1、( )()jktkx tX ke/2/21()()Tjk tTX kxtedtT 1( )( )2j tx tXed連續(xù)、非周期離散、非周期( )( )j tXxt edt連續(xù)、周期離散、非周期傅立葉變換的4種形式 2101( )( )NjnkNkx nXk eN離散、周期 離散、周期（DFS）210( )( )NjnkNnXkx n e離散、非周期deeXnxnjj)(21)( 連續(xù)、周期（DTFT）()( )jj nnX ex n e傅立葉變換的4種形式（續(xù)表） 10)()()()(NnssnTtnTxtxnxTt 0其周期為N， 將展成傅立葉級(jí)數(shù)為 ( )()jktkx tX ke（4-

2、2-1 ）sNTT 其中 2 /2 /sTNT則22( )()()()SsjknTjnkNTNkkxnxtXk eXk e（4-2-2）左右同乘 Njnme2并求和如下： 2222111()000( )()()NNNjmnjnkjmnjk mnNNNNnnkknxneX k eeX ke 考慮到 21j()0e0Nn k mNnNkmN rrkmN r為整數(shù) (4-2-3) 因此： ()X kkenxNknNjNn,)(1210= (4-2-4) 由于 knNjnqNkNjee2)(2即周期為N，所以 ()X k取整數(shù)。也是周期序列。 令( )()X kNX k代入（2-4）式可得:10102

3、)()()(NnknNNnNjknWnxenxkX（4-2-5）其中 NjNeW2（為了表示方便，通常用符號(hào)來書寫這個(gè)變換，稱為旋轉(zhuǎn)因子。）將（2-5）式左右同乘 Njnme2并對(duì)k在一個(gè)周期中求和，同理可證knNNkNjknNkWkXNekXNnx)(1)(1)(10210 (4-2-6) 在（2-5）和（2-6）中 )(nx和)(kX都是周期為N的周期序列， )(kX稱為 )(nx級(jí)數(shù)， 的離散傅里葉用DFS（Discrete Fourier Series）表示。knNNkWkXNkXIDFSnx)(1)()(10(4-2-8)10)()()(NnknNWnxnxDFSkX（4-2-7）記

4、作：二、離散傅立葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì))()(21nxnx和)()()(21nxbnxanx(4-2-9)()()(21kXbkXakX)()(mnxny10)()(NnknNWmnxkY11111 0( )( )( )( )( )( )( )NmNNmnkm knkm knkm kNNNNNNn mn mn NNmnkm knkm km kNNNNNn mnYkxnW WxnW WxnW WxnW WxnW WW Xk)()(lkXkY)()(nxWnynlN(4-2-12)(nxWnlN)(lkX)()(nxWnynlN)()()()(10)(10lkXWnxWnxWkYNnlknNnkNNnn

5、lN(4-2-13)()()(*1010*kXWnxWnxNnnkNNnnkN(4-2-14)(*nx)(*kX)() () ()(*10)1(0*10*kXWnxWnxWnxNnknNNnknNNnnkN(4-2-15)其他010)()(Nnnxnx(4-3-1)1, 1 , 0)()()(10NkWnxnxDFTkXNnknN(4-3-2)的離散傅立葉逆變換IDFT為1, 1 , 0)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxknNNk(4-3-3)其中，稱為DFT變換區(qū)間長度，大于或等于)(nx的序列長度。 )(nx)(kX)(nx)(nx)(kXkjkjnknjknneeeWnxkX

6、10251024010210901)1 (1)()(4 ,.1 , 0)10sin()2sin(52kkkekj其中例4.3.1 )()(5nRnx求 )(nx的10點(diǎn)DFT。解：N=10，則nNnznxnxZTzX10)()()()(nx1, 1 , 0)()()(10NkWnxnxDFTkXNnknN(4-3-5)(4-3-4)jez 1, 1 , 0| )(| )()(22NkeXzXkXkNjezkNj(4-3-6)(nx)(jeX)(kX。)(1nx)(2nx,max21NNN 10, )()()()(2121NkkbXkaXnbxnaxDFT式(4-4-1)(nxNnxnx)()(

