1、中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座第十講 閱讀理解題專題【前言】新課標(biāo)以來(lái)中考題型越來(lái)越活，閱讀理解題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)當(dāng)中就是最大的一個(gè)亮點(diǎn)。不同以往的單純“給條件”“求結(jié)果”式的題目，閱讀理解往往是先給一個(gè)材料，或介紹一個(gè)超綱的知識(shí)，或給出針對(duì)某一種題目的解法，然后再給條件出題。對(duì)于這種題來(lái)說(shuō)，如果考生為求快速而完全無(wú)視閱讀材料而直接去做題的話，往往浪費(fèi)大量時(shí)間也沒(méi)有思路，得不償失。所以如何讀懂題以及如何利用題就成為了關(guān)鍵，讓我們先看以下的例題?！纠?，朝陽(yáng)，一模請(qǐng)閱讀下列材料問(wèn)題：如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且， ， 求度數(shù)的大小和等邊三角形的邊長(zhǎng)李明同學(xué)的思路是：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，畫出旋轉(zhuǎn)后的

2、圖形（如圖）連接，可得是等邊三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）所以°，而°進(jìn)而求出等邊的邊長(zhǎng)為問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，求度數(shù)的大小和正方形的邊長(zhǎng)圖圖圖【思路分析】首先仔細(xì)閱讀材料，問(wèn)題中小明的做法總結(jié)起來(lái)就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)固定的角度將已知條件放在同一個(gè)（組）圖形中進(jìn)行研究。旋轉(zhuǎn)度以后就成了成了,借助等量關(guān)系,于是就可以計(jì)算了.至于說(shuō)為什么是°,則完全是因?yàn)榇髨D形是等邊三角形,需要用度去構(gòu)造另一個(gè)等邊三角形?？赐赀@個(gè)，再看所求的問(wèn)題，幾乎是一個(gè)一模一樣的問(wèn)題，只不過(guò)大圖形由三角形變成了正方形。那么

3、根據(jù)題中所給的思路，很自然就會(huì)想到將旋轉(zhuǎn)度看看行不行。旋轉(zhuǎn)度之后，成功將挪了出來(lái)，于是很自然做延長(zhǎng)線，構(gòu)造出一個(gè)直角三角形來(lái)，于是問(wèn)題得解。說(shuō)實(shí)話如果完全不看材料，在正方形內(nèi)做輔助線，當(dāng)成一道普通的線段角計(jì)算問(wèn)題也是可以算的。但是借助材料中已經(jīng)給出的旋轉(zhuǎn)方法做這道題會(huì)非常簡(jiǎn)單快捷。大家可以從本題中體會(huì)一下領(lǐng)會(huì)材料分析方法的重要性所在?！窘馕觥浚ǎ┤鐖D，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，得，則連結(jié) ，在中，在中， ， ， ，即 是直角三角形，即 °（）過(guò)點(diǎn)作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) 在中，由勾股定理，得 °，正方形邊長(zhǎng)為【例】，大興，一模若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根和

4、系數(shù)有如下關(guān)系：. 我們把它們稱為根及系數(shù)關(guān)系定理. 如果設(shè)二次函數(shù)的圖象及軸的兩個(gè)交點(diǎn)為.利用根及系數(shù)關(guān)系定理我們又可以得到、兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：請(qǐng)你參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題:設(shè)二次函數(shù)的圖象及軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，顯然為等腰三角形.（）當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求（）當(dāng)為等邊三角形時(shí)， .（）設(shè)拋物線及軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，頂點(diǎn)為，且,試問(wèn)如何平移此拋物線，才能使？【思路分析】本題也是較為常見(jiàn)的類型，即先給出一個(gè)定理或結(jié)論，然后利用它們?nèi)ソ鉀Q一些問(wèn)題。題干中給出拋物線及軸的兩交點(diǎn)之間的距離和表達(dá)式系數(shù)的關(guān)系,那么第一問(wèn)要求取何值時(shí)為等腰直角三角形.于是我們可以想到直角三角形的性質(zhì)

5、就是斜邊中線等于斜邊長(zhǎng)的一半.斜邊中線就是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),而斜邊恰好就是兩交點(diǎn)的距離.于是將作為一個(gè)整體,列出方程求解.第二問(wèn)也是一樣,把握等邊三角形底邊及中線的比例關(guān)系即可.第三問(wèn)則可以直接利用第一問(wèn)求得的值求出,然后設(shè)出平移后的解析式,使其滿足第二問(wèn)的結(jié)果即可.注意左右平移是不會(huì)改變度數(shù)的，只需上下即可?！窘馕觥?解：當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，過(guò)作，垂足為，則 拋物線及軸有兩個(gè)交點(diǎn)，（不要忘記這一步的論證）又， （看成一個(gè)整體）當(dāng)為等邊三角形時(shí)， 即，因?yàn)橄蜃蠡蛳蛴移揭茣r(shí)，的度數(shù)不變，所有只需要將拋物線向上或向下平移使，然后向左或向右平移任意個(gè)單位即可設(shè)向上或向下平移后的拋物線解析式為：，平移后

6、，拋物線向下平移個(gè)單位后，向左或向右平移任意個(gè)單位都能使的度數(shù)由變?yōu)?【例】，房山，一模閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問(wèn)題：如圖，正方形中，、分別是、和邊上靠近、的等分點(diǎn)，連結(jié)、，形成四邊形求四邊形及正方形的面積比（用含的代數(shù)式表示）小明的做法是：先取，如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，得到個(gè)小正方形，所以四邊形及正方形的面積比是；然后取，如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，得到個(gè)小正方形，所以四邊形及正方形的面積比是，即；請(qǐng)你參考小明的做法，解決下列問(wèn)題：（）在圖中探究時(shí)四邊形及正方形的面積比（在圖上畫圖并直接寫出結(jié)果）；（）圖是矩形紙片剪去一個(gè)小矩形后的示意圖，請(qǐng)你將

7、它剪成三塊后再拼成正方形（在圖中畫出并指明拼接后的正方形）都是矩形圖圖圖圖圖圖【思路分析】本題屬于典型的那種花分鐘讀懂材料畫分鐘就可以做出來(lái)題的類型。材料給出的方法相當(dāng)精妙，考生只要認(rèn)真看過(guò)去并且理解透這個(gè)思路，那么不光是這道題可以做，以后碰見(jiàn)類似的題目都可以用這種方法。材料中所給方法就是將周邊的四個(gè)三角形其中的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)°，將三角形放在矩形當(dāng)中去討論面積。事實(shí)上無(wú)論是幾等分點(diǎn)，所構(gòu)造出來(lái)的四個(gè)小三角形，都是全等的，并且都是度，那么他們旋轉(zhuǎn)以后所對(duì)應(yīng)的就是兩個(gè)矩形，如圖三中的和。而矩形的面積恰好和中間正方形的面積有聯(lián)系（想想看，是怎樣用等分點(diǎn)去證明面積比例的）于是順理成章當(dāng)?shù)扔诘臅r(shí)候，

8、去構(gòu)造一個(gè)類似的網(wǎng)格，第一問(wèn)就出來(lái)了。至于第二問(wèn)和裁剪問(wèn)題沾點(diǎn)邊，完全就是這個(gè)技巧方法的逆向思考，重點(diǎn)就在于找出這個(gè)多邊形是由哪幾部分構(gòu)成。于是按下圖，連接，截外接矩形為兩個(gè)全等的直角三角形，然后旋轉(zhuǎn)即可。說(shuō)白了，這種帶網(wǎng)格的裁剪題，其實(shí)最關(guān)鍵