1、回歸設(shè)計回歸設(shè)計回歸設(shè)計概述回歸設(shè)計概述回歸模型回歸模型因素水平編碼因素水平編碼BoxBenhken設(shè)計設(shè)計二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計概述概述回歸設(shè)計也稱為響應(yīng)面設(shè)計。是一種通過少量試驗(yàn)，獲得數(shù)據(jù)，估計參數(shù)，有效地建立試驗(yàn)指標(biāo)和連續(xù)變量之間的定量關(guān)系的方法。它是由英國統(tǒng)計學(xué)家G.Box在20世紀(jì)50年代初真對化工生產(chǎn)提出的，后來這一方法得到了廣泛的應(yīng)用。概述概述廣泛應(yīng)用于化工、鋼鐵、機(jī)械、制藥、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域。根據(jù)建立的回歸方程的次數(shù)不同，回歸設(shè)計有一次回歸設(shè)計、二次回歸設(shè)計。二次回歸的正交試驗(yàn)設(shè)計是用于尋求最佳工藝、最佳配方和建立生產(chǎn)過程數(shù)學(xué)模型的很好方法?；貧w模型回歸模型響應(yīng)面分析響應(yīng)面

2、分析（Response Surface Analysis）主要包括回歸方程的估計和檢驗(yàn)，模型欠擬檢驗(yàn)，回歸參數(shù)的估計和檢驗(yàn)，因素效應(yīng)的檢驗(yàn)，模型決定系數(shù)的計算，最優(yōu)水平組合的估計及其附近的響應(yīng)面特征?；貧w模型回歸模型1. 二次響應(yīng)面（多元二次多項(xiàng)式）二次響應(yīng)面（多元二次多項(xiàng)式）模型描述：模型描述： pjpjNxxxxxfYpjjjjpjjjjj jpjjj, 2 , 1, 2 , 1, 021210，Y 響應(yīng)變量；xj 第j個自變量；正態(tài)隨機(jī)誤差；0 回歸截距；j jjjj 回歸系數(shù)；回歸模型回歸模型三元二次響應(yīng)面模型描述：二次響應(yīng)面模型描述：Y 響應(yīng)變量；x 第j個自變量；正態(tài)隨機(jī)誤差；0

3、回歸截距； 回歸系數(shù)；22333222221113223311321123322110, 0NxxxxxxxxxxxxY回歸模型回歸模型二次響應(yīng)面模型的矩陣描述：二次響應(yīng)面模型的矩陣描述：Y 響應(yīng)變量；X 結(jié)構(gòu)矩陣；正態(tài)隨機(jī)誤差；n 數(shù)據(jù)組數(shù)；0 nx1的元素全是0的向量；nnINXY2, 0回歸模型回歸模型2. 回歸系數(shù)的最小二乘估計，應(yīng)滿回歸系數(shù)的最小二乘估計，應(yīng)滿足以下正規(guī)方程：足以下正規(guī)方程：XbXYXXbY當(dāng)當(dāng)(XX)-1存在時，解得存在時，解得估計估計b bYXXXb1 H0： H1： 不全為不全為0回歸模型回歸模型3. 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)：回歸方程的顯著性檢驗(yàn)：021p記：記：

4、p,21nixbxbbyippii, 2 , 1110，回歸模型回歸模型REniiniiiniiTSSyyyyyyS121212) ()()(有方和分解式：有方和分解式：iiiEyyS2)(1pnfE2)(yySiRpfR其中：其中：殘差平方和殘差平方和回歸平方和回歸平方和自由度自由度自由度自由度回歸模型回歸模型) 1,(),(/pnpFffFfSfSFEREERR) 1,(1pnpFF當(dāng)當(dāng)H0為真時，有為真時，有給定顯著性水平給定顯著性水平，則拒絕域?yàn)閯t拒絕域?yàn)?FF1FF接收接收H0拒絕拒絕H0，接受，接受H1回歸模型回歸模型4. 失擬檢驗(yàn)：失擬檢驗(yàn)：在某些點(diǎn)上有重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以對Y的期

