1、第第7章章 一元回歸與相關(guān)一元回歸與相關(guān) 前幾章的方法都只涉及一種變量前幾章的方法都只涉及一種變量x，例如，例如不同品種的產(chǎn)量比較試驗中，每個品種的平不同品種的產(chǎn)量比較試驗中，每個品種的平均數(shù)反映了產(chǎn)量的集中點，而標準差反映了均數(shù)反映了產(chǎn)量的集中點，而標準差反映了產(chǎn)量的離散程度，方差分析及多重比較可以產(chǎn)量的離散程度，方差分析及多重比較可以檢驗不同品種產(chǎn)量平均數(shù)間的差異是否顯著。檢驗不同品種產(chǎn)量平均數(shù)間的差異是否顯著。在實際中，產(chǎn)量在實際中，產(chǎn)量x不僅與品種有關(guān)，還與肥料不僅與品種有關(guān)，還與肥料多少、播種密度、灌水量等因素有關(guān)，具體多少、播種密度、灌水量等因素有關(guān)，具體工作中往往要研究兩個變量或

2、兩個以上變量工作中往往要研究兩個變量或兩個以上變量的相互關(guān)系。的相互關(guān)系。 第第7章章 一元回歸與相關(guān)一元回歸與相關(guān) 圓半徑圓半徑r與圓面積與圓面積S之間存在之間存在S=r2的關(guān)的關(guān)系，兩個之間的關(guān)系是確定不變的，系，兩個之間的關(guān)系是確定不變的，r與與S之之間就是間就是函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系。 珍珠貝殼高（珍珠貝殼高（SH，x）與總重（）與總重（TW，y）之間也有一種關(guān)系：之間也有一種關(guān)系：回歸的概念回歸的概念 從從2003年年6月起，每月測定珍珠貝殼高，直到月起，每月測定珍珠貝殼高，直到2005年年4月，月，以生長時間（以生長時間（t）為橫坐標，殼高（）為橫坐標，殼高（y）為縱坐標，作圖：）為縱坐

3、標，作圖： 珍珠貝生長時間（珍珠貝生長時間（t）是固定的，不存在實驗誤差；對應的）是固定的，不存在實驗誤差；對應的殼高值殼高值y不確定，有很多個，誤差較大，但總體隨著不確定，有很多個，誤差較大，但總體隨著t增加而增增加而增加，這兩者之間的關(guān)系就是加，這兩者之間的關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系?；貧w的概念回歸的概念如果每月測量的殼高（如果每月測量的殼高（y）取平均值，發(fā)現(xiàn)）取平均值，發(fā)現(xiàn)t與與y平均值平均值 之間存在函數(shù)關(guān)系：之間存在函數(shù)關(guān)系：)1 (99.92)03.193(25.3652sin0.04164)63.13(0.002070(ttey這個方程就稱為回歸方程。這個方程就稱為回歸方程。y

4、回歸與相關(guān)分析 對于自變量x的每一個取值xi，都有y的一個分布與之對應，我們就稱y對x存在回歸關(guān)系。研究一個自變量與一個因變量之間的回歸分析稱為一元回歸分析一元回歸分析，研究多個自變量與一個因變量之間的回歸分析稱為多元回歸多元回歸分析分析?；貧w分析的目的是建立回歸方程，利用回歸方程由自變量來預測與控制因變量。 一元直線回歸與相關(guān) 研究回歸關(guān)系時，對于每一個自變量x的取值xi，都有y的一個分布與之對應，而不是確定的一個yi與之對應。當x=xi時，對應的y值有平均數(shù)y，我們可以用直線回歸方程來描述x與y之間的關(guān)系： bxay 該方程就是y依x的直線回歸方程，其中x是自變量，是與x值對應的y的平均數(shù)

5、的點估計值；a是x=0時的值，及直線在y軸上的截距（intercept）；b是斜率（slope），也稱為回歸系數(shù)（regression coefficient），其含義是自變量x改變一個單位，因變量y平均增加或減少的單位數(shù)。 y直線相關(guān)直線相關(guān) 如果變量x與y呈線性關(guān)系，但不需要有x來估計y，只需要了解x與y的相關(guān)程度及相關(guān)性質(zhì)，可以通過計算相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)來研究。 兩個變量之間關(guān)系可以通過散點圖看出。（a）隨著x變化，y無變化規(guī)律，稱為為不相關(guān)不相關(guān)；（b）隨著x增加，y也增加，稱為正相關(guān)正相關(guān)；（c）隨著x增加，y減小，稱為負相關(guān)負相關(guān)。直線相關(guān)直線相關(guān) 我們可以從一組樣本數(shù)據(jù)（x，y）中

