1、1 前面我們從變化率問題引出了導(dǎo)數(shù)概念，它是前面我們從變化率問題引出了導(dǎo)數(shù)概念，它是微分學(xué)的一個(gè)重要概念。在工程技術(shù)中，還會(huì)遇微分學(xué)的一個(gè)重要概念。在工程技術(shù)中，還會(huì)遇到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的另一類問題，這就是當(dāng)自變到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的另一類問題，這就是當(dāng)自變量有一個(gè)微小的增量時(shí)，要求計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的量有一個(gè)微小的增量時(shí)，要求計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的增量。一般來說，計(jì)算函數(shù)增量的準(zhǔn)確值是比較增量。一般來說，計(jì)算函數(shù)增量的準(zhǔn)確值是比較繁難的，所以需要考慮用簡(jiǎn)便的計(jì)算方法來計(jì)算繁難的，所以需要考慮用簡(jiǎn)便的計(jì)算方法來計(jì)算它的近似值。由此引出了微分學(xué)的另一個(gè)基本概它的近似值。由此引出了微分學(xué)的另一個(gè)基本概念念微分。微

2、分。2第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分一、微分的定義一、微分的定義二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義三、基本初等函數(shù)的微分的公式與微分運(yùn)三、基本初等函數(shù)的微分的公式與微分運(yùn)算法則算法則四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用五、小結(jié)五、小結(jié)3一、微分的定義一、微分的定義實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)Ax .,很小時(shí)可忽略很小時(shí)

3、可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 04再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問題問題: :是否所有函數(shù)的改變量都有主要部分是否所有函數(shù)的改變量都有主要部分(線性主部線性主部)?它是什么它是什么?如何求如何求?5定義定義.),(,)(,)(),()()()(

4、,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )6由定義知由定義知: :;)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量xdy ;)()2(高階無窮小高階無窮小是比是比 xxodyy ;

5、,0)3(是等價(jià)無窮小是等價(jià)無窮小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA ).(,)5(線線性性主主部部很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx 7).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)8(2) 充分性充分性),()(0

6、 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)).(.0 xfA 可微可微可導(dǎo)可導(dǎo).)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的的微分的微分在任意點(diǎn)在任意點(diǎn)函數(shù)函數(shù)9例例1 1解解.02. 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記作記作稱為自變量的微分稱為自變量的

7、微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的微分dxdy10二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(:(如圖如圖) ).,對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) 11三、基本初等函數(shù)的微分公式與三、基本初等函

8、數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 12dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(

9、ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc13例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 14;)(,)1(dxxfdyx 是是自自變變量量時(shí)時(shí)若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即

10、另一變量即另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 3. 微分形式的不變性微分形式的不變性15例例4 4解解.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),

11、12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 16例例5dxdydybaeyxxy,求求設(shè)設(shè) 解一解一 兩邊同時(shí)求微分得兩邊同時(shí)求微分得)()(yxxybaded )()()(yxxyxybdaadbxyde lnlnbdyadxbaydxxdyeyxxy bdyadxxdyydxlnln dxbxyady lnlnbxyadxdylnln 解二解二兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊取對(duì)數(shù)得17byaxxylnln 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，有求導(dǎo)，有byayxylnln bxyadxdylnln dxbx

12、yady lnln由上面的例子還可以看出，求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法由上面的例子還可以看出，求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法在本質(zhì)上并沒有區(qū)別，因此把兩者統(tǒng)稱為在本質(zhì)上并沒有區(qū)別，因此把兩者統(tǒng)稱為微分法微分法18例. 設(shè)設(shè),0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例. 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.

13、CC注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.19)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如例如20四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用, 0)()(00很小時(shí)很小時(shí)且且處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10問面積增大了多少問面積增大了多少厘米厘米半徑伸長(zhǎng)了半徑伸長(zhǎng)了厘米的金屬圓片加熱后厘米的金屬圓片加熱后半徑半徑解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 1.

14、函數(shù)的近似計(jì)算函數(shù)的近似計(jì)算21;)(0附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360,30 xx22.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(附附近近的的近近似似值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xx

15、x 令令23常用近似公式常用近似公式)(很小時(shí)很小時(shí)x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 24例例2 2.計(jì)計(jì)算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03.

16、0 e.97. 0 25微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做叫做微分學(xué)微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) 內(nèi)容小結(jié)26導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它是無窮小它是無窮小實(shí)際上實(shí)際上定義域是定義域是它的它的的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函

17、數(shù)Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的縱坐標(biāo)增量的縱坐標(biāo)增量方程在點(diǎn)方程在點(diǎn)處的切線處的切線在點(diǎn)在點(diǎn)是曲線是曲線而微而微處切線的斜率處切線的斜率點(diǎn)點(diǎn)在在是曲線是曲線從幾何意義上來看從幾何意義上來看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 內(nèi)容小結(jié)271. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2. 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差內(nèi)容小結(jié)28思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中

18、標(biāo)出的點(diǎn)0 x處的yy ,d及,dyy 并說明其正負(fù) .yd0 xx00 xxyoy00yyd292.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21305. 設(shè)設(shè))(xyy 由方程063sin33yxyx確定,.d0 xy解解: 方程兩邊求微分, 得xx d32當(dāng)0 x時(shí),0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 設(shè) ,0a且,nab 則nnba1nanba31思考題思考題 因因?yàn)闉橐灰辉瘮?shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性是是等等價(jià)價(jià)的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對(duì)對(duì)嗎嗎？32思考題解答思考題解答說法不對(duì)說法不對(duì). 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化出線性主部而得到的，導(dǎo)