5、望是否是x線性函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。殘差平方和SE分解為組內(nèi)（誤差）平方和Se與組間（失擬）平方和SLf。即：LfeESSS回歸模型回歸模型式中：式中：nimjiijeiyyS121)(nNmfie) 1(imjijiiymy11niiiiLfyymS12)(1pnfLf自由度自由度自由度自由度 H0： H1：回歸模型回歸模型假設(shè)：假設(shè)：ppxxEy110ppxxEy110統(tǒng)計量：統(tǒng)計量：eeLfLfLffSfSF/當(dāng)拒絕當(dāng)拒絕H0時，需要尋找原因，改變模型時，需要尋找原因，改變模型否則認(rèn)為線性回歸模型合適，可以將否則認(rèn)為線性回歸模型合適，可以將Se與與SLf合并作為合并作為SE檢驗(yàn)方程是否顯著。檢驗(yàn)

6、方程是否顯著?；貧w模型回歸模型5. 回歸系數(shù)的檢驗(yàn)：回歸系數(shù)的檢驗(yàn)：0010jjjjHH：，：對每一個回歸系數(shù)進(jìn)行對每一個回歸系數(shù)進(jìn)行F或或t檢驗(yàn)檢驗(yàn)222/jjjjjcbtF給定的顯著性水平給定的顯著性水平當(dāng)當(dāng) 時拒絕假設(shè)時拒絕假設(shè)H0j，即認(rèn)，即認(rèn)為為0j0j顯著不為零，否則認(rèn)為顯著不為零，否則認(rèn)為0j0j為為零，可以將對應(yīng)的變量逐一從回歸方零，可以將對應(yīng)的變量逐一從回歸方程中刪除。程中刪除。Cij為(XX)-1的第j+1個對角元 是模型2的無偏估計回歸模型回歸模型式中：式中：EEfS / ), 1 (1EjfFF因素水平編碼因素水平編碼 在回歸問題中各因子的量綱在回歸問題中各因子的量綱不

7、同，其取值的范圍也不同，為了不同，其取值的范圍也不同，為了數(shù)據(jù)處理的方便，對所有的因子作數(shù)據(jù)處理的方便，對所有的因子作一個線性變換，使所有因子的取值一個線性變換，使所有因子的取值范圍都轉(zhuǎn)化為中心在原點(diǎn)的一個范圍都轉(zhuǎn)化為中心在原點(diǎn)的一個“立方體立方體”中，這一變換稱為對因中，這一變換稱為對因子水平的編碼。子水平的編碼。因素水平編碼因素水平編碼設(shè)計變量初選試驗(yàn)范圍設(shè)計變量初選試驗(yàn)范圍zj的最的最大值編碼大值編碼xjM為為1，最小值編碼，最小值編碼xjm為為-1，中間值編碼，中間值編碼xj0為為0。 2/ )(210jjjzzzjjjjzzx02/ )(12jjjzz因素水平編碼因素水平編碼三因素響

8、應(yīng)面設(shè)計的試驗(yàn)點(diǎn)及分布三因素響應(yīng)面設(shè)計的試驗(yàn)點(diǎn)及分布(1,1,-1)(-1,1,-1)(-1,1,1)(-1,-1,1)(-1,-1,-1)(1,-1,1)(1,-1,-1)(1,1,1)x1x2x3o中心點(diǎn)主軸點(diǎn)基試驗(yàn)點(diǎn)BoxBenhken設(shè)計設(shè)計由BoxBehnken 提出的中心組合設(shè)計是一種較常用的回歸設(shè)計法，適用于2 至5 個因素的優(yōu)化實(shí)驗(yàn)。BoxBehnken設(shè)計首先假定實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)存在二次項(xiàng)，其試驗(yàn)點(diǎn)的選取為編碼立方體的每條棱的中點(diǎn)。BoxBenhken設(shè)計設(shè)計例題例題：對超高壓殺滅枯草芽孢桿菌效果Y的研究發(fā)現(xiàn)：溫度、壓力、保壓時間是滅活枯草芽孢桿菌顯著影響因子。研究結(jié)果表明殺滅6個

