1、2018年上海高職自主招生數(shù)學(xué)模擬試題【含答案】一、填空題（本大題共有12題，茜分54分，其中1-6題每題4分,7-12題每題5分）1 .已知集合A=1,2,5,B=2,a,若AUB=1,2,3,5,則a=.2 .拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.3 .不等式父:1<0的解是.4 .若復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i（i為虛數(shù)單位），則z=.15 .在代數(shù)式（x-工）7的展開式中，一次項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）6 .若函數(shù)y=2sin（cox-）+1（w>0）的最小正周期是兀，則w=.1 17. （5分）若函數(shù)f（x）=xa的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,&）,則a=.8. （5分）將一個正方

2、形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為27兀CM3,則該幾何體的側(cè)面積為cm2.9. （5分）已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f（x）=2x-ax,且f（2）=2,則a=.mILim10. （5分）若無窮等比數(shù)列an的各項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)a1=1,公比為a-2,且、Sn=a,則a=.11. （5分）從5男3女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人志愿者服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）12. （5分）在ABC中，BC邊上的中垂線分別交BC,AC于點(diǎn)D,E.若杷？式6,1AB|=2,則AC=.二、選擇題（本大題共有

3、4題，？菌分20分）13. （5分）展開式為ad-bc的行列式是（）ablacIadbalA.dc|B.b4C.bcD.d14. （5分）設(shè)a,bCR,若a>b,則（）i國A.亙<卜B.lga>lgbC.sina>sinbD.2a>2b15. （5分）已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“A0”是“4+S6>2s5”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2x16. （5分）直線x=2與雙曲線4-y2=1的漸近線交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上任一點(diǎn)，若OP=aOA+bOB，bCR,o為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列不等

4、式恒成立的是（）A.a2+b2>1B.|ab|>1C.|a+b|>1D.|a-b|>2三、解答題（本大題共有5題，？t分76分）17. （14分）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=ZA1C與底面ABCD所成的角為60°,(1)求四棱錐A1-ABCD的體積；(2)求異面直線A1B與B1D1所成角的大小.18. (14分)已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1.(1)求f(x)的最大值及該函數(shù)取得最大值時x的值；A(2)在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，若a小,b=6，且f(2)Hl,求邊c的值.19. (14分)2

5、016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記2016年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(nCN*)年的累計利潤(注：含第n年，累計利潤=累計凈收入-累計投入，單位：千萬元)，且當(dāng)f(n)為正值時，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.(1)試求f(n)的表達(dá)式；(2)根據(jù)預(yù)測，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由.20. (16分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C:由+y2=1(a>0,aw1)的兩個焦點(diǎn)分別是F1,

6、F2,直線l：y=kx+m(k,mCR)與橢圓交于A,B兩點(diǎn).(1)若M為橢圓短軸上的一個頂點(diǎn)，且MF1F2是直角三角形，求a的值；(2)若k=1,且OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求a與m滿足的關(guān)系；也(3)若a=2,且kOA?kOB=-4,求證：OAB的面積為定值.21. (18分)若存在常數(shù)k(k>0),使得對定義域D內(nèi)的任意x1,x2(x1wx2),都有|f(x1)-f(x2)產(chǎn)k|x1-x2|成立，則稱函數(shù)f(x)在其定義域D上是“卜利普希茲條件函數(shù)(1)若函數(shù)f(x)屬,(1<x<4)是“卜利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)k的最小值；(2)判斷函數(shù)f(x)=log2

7、x是否是利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明，若不是，請說明理由；(3)若y=f(x)(xCR)是周期為2的“卜利普希茲條件函數(shù)”，證明：對任意的實(shí)數(shù)x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|W1.2018年上海高職自主招生數(shù)學(xué)模擬試題參考答案一.填空題132.(1,0)3,(-1,0)52162710.21L780a二.選擇題13-16.BDCC4. -/12. 4三、解答題（本大題共有5題，t分76分）17.解：(1).長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=Z.AA1,平面ABCD,AC42,22=2,A1CA是A1C與底面ABCD所成的角,.A1C與底面ABCD所成的角為60

