1、與 積 分 變 換復 變 函 數(shù) 謝 松 法3一、教學及考核方式一、教學及考核方式主要參考書主要參考書（略）（略）考試方式：考試方式： 閉卷閉卷考試成績：考試成績： 作業(yè)占作業(yè)占 20%，考試占，考試占 80%作業(yè)：作業(yè)： 每周交作業(yè)一次每周交作業(yè)一次答疑：答疑： 每周一次每周一次課堂教學：課堂教學： 40 學時學時( (練習冊練習冊) )( (科技樓南樓科技樓南樓813室室) )4二、二、教學內(nèi)容教學內(nèi)容本課程由本課程由復變函數(shù)復變函數(shù)與與積分變換積分變換兩個部分組成。兩個部分組成。復變函數(shù)與積分變換課程是工科各專業(yè)必修的重要基礎復變函數(shù)與積分變換課程是工科各專業(yè)必修的重要基礎理論課，是工程

2、數(shù)學的主要課程之一。理論課，是工程數(shù)學的主要課程之一。復變函數(shù)與積分變換復變函數(shù)與積分變換在科學研究、工程技術等各行各業(yè)中有著廣泛的應用。在科學研究、工程技術等各行各業(yè)中有著廣泛的應用。復變函數(shù)復變函數(shù)的內(nèi)容包括：的內(nèi)容包括：復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級數(shù)表示、留數(shù)及其應用、共形變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級數(shù)表示、留數(shù)及其應用、共形映射映射以及以及解析函數(shù)在平面場的應用解析函數(shù)在平面場的應用。其中，帶其中，帶 “* *” 號的內(nèi)容本課堂不需要掌握。號的內(nèi)容本課堂不需要掌握。積分變換積分變換的內(nèi)容包括：的內(nèi)容包括：傅里葉變換和拉普拉斯變換傅里葉

3、變換和拉普拉斯變換。5第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 第一章第一章 復數(shù)與復變函數(shù)復數(shù)與復變函數(shù)復數(shù)領域的推廣和發(fā)展復數(shù)領域的推廣和發(fā)展 。復變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實變函數(shù)在復變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實變函數(shù)在復數(shù)復數(shù)的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀中期。但直到十八的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀中期。但直到十八世紀末期，經(jīng)過了世紀末期，經(jīng)過了卡爾丹卡爾丹、笛卡爾笛卡爾、歐拉歐拉以及以及高斯高斯等許多人等許多人的長期努力，復數(shù)的地位才被確立下來。的長期努力，復數(shù)的地位才被確立下來。復變函數(shù)理論復變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀，在十九世紀得到了全面產(chǎn)生于十八世紀，在十九世紀得到了全面為這門學

4、科的發(fā)展作了大量奠基工作的為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作的發(fā)展。發(fā)展。為復變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是為復變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是歐拉歐拉、達朗達朗貝爾貝爾、拉普拉斯拉普拉斯等。等。則是則是柯西柯西、黎曼黎曼和和維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯等。等。( (虛數(shù)史話虛數(shù)史話) )6第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 第一章第一章 復數(shù)與復變函數(shù)復數(shù)與復變函數(shù)1.2 復數(shù)的幾種表示復數(shù)的幾種表示1.1 復數(shù)復數(shù)1.3 平面點集的一般概念平面點集的一般概念1.5 復變函數(shù)復變函數(shù)1.4 無窮大與復球面無窮大與復球面7第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 1.1 復數(shù)復數(shù)一、復數(shù)及其運算一、復數(shù)及其運算二