9、數(shù)量級的枯草芽孢桿菌的殺菌條件，溫度為：X1=31.1059.03，壓力為X2=235.23562.21 MPa，保壓時間為X3=10.1119.53min，試分析最優(yōu)殺菌工藝參數(shù)。BoxBenhken設(shè)計設(shè)計題解題解：本試驗(yàn)采用本試驗(yàn)采用Box-Behnken模型，模型，以壓力以壓力X1 ，溫度，溫度X2 ，保壓時間，保壓時間X3 三個三個外界因子為自變量，并以外界因子為自變量，并以+1、0、-1分分別代表自變量的高、中、低水平，對別代表自變量的高、中、低水平，對自變量進(jìn)行編碼，超高壓殺滅菌的數(shù)自變量進(jìn)行編碼，超高壓殺滅菌的數(shù)量級量級Y為響應(yīng)值為響應(yīng)值(Y=-log10 Nt/N0 ，即經(jīng)超

10、高，即經(jīng)超高壓作用后枯草芽孢桿菌死亡的數(shù)量級，壓作用后枯草芽孢桿菌死亡的數(shù)量級，Nt為超高壓處理后為超高壓處理后1ml菌液中的活菌數(shù)，菌液中的活菌數(shù)，N0為對照為對照1ml菌液中的活菌數(shù)菌液中的活菌數(shù)) BoxBenhken設(shè)計設(shè)計實(shí)驗(yàn)因素水平及編碼表實(shí)驗(yàn)因素水平及編碼表FactorFactorSymbolsSymbolsLevelLevelCodedCoded UncodedUncoded-1-10 01 1溫度溫度()()X X1 1X X1 1303045456060壓力壓力(MPa(MPa) )X X2 2X X2 2200200400400600600保壓時間保壓時間(min)(mi

11、n)X X3 3X X3 3101015152020BoxBenhken設(shè)計設(shè)計實(shí)驗(yàn)設(shè)計與結(jié)果表實(shí)驗(yàn)設(shè)計與結(jié)果表Trial No.X1X2X3Response1-10-14.27210-15.443-1015.1141015.795-1-102.1161-103.217-1106.0481106.8790-1-12.70100-113.441101-16.23120116.43130005.45140005.32150005.67160005.43170005.23二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計應(yīng)用二次回歸正交設(shè)計法，所得的回歸系數(shù)的估計之間相互獨(dú)立，因此刪除某些因子時不會影響其它的回歸系數(shù)

12、的估計，從而很容易寫出所有系數(shù)為顯著的回歸方程。 二次回歸正交設(shè)計的試驗(yàn)點(diǎn)由正交點(diǎn)、主軸點(diǎn)和中心點(diǎn)組成。二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計兩個變量的試驗(yàn)點(diǎn)組合方案 0000n9 42 , 0000876542),2(111111114321023421mpmLxxc中心點(diǎn)星號點(diǎn)用試驗(yàn)號二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計的參數(shù)值表二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計例題例題：在研究在某提純工藝中，發(fā)現(xiàn)雜質(zhì)Y的產(chǎn)生量受溫度、壓力、提取時間顯著影響。研究結(jié)果表明這種提純工藝的的工作條件，其溫度為：X1=5090，壓力為X2=48 MPa，提取時間為X3=13hour，試分析最優(yōu)提純工藝參數(shù)。

13、二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計查表三因子，中心點(diǎn)重復(fù)兩次的查表三因子，中心點(diǎn)重復(fù)兩次的=1.2872=1.2872=(Z=(ZM M-Z-Zm m)/2)/2, X, X1 1=Z0+=Z0+, X, X-1-1=Z0-=Z0-實(shí)驗(yàn)因素水平及編碼表實(shí)驗(yàn)因素水平及編碼表編碼編碼溫度（溫度（） 壓力（壓力（MPa）提取時間（提取時間（hour）上水平上水平185.547.552.78基準(zhǔn)水平基準(zhǔn)水平07062下水平下水平-054.464.451.22+1.27829083-1.27825041二次回歸正交設(shè)計二次回歸正交設(shè)計實(shí)驗(yàn)設(shè)計與結(jié)果表實(shí)驗(yàn)設(shè)計與結(jié)果表NoX1X2X3TempPresHourY111185.547.552.780.0947211-185.547.551.220.090331-1185.544.452.780.098741-1-185.544.451.220.09075-11154.467.552.780.09026-11-154.467.551.220.08927