6、計算得到樣本的相關(guān)系數(shù)，一般用r表示，-1r1。x與y相關(guān)越緊密，| r |越大；如果x與y不相關(guān)不相關(guān)，則r = 0；如果x與y呈函數(shù)關(guān)系，則r = 1，稱為完全相關(guān)或絕對相關(guān)完全相關(guān)或絕對相關(guān)。 在統(tǒng)計中，還有一個表示相關(guān)程度的統(tǒng)計數(shù)叫決定系數(shù)決定系數(shù)，它定義為相關(guān)系數(shù)r的平方，即r2。0r21，它只能表示相關(guān)程度，而不能表示相關(guān)性質(zhì)。直線相關(guān)直線相關(guān)例 有人研究黏蟲孵化歷期平均溫度（x，）與歷期天數(shù)（y，d）之間的關(guān)系，試驗資料見下表。試建立直線方程，并估計平均溫度為15時相應的平均歷期天數(shù)及歷期天數(shù)y的95%置信區(qū)間。直線相關(guān)直線相關(guān) Minitab 輸入數(shù)據(jù)，點擊菜單統(tǒng)計統(tǒng)計回歸回歸

7、回歸回歸：直線相關(guān)直線相關(guān) Minitab彈出對話框，將y選擇到響應響應后面，將x選擇到預測變量預測變量后面： 直線相關(guān)直線相關(guān) Minitab點擊選項選項，在新觀測值的預測區(qū)間下面輸入15，置置信水平信水平默認為95%不作修改，存儲存儲下面勾選擬合值擬合值、擬合值標準誤擬合值標準誤、置信限置信限、預測限預測限： 直線相關(guān)直線相關(guān) Minitab點擊結(jié)果結(jié)果，選擇回歸方程、系數(shù)表、回歸方程、系數(shù)表、s、R平平方和基本的方差分析方和基本的方差分析： 直線相關(guān)直線相關(guān) Minitab點擊確定確定，返回上級對話框，點擊確定確定，即可得到結(jié)果：回歸方程回歸方程t檢驗的方法檢驗回歸關(guān)系的顯著性，檢驗的方

8、法檢驗回歸關(guān)系的顯著性，p=0.0000.01，表明黏蟲孵化歷期平，表明黏蟲孵化歷期平均溫度均溫度x與歷期天數(shù)與歷期天數(shù)y之間的直線回歸之間的直線回歸是非常顯著的，也表明是非常顯著的，也表明x與與y之間的相之間的相關(guān)關(guān)系式非常顯著的。關(guān)關(guān)系式非常顯著的。 決定系數(shù)決定系數(shù)r2=93.7%。 對對x與與y之間的回歸關(guān)系經(jīng)過之間的回歸關(guān)系經(jīng)過F檢驗，得檢驗，得到方差分析表，結(jié)果表明，到方差分析表，結(jié)果表明，F(xiàn)=89.87，p=0.000，表明黏蟲孵化歷期平均溫度，表明黏蟲孵化歷期平均溫度x與歷期天數(shù)與歷期天數(shù)y之間的直線回歸是非常之間的直線回歸是非常顯著的。顯著的。 當平均溫度為當平均溫度為15時

9、，的擬合值為時，的擬合值為19.064，擬合值標準誤為，擬合值標準誤為0.856；對應的；對應的歷期天數(shù)平均值歷期天數(shù)平均值y的的95%置信區(qū)間為置信區(qū)間為（16.970,21.159），歷期天數(shù)），歷期天數(shù)y的的95%置信區(qū)間為（置信區(qū)間為（13.778,24.351）。）。 直線相關(guān)直線相關(guān) 6SQ統(tǒng)計插件輸入數(shù)據(jù)，選擇數(shù)據(jù)，點擊菜單6SQ統(tǒng)計統(tǒng)計回歸分析回歸分析一元線性回歸分析一元線性回歸分析：直線相關(guān)直線相關(guān) 6SQ統(tǒng)計插件輸入數(shù)據(jù)，選擇數(shù)據(jù)，點擊菜單6SQ統(tǒng)計統(tǒng)計回歸分析回歸分析一元線性回歸分析一元線性回歸分析：直線相關(guān)直線相關(guān) 6SQ統(tǒng)計插件點擊確定，即可得到結(jié)果：決定系數(shù)決定系數(shù)