5、、共軛復數(shù)二、共軛復數(shù)8第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 一、復數(shù)及其運算一、復數(shù)及其運算1. 復數(shù)的基本概念復數(shù)的基本概念定義定義 (1) 設設 x 和和 y 是任意兩個實數(shù)，是任意兩個實數(shù)，yixz ( (或者或者 ) )i yxz 的數(shù)稱為的數(shù)稱為復數(shù)復數(shù)。 (2) x 和和 y 分別稱為復數(shù)分別稱為復數(shù) z 的的實部實部與與虛部虛部，并分別表示為：，并分別表示為： ,Rezx .Im zy 當當 y 0 時，時，因此，實數(shù)可以看作是復數(shù)的特殊情形。因此，實數(shù)可以看作是復數(shù)的特殊情形。(3) 當當 x 0 時，時，yiyiz 0稱為稱為純虛數(shù)純虛數(shù)；xixz 0就是就是實數(shù)實數(shù)。將形

6、如將形如.1 i其中其中 i 稱為稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位，即，即P1 9第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 設設 與與 是兩個復數(shù)，是兩個復數(shù)，111yixz 222yixz 如果如果,21xx ,21yy 則稱則稱 與與 相等相等。1z2z它們之間只有相等與不相等的關系。它們之間只有相等與不相等的關系。一、復數(shù)及其運算一、復數(shù)及其運算1. 復數(shù)的基本概念復數(shù)的基本概念相等相等0 yixz當且僅當當且僅當.0 yx特別地，特別地，復數(shù)與實數(shù)不同，兩個復數(shù)復數(shù)與實數(shù)不同，兩個復數(shù)( (虛部不為零虛部不為零) )不能比較大小，不能比較大小，注注10第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 一、復數(shù)及其

7、運算一、復數(shù)及其運算2. 復數(shù)的四則運算復數(shù)的四則運算設設 與與 是兩個復數(shù)，是兩個復數(shù)，111yixz 222yixz (1) 復數(shù)的加減法復數(shù)的加減法; )(212121yyixxzz 加法加法. )(212121yyixxzz 減法減法(2) 復數(shù)的乘除法復數(shù)的乘除法; )()(1221212121yxyxiyyxxzz 乘法乘法,21zzz .21zzz 如果存在復數(shù)如果存在復數(shù) z，使得，使得則則除法除法P2 11第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 一、復數(shù)及其運算一、復數(shù)及其運算2. 復數(shù)的四則運算復數(shù)的四則運算(3) 運算法則運算法則交換律交換律;1221zzzz .1221z

8、zzz 結合律結合律; )()(321321zzzzzz . )()(321321zzzzzz 分配律分配律.)(3121321zzzzzzz 12第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 二、共軛復數(shù)二、共軛復數(shù)1. 共軛復數(shù)的定義共軛復數(shù)的定義設設 是一個復數(shù)，是一個復數(shù)，定義定義yixz 稱稱 為為 z 的的共軛復數(shù)共軛復數(shù)，yixz 記作記作 。z共軛復數(shù)有許多用途。共軛復數(shù)有許多用途。注注比如比如21zzz )( )()( )(22222211yixyixyixyix 2221zzzz P2 13第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 二、共軛復數(shù)二、共軛復數(shù)2. 共軛復數(shù)的性質(zhì)共軛復數(shù)的

9、性質(zhì)其中，其中，“ ”可以是可以是;, ,2121zzzz (2);ImRe2222yxzzzz (3);zz (1)性質(zhì)性質(zhì)P3 14第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 解解 (1)iizz435521 )43( )43()43( )55(iiii 25535i .5157i .5157i 21zz 21zz(2)15第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 證明證明2121zzzz 2121zzzz 2121zzzz . )(Re221zz P4 例例1.1 16第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1.1 復數(shù) 輕松一下吧17第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 卡爾丹稱它們?yōu)榭柕しQ它們?yōu)椤疤摌嫷牧刻摌嫷牧俊被蚧颉?/p>