7、 )x n( )xn( )x n)(mnx )(mnx )(nx)(1nx)()()(1nRmnxnxNN圖4-1 序列的循環(huán)位移循環(huán)移位后的DFT為：)()(1kXWkXkmN (4-4-2)證明：knNNNnknNNNNnWmnxWnRmnxnxDFTkX) )()() )()()(101011則令,mnnnkNNmNmnkmNmnkNNmNmnWnxWWnxkX) )() )()(1)(11由于 )(mNkNkNWW所以 nkNNWnx)(以為周期，改變求和區(qū)間，得： )()() )()(10101kXWWnxWWnxWkXkmNnkNNnkmNnkNNNnkmN同理，若 1, 1 ,

8、0)()(NknxDFTkX)()()(1kRlkXkXNN則)()()(11nxWkXIDFTnxnlN (4-4-3) )(1nx)(2nx,max21NNN )(1kX)(2kX)()()(213kXkXkX)(1nx)(2nx)()()()()(210133nRmnxmxkXIDFTnxNNNm式(4-4-4)()()()()(110233nRmnxmxkXIDFTnxNNNm式(4-4-5)證明: 對(duì)（4-4-3）式左右兩邊進(jìn)行DFT，得knNNnNNmknNNNNmNnWmnxmxWnRmnxmxnxDFTkX10210121011033)()( )()()()()(令nmn11(

9、)31201112011120012( )()()()()()()( )( )01NNmk nmNNmnmNNmkmknNNNmnmNNkmknNNNmnXkxmxnWxm WxnWxm WxnWXk XkkN點(diǎn)循環(huán)卷積通常還表示成下列形式： (4-4-6)圖4-2 循環(huán)卷積過程示意圖 )()()(213nxnxnx)()()(1)()()(2101213kRlkXlXNnxnxDFTkXNNNL例4.4.1 設(shè)兩序列分別為 4 , 3 , 2 , 1 )(1nx 1, 1, 1 , 1 )(2nx求它們的點(diǎn)循環(huán)卷積。 解：循環(huán)卷積 ，)()()()(4423013nRmnxmxnxm用表格法

10、計(jì)算，如表所示。表格法求循環(huán)卷積 4 , 0 , 4, 0)(3nx)(nxep)(nxop10)()(*NnnNxnxepep10)()(*NnnNxnxopop (4-4-9 ) (4-4-10) )(nx)()()(nxnxnxopep (4-4-11) )()()()()(*nxnxnNxnNxnNxopepopep式(4-4-12)結(jié)合(4-4-11)和(4-4-12)，有)()(21)(*nNxnxnxep(4-4-13)()(21)(*nNxnxnxop(4-4-14)10)()(*NkkNXkXepep10)()(*NkkNXkXopop)()()(kXkXkXopep(4-4

11、-17)(4-4-16)(4-4-15)易證明DFT共軛對(duì)稱性如下：)()()()()()()()(kjXnxDFTkXnxDFTkXnjxDFTkXnxDFTIopRepopIepR(4-4-18)()()(njxnxnxIR)()()(kjXkXkXIR(4-4-19)102102| )(|1| )(|NkNnkxNnx證明： 10210*1010*1010*10102|)(|1)()(1)()(1)()(1)()(|)(|NkNkNkNnnkNNnNknkNNnNnkXNkXkXNWnxkXNnxWkXNnxnxnx證畢。( )()rx nx nrN ( )( )( )()( )NNNr

12、x nx n R nx n rN R n (4-5-1) (4-5-2) 頻域采樣定理：若序列 長度為M，只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù))()()(nxkXIDFTnxN)(nxMN 時(shí)，才有： )(kX)(nx)(kX)(nx20MN nNnznxnxZTzX10)()()(1, 1 , 0| )()()()(210NkzXWnxnxDFTkXkNjezNnknN)(kX)(zX110101010101011)(1)(1)(1)()(zWzWkXNzWkXNzWkXNznxzXkNNkNNNknNkNnknNnNnNkknNnNn由于1kNNW)()(11)(1)(10110zkXzWzkXNzXkNkkNNNk1111)(zWzNzkNNk其中為內(nèi)插函數(shù)。計(jì)算線性卷積的框圖如圖4-3所示圖4-3用DFT計(jì)算線性卷積LM ) 1(LMN210( )( )( )NjknNnX kTx n eT DFTx n (4-6-1)1( ) ( ) ( )sx nIDFT X kfIDFT X kT (4-6-2)( 1/)sfT即0211000011( )()()( )NNjnkjknTNnkX kX jkx nT eTx n eTN 式(4-6-4)