10、0.9374 回歸方程回歸方程 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)-0.9682 直線相關(guān)直線相關(guān) 6SQ統(tǒng)計插件點擊確定，即可得到結(jié)果：回歸系數(shù)回歸系數(shù)t檢驗檢驗表明：用t檢驗的方法檢驗回歸關(guān)系的顯著性，p0，表示增長曲線；當b1，表示凹增長曲線；當0b1，表示凸增長曲線；當b0。方程沒有拐點。 生長曲線生長曲線5. Richards生長曲線生長曲線 生長方程為： 式中A為極限生長量；a是生長初始參數(shù)，決定著生長初始值的大??；k是生長速率；m是異速生長參數(shù)，決定著曲線的形狀。當m增大，拐點位置向右上方偏移，S曲線的下半臂拉長，上半臂縮短，因此m較小時適合描述速生的生長，m大則適合描述生長緩慢的生長過程。mkt

11、aeAy11)1 (生長曲線生長曲線5. Richards生長曲線生長曲線 Richards生長曲線拐點存在的必要條件為a/(1-m)0，拐點的y坐標為 。 Richards生長模型中四個參數(shù)對于建立生長模型非常重要。A是在一個時間序列內(nèi)的生物學上限，是總生長量的飽和值，建立模型時所取樣點的時間序列必須足夠長，若是后期取樣點不足，則容易導致A過大而無法做合理的生物學解釋；m是生物的內(nèi)在生長率，m0，取樣時間隔不宜過大，間隔過大會難以控制曲線形狀，導致模型失真。 mAm11生長曲線生長曲線例 研究馬氏珠母貝殼高（cm）與總重（g）的關(guān)系，定期測量結(jié)果列于下表。試對生長時間（d）與殼高（cm）、生

12、長時間（d）與總重（g）進行回歸分析。生長曲線生長曲線 DPS 先對生長時間（d）與殼高（cm）進行擬合。 輸入數(shù)據(jù)，選擇數(shù)據(jù)，點擊菜單數(shù)學模型數(shù)學模型一元非線性一元非線性回歸分析回歸分析：生長曲線生長曲線 DPS彈出對話框，在回歸方程后面輸入x2=c1/(1+c2*exp(-c3*x1)，然后點擊右下方的參數(shù)估計參數(shù)估計： 生長曲線生長曲線 DPS 從擬合結(jié)果可以看出，R2=0.9848，p=0.000，回歸非常顯著。點擊輸出結(jié)果： 生長曲線生長曲線 DPS 方差分析表明，用Logistic方程 擬合，經(jīng)F檢驗，p=0.000，回歸達非常顯著的水平。 決定系數(shù)R2=0.9848，表明曲線與實

13、測點之間匹配較好。 結(jié)果中給出了參數(shù)的擬合值與標準誤，并進行了t檢驗，給出參數(shù)95%的置信區(qū)間。 最后給出了回歸方程：kxaeAy1)2355. 81/(1563. 7008511. 0 xey生長曲線生長曲線 DPS同樣方法，再對觀測值用Gompertz方程、Bertalanffy方程、Mitscherlich方程、Richards方程擬合，結(jié)果如下： 可以看出，Logistic方程、Gompertz方程、Bertalanffy方程、Mitscherlich方程、Richards方程對觀測值的擬合都非常好。生長曲線生長曲線 DPS同樣方法，再對觀測值用Gompertz方程、Bertalanf

14、fy方程、Mitscherlich方程、Richards方程擬合，結(jié)果如下： 從擬合結(jié)果看，Logistic方程與Richards方程擬合較好。 應用相關(guān)和回歸需要注意的事項：應用相關(guān)和回歸需要注意的事項：（1）研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系，建立回歸方程有）研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系，建立回歸方程有無實際意義，必須結(jié)合專業(yè)知識，作出結(jié)論；而結(jié)無實際意義，必須結(jié)合專業(yè)知識，作出結(jié)論；而結(jié)果還需要經(jīng)得起實際的檢驗。例如大街上男人照鏡果還需要經(jīng)得起實際的檢驗。例如大街上男人照鏡子，不能作出男人愛美的結(jié)論。子，不能作出男人愛美的結(jié)論。（2）利用回歸方程預測因變量，不要超出）利用回歸方程預測因變量，不要超出x的實際的實際取值范圍。例如，對蝦體長增長速度在某一時間內(nèi)取值范圍。例如，對蝦體長增長速度在某一時間內(nèi)與日齡呈近似的直線關(guān)系，但整個生長期內(nèi)是符合與日齡呈近似的直線關(guān)系，但整個生長期內(nèi)是符合生長方程的，是曲線關(guān)系。不能以幾十天的生長實生長方程的，是曲線關(guān)系。不能以幾十天的生長實驗數(shù)據(jù)來推斷幾百天的生長。驗數(shù)據(jù)來推斷幾百天的生長。應用相關(guān)和回歸需要注意的事項：應用相關(guān)和回歸需要注意的事項：（3）利用回歸方程預測因變量，即使）利用回