U P|BC | 10 2,10 .4【參數(shù)法】利用橢圓、雙曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，或利用直線、拋物線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解。2【典型例題1】P是橢圓y21在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，A 2，0，B 0，1，O為原點(diǎn)， 分析：設(shè)求四邊形OAPB的面積的最大值P ( 2cos , sin ) , (0-,點(diǎn)P到直線 AB : x+2y=2的距離2d |2cos2sin 2112局 n(-) 2| 2 2.5、5所求面積的最大值為2例2、橢圓21的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩求三角形OAB的最小面積。分析;寫出橢圓參數(shù)方程 yx a cos，設(shè)切點(diǎn)為 P(a

13、 cos , asin，可得切線方程。解:設(shè)切點(diǎn)為P(acos ,asin )cos，那么切線方程為xasin1.令y=0,得切線與x軸交點(diǎn)A,0；令x=0,得切線與y軸交點(diǎn)B0,LcossinabS aob 1|OA| |OB| = | ab | | ?b | ab.Smin ab.22sin cos sin 2點(diǎn)悟利用圓錐曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題，再利用三角函數(shù)的有 界性得出結(jié)果。5于焦點(diǎn)，【|pap是曲線例2.橢圓2 x2521內(nèi)有16PF的最值】其中，點(diǎn)A為曲線C 橢圓，雙曲線或拋物線內(nèi)一定點(diǎn)異C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)4左焦點(diǎn)，P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求 PA PF的最大值與最小值。解

14、：如圖2,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 “，可知其坐標(biāo)為 F 3, 0,由橢圓的第一定義得：PF| PF 10,那么|PA PF|10 PA PF，可知，當(dāng)P為AF 的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)， PA PF 最大，最大值為 AF 42，當(dāng)P為F A的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PA PF最小，最小值為 |AF42。故A |PF|的最大值為10 J2，最小值為10、2。此題中巧妙地運(yùn)用定義將和與差進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，將不可求轉(zhuǎn)化為可求， 使問題得以解決。 此題中假設(shè)點(diǎn)A在曲線C外呢？假設(shè)把橢圓變?yōu)殡p曲線呢？注意在這類問題中，“和與“差中一個(gè)不可求，就用定義轉(zhuǎn)化為另一個(gè)。正確地畫出圖形，利用平面幾何知識(shí)，一般都可以解決問題。P

15、是曲線C上 e是曲線C的離心率。I是曲線C的一條準(zhǔn)線，d是點(diǎn)P到I的距離,例3.設(shè)P是寸 4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A 1,1的距離與點(diǎn)P到直線I : x 1的距離d之和的最小值。(2)假設(shè) B 3,2，求 PBPF的最小值。解：1如圖 3， PA d PAPFAF(當(dāng) AP、F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)2為第一類pa| 3pf的最小值e問題,如圖4，PBPFPBPQBQ這里6【PA ed的最值】其中，點(diǎn)A為曲線C 橢圓，雙曲線或拋物線外一定點(diǎn), 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) P為過點(diǎn)B的I的垂線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)題中edPF，將所求折線轉(zhuǎn)化為直線，結(jié)合圖形利用平面幾何知識(shí)很容易解決問題。7【曲線上定長動(dòng)

16、弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最值】動(dòng),12eAFBFAB2e(當(dāng)且僅當(dāng)2eAB過焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立)。故M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為d。2e2 2注： 竺 是橢圓的通徑長，是橢圓焦點(diǎn)弦長的最小值， d 更 是AB能過焦點(diǎn)的充要條件。aa-假設(shè)題設(shè)中未告知定值，可考慮用特殊值探求假設(shè)已告知，運(yùn)算推理到最后，參數(shù)必消，定值顯露-是幾何法，常用工具是圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān) 然后利用題中假設(shè)是求中點(diǎn)到與準(zhǔn)線平行的直線的距離的最小值也可以轉(zhuǎn)化為這類問題。 求解定值問題的大體思考方法可設(shè)參數(shù)(有時(shí)甚至要設(shè)兩個(gè)參數(shù))求解最值問題的大體思考方法 結(jié)論；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最

17、值問題， 函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式或三角函數(shù)的有界性等知識(shí)來求解評(píng)析求解本例的關(guān)鍵是將所求表達(dá)式的最小值問題根據(jù)雙曲線的第二定義轉(zhuǎn)化成求|MA|+|MN|的最小值問題.拋物線x2 4y的焦點(diǎn)為F , A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 AF FB過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.(1)證明FM ? AB為定值;設(shè) ABM的面積為S,寫出S f ()的表達(dá)式，并求 S的最小值.分析(1)如圖2所示，設(shè)出A、B的坐標(biāo),注意到(1)中的結(jié)論FM ? AB =00.利用條件將 M的坐標(biāo)用A、B 的坐標(biāo)表示出來，計(jì)算出 FM ?AB并確定其為定值即可(2)將ABM的面積S用表示,1 故 S 丄 |

18、 AB |?| FM |.2再利用求函數(shù)最小值的根本方法來解，此題可采用均值不等式來求 解析(1)由條件，得 F(0?1)?設(shè)(x1?y1)?B(X2?/2).由 AFFB，即得(X1? y1)(X2?/ 2 1)，X1x2 ?1y1(y21)?將式兩邊平方并把 y11 xj2?/ 2代入得y12y2，441 1 2解、式得y?2 ，且有X1X2X24 y24 1 2 1拋物線方程為 y x 求導(dǎo)得y x.42所以過拋物線上A、 B兩點(diǎn)的切線方程分別是11y X1(x X1) y1?yX2(x x?) y?，221 1 211 2即 y x1 xx1 ?yx2xx2.2 424解出兩條切線的交

19、點(diǎn) M的坐標(biāo)為X1 X2 ?0)上一定點(diǎn)M(xo, yo)(yo0,作兩條直線分別交拋物線 于A(xi,yi)、B(X2,y2),當(dāng)MA與MB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，那么y1子2等于()A . - 2B . 2C . 4D . - 4答案 A鄧-y y1 y 2p (y1 yo ) 2p解析 kMA = X1 X0=逝=y1 y2=屮 + y。駕，同理：kMB =2p2p2 .由題意：kMA =一 kMB, y2 + yoy1 + v22yo,.= 2,應(yīng)選 A. 2p2pyi + yo= y2 + yo,yi + yo=(y2+ yo)，yi + y2= 4. (2oi1福州質(zhì)檢)P為拋物

20、線y2= 4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2 + (y 4)2= 1 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是()A . 5B . 8C. 17 1D. 5+ 2答案 C解析 拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)為F(1,o),圓x2 + (y 4)2= 1的圓心為C(o,4),設(shè)點(diǎn) P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為 d,根據(jù)拋物線的定義有 d = |PF|,A |PQ|+ d= |PQ| + |PF| PC| 1) + |PF| 2CF| 1 二.17 1.二、填空題5. 點(diǎn)M是拋物線y2= 4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在圓C: (x 4)2 + (y 1)2= 1上，那么|MA|+ |MF|的最小值為.答案4解析 依題意得