10、詭辯的量詭辯的量”。他還把它。他還把它們與們與負數(shù)統(tǒng)稱為負數(shù)統(tǒng)稱為“虛偽數(shù)虛偽數(shù)”；把正數(shù)稱為；把正數(shù)稱為“證實數(shù)證實數(shù)”。附：附：歷史知識歷史知識 虛數(shù)史話虛數(shù)史話兩數(shù)的和是兩數(shù)的和是 10 , 積是積是 40 , 求這兩數(shù)求這兩數(shù)卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把 10 分成分成 和和 即可。即可。155 155 1545 年，卡爾丹第一個認真地討論了虛數(shù)，他在年，卡爾丹第一個認真地討論了虛數(shù)，他在大術大術中求解這樣的問題：中求解這樣的問題： 卡爾丹的這種處理，遭到了當時的代數(shù)學權威韋達和他的卡爾丹的這種處理，遭到了當時的代數(shù)學權威韋達和他的學生哈里奧特的責難。學生哈里奧特的責難。18第一章

11、 復數(shù)與復變函數(shù) 附：附：歷史知識歷史知識 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 整個十七世紀，很少有人理睬這種整個十七世紀，很少有人理睬這種 “虛構的量虛構的量” 。僅有極少數(shù)的數(shù)學家對其存在性問題爭論不休。僅有極少數(shù)的數(shù)學家對其存在性問題爭論不休。意義下的意義下的“復數(shù)復數(shù)”的名稱。的名稱。 1632 年，笛卡爾在年，笛卡爾在幾何學幾何學中首先把這種中首先把這種“虛構的量虛構的量”改稱為改稱為“虛數(shù)虛數(shù)”，與，與“實數(shù)實數(shù)”相對應。同時，還給出了如相對應。同時，還給出了如今今19第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 附：附：歷史知識歷史知識 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 到了十八世紀，虛數(shù)才開始被關注起來。到了十八世紀，虛數(shù)才開始被關

12、注起來。,sin1cos)sin1(cosnnn 1722 年，法國數(shù)學家德摩佛給出德摩佛定理：年，法國數(shù)學家德摩佛給出德摩佛定理： 其中其中 n 是大于零的整數(shù)。是大于零的整數(shù)。,sin1cos1exxx 1748 年，歐拉給出了著名的公式：年，歐拉給出了著名的公式：并證明了德摩佛定理對并證明了德摩佛定理對 n 是實數(shù)時也成立。是實數(shù)時也成立。.1 1777 年，歐拉在遞交給彼德堡科學院的論文年，歐拉在遞交給彼德堡科學院的論文微分公式微分公式中首次使用中首次使用 i 來表示來表示20第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 附：附：歷史知識歷史知識 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 十八世紀末，高斯的出現(xiàn)使得復數(shù)的地位被確立

13、下來。十八世紀末，高斯的出現(xiàn)使得復數(shù)的地位被確立下來。 1797 年，當時年僅年，當時年僅 20 歲的高斯在他的博士論文中證明了歲的高斯在他的博士論文中證明了代數(shù)基本定理。代數(shù)基本定理。 高斯在證明中巧妙地給出了復數(shù)的幾何表示，使得人們高斯在證明中巧妙地給出了復數(shù)的幾何表示，使得人們直觀地理解了復數(shù)的真實意義。直觀地理解了復數(shù)的真實意義。 十九世紀中葉以后，復變函數(shù)論開始形成，并逐漸發(fā)展十九世紀中葉以后，復變函數(shù)論開始形成，并逐漸發(fā)展成為一個龐大的數(shù)學分支。成為一個龐大的數(shù)學分支。而且而且 n 次多項式恰好有次多項式恰好有 n 個根。個根。任何多項式在復數(shù)域里必有根，任何多項式在復數(shù)域里必有根，即即21第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 附：附：人物介紹人物介紹 高斯高斯 許多數(shù)學學科的開創(chuàng)者和奠基人。許多數(shù)學學科的開創(chuàng)者和奠基人。 幾乎對數(shù)學的所有領域都做出了重大貢獻。幾乎對數(shù)學的所有領域都做出了重大貢獻。 享有數(shù)學王子的美譽。享有數(shù)學王子的美譽。德國數(shù)學家、 (17771855)高 斯Johann Carl Friedrich Gauss物理學家、 天文學家22第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 高斯去世后，