1、§8.圓錐曲線方程知識要點、橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義:PF22aPF22aPF22aPF1PF1PF1f1f2方程為橢圓,F1F2無軌跡,f1f2以f1,f2為端點的線段橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:i.中心在原點,焦點在X軸上：匚a22-1 (a bb2ii.中心在原點,焦點在2y軸上：乂a2x21(a bb20).一般方程：Ax2By21(A0, B 0).橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:22L1的參數(shù)方程為x acosa2 b2y bsi n一象限應(yīng)是屬于0頂點：(a,0)(0, 軸：對稱軸： 焦點：b)或(0, a)( b,0). x軸，y軸；長軸長 (c,0)(c,0)或(0, c)(0,c).

2、2a，短軸長2b .焦距:F1F22 c, ca2 b2準(zhǔn)線:離心率:a(o1).焦點半徑:i.設(shè)P(xo,yo)為橢圓ii.設(shè)P(xo,yo)為橢圓x2b22y2 y1(a1(a0)上的一點，F(xiàn)1,F2為左、右焦點，那么0)上的一點，F(xiàn)1,F2為上、下焦點，那么PF1PF1exo, PF 2eyo, PF 2a ex0a eyo2ae(Xo)exo a(Xoca2e(xo)c注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N(acos ,bsin ) 方程的軌跡為橢圓.2b2 , b2. 一由橢圓第二定義可知:PF1a exo(xo 0), pF 20)歸結(jié)起來為左加右減.通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).

3、坐標(biāo):b2a2 (詩和(訂)共離心率的橢圓系的方程：2橢圓$a20)的離心率是e -(c a2 b2)，方程a2 x -2 a2言t(t是大于0的參數(shù)，ab o)的離心率也是c我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程a2假設(shè)P是橢圓：冷a2匸b21上的點.F1，F(xiàn)2為焦點,假設(shè)F1PF2，那么PF1F2的面積為b2tan用余弦定理與PFj |PF22a可得.假設(shè)是雙曲線，那么面積為 bcot2二、雙曲線方程1.雙曲線的第一定義:雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:一般方程:,bsin ),asin )PFiPFiPFix2a2i.焦點在x軸上：頂點：(a,0),(a,0)焦占：八、八、(c,0),( c,0)準(zhǔn)線方程x

4、ii.焦點在y軸上:頂點：(0, a), (0,a).焦占：八、八、(0,c), (0, c).準(zhǔn)線方程：yAx22 ac漸近線方程：x ayb0或與a2:。222a漸近線方程：yx0或篤x小20，cabab2參數(shù)方程：x asec 亠 x b tan 或y btany a sec軸x,y為對稱軸，實軸長為 2a,虛軸長為2b，焦距2c. 離心率e -a 準(zhǔn)線距空!c兩準(zhǔn)線的距離；通徑2b2參數(shù)關(guān)系c2a2 b2,e -a2 X 2 a2焦點半徑公式：對于雙曲線方程L 1b2Fi,F2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點“長加短減原那么：與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而

5、雙曲線不帶符號MF 1 ex0 a構(gòu)成滿足MFi MF 2 2aMF 2 ex。aMF iey oaMF 2ey oaM F ieyoaM F 2ey0a等軸雙曲線：雙曲線 x2 y2 a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y x，離心率e 2.共軛雙曲線：以雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做雙曲線的共軛雙曲2線.篤a2 y b22與乞2a2 y b2互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線:x2a22 y b2共漸近線的雙曲線系方程:2 X2a(0)2的漸近線方程為-2 a2yb20如果雙曲線的漸近線為x z 0時，它的雙曲線方程可設(shè)為a b2 y b20).例如：假設(shè)雙曲線一條漸近線為1

6、x且過p(3,212)2解：令雙曲線的方程為：L4直線與雙曲線的位置關(guān)系：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(0)，代入(3,區(qū)域 區(qū)域 區(qū)域 區(qū)域 區(qū)域 小結(jié)：2條;即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計 3 條;2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計 4條；即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線1過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有2假設(shè)直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入 求交和兩根之和與兩根之積同號 2 2假設(shè)P在雙曲線 y 1，那么常用結(jié)論a2 b2

7、，求雙曲線的方程?32J 1.22 條;0、2、3、4 條.“法與漸近線1 ：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.2: P到焦點的距離為 m = n,貝U P到兩準(zhǔn)線的距離比為m : n.簡證:d1d 2PF1ePF 2e三、拋物線方程3設(shè)p 0，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):2y 2pxy2 2pxx22 py2x2 2py圖形丿十TT焦占八 '、八、fpoF號,0F(O)F(0, -p)準(zhǔn)線xE2x舟y舟y弓范圍x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0對稱軸x軸y軸頂點0, 0離心率e 1焦占八 '、八、|pf| p X!ipf 2 i

8、n|PF 號 yi|PF 號 |yil注： ay2 by c x 頂點(4ac b ). 4a 2a y2 2 px( p0)那么焦點半徑pf| x P ； x2 2py(p0那么焦點半徑為PF通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的y2 2px或x2 2py的參數(shù)方程為2pt2或2 pt2pt 22 ptt為參數(shù)四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點 F和定直線I的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡.當(dāng)0 e 1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e 1時，軌跡為拋物線；當(dāng) e 1時，軌跡為雙曲線；當(dāng) e 0時，軌跡為圓e C，當(dāng)c 0, a b時a5.圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

9、對原點的一條直線與雙曲線的交點是關(guān)于原點對 稱的因為具有對稱性，所以欲證 AB=CD,即證AD與BC的中點重合即可注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1.到兩定點Fi,F2的距離之和為定 值2a(2a>|RF2|)的點的軌跡1.到兩定點F1,F2的距離之差的 絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2| )的 點的軌跡2.與定點和直線的距離之比為定 值e的點的軌跡.0<e<12.與定點和直線的距離之比為 定值e的點的軌跡.e>1與定點和直線的距離 相等的點的軌跡方標(biāo)準(zhǔn)方程2 2冷篤 1 (a b>0)ab2 2xy1 (a>0,b>0)ab2y2=2px程參數(shù)方程x a cos y bsi n(參數(shù)為離心角)x asec y bta n(參數(shù)為離心角)x 2pt (t為參數(shù)) y 2 pt范圍a x a, b y b|x| a, y Rx 0中心原點00, 0原點O 0, 0頂點(a,0),( a,0) (0,b) , (0, b)(a,0), (a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長 2a,短軸長2bx軸，y軸;實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦占八 '、八、F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)F礙0)