8、6;,/A1CA=60,AA1=AC?tan60°=2?.':=2.,.,S正方形ABCD=AB<BC=2X2=4,二四棱錐A1-ABCD的體積：(2) BD/B1D1,.ZA1BD是異面直線A1B與B1D1所成角(或所成角的補(bǔ)角)BD=J4+4=2M,A1D=A1B«22v=2出，22?4BD-A|D.cos/A1BD=2XA4BD=2X2X2V2=ir.Tu/A1BD=arccos14.vn，異面直線A1B與B1D1所成角是arccosI”- 0v Av 兀冗k 9 4-即x= 6 (kCZ), f (x)取得最大值為 2;(A+6)=近7T18.解：f(

9、x)=2(sinxcosx+2cos2x1=M：sin2x+cos2x=2sin(2x+6)兀兀一(1)當(dāng)2x+6=2時，IA(2)由f(2)=J1,即2sin71V3|可得sin(A+6)=2TV712冗1.A6=3或3A=6或2ITJIV3當(dāng)A=6時，cosA=2bu=2.a=g,b=m,解得：c=4當(dāng)A=工時，cosA=23匚=0-a=,b=,解得：c=2.19.解：(1)由題意知，第1年至此后第8+2(n-1)=2n+6(千萬元)第1年至此后第n(nCN*)年的累計凈收入為n(nCN*)年的累計投入為針-1f(n)(2n+6)（千萬元）-2n-7(千萬元)(2)方法一：f(n+1)-f

10、(n)=2)-2(n+1)j3、仇1_/_3_、n7'2'-2n-7=224,當(dāng)nw3時，f(n+1)f(n)v0,故當(dāng)n<4時，f(n)遞減；當(dāng)n>4時，f(n+1)f(n)>0,故當(dāng)n>4時，f(n)遞增.23=2又f(1)=-2<0,f(7)=2=5X8-21=-s<0,f(8)=2-23=25>0.該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利;方法二：設(shè)f(x) =-2x- 7 X x> 1),則 f'(x)=-2令 f (x) =0, 從而當(dāng)xC 12lrT2An3-lnl 1, 1-0

11、. 7=5,x= 4.當(dāng) xC (4, +84）時, ,）時，f (x) V 0, f (x)遞減;f (x) >0, f (x)遞增.<0,7-2127T33<0, f (8)232523=2>0.該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利.20.解：（1）M為橢圓短軸上的一個頂點(diǎn)，且MF1F2是直角三角形,.MF1F2為等腰直角三角形，OF1=OM,當(dāng)a>1時，立一1=1,解得a=U2,當(dāng)0V av 1時,(2)當(dāng)k=1時,y=x+m,設(shè)A(x1,y1),(x2,y2),y=k+mJ21=1(1+a2) x2+2a2mx+a2m2

12、a2=0x1+x2=一2a2m l+a?聲22m-a21.y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=五OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，OA?OE=0,x1x2+y1y2=0,a2m2-a2+m2-a2=0m2(a2+1)=2a2,(3)證明：當(dāng)a=2時，x2+4y2=4,設(shè)A(x1,y1),(x2,y2),1kOA?kOB=-4,x1x2=-4y1y2,r92Q獷二4由尸做十口,整理得，(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.2-Skm4id-4p.x1+x2=l+4kx1x2=l+4k1.y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+

13、x2)+m24口-2一妹2/m2-4k2="獨(dú)之+l+4k，+m2工,1+4盧=4Xl+4k2,2m2-4k2=1,1.1164產(chǎn)卬",|AB|=?：.；'二門='??？；-一山k，l-d岫+戶&.2.I4.4=2?=mi,O至U直線y=kx+m的距離d=.SAOAB=2|AB|d=2=1+妹2?vl+k?=l+4k2=121.解：(1)若函數(shù)f(x)=4,(1<x<4)是“卜利普希茲條件函數(shù)”，則對于定義域1,4上任意兩個x1,x2(x1wx2),均有|f(x1)-f(x2)|<k|x1-x2|成立，不妨設(shè)x1 >x2,則k>=歷+怎恒成立.1<x2<x1<4k的最小值為2.(2)f(x)=log2x的定義域?yàn)?0,+8),1111111令x1=2,x2=4，則f(2)f(4)=iog2?Tog24=1-(2)=1,而2|x1-x2|=2,.f(x1)-f(x2)>2|x1-x2|,函數(shù)f(x)=log2x不是利普希茲條件函數(shù)證明：(3)設(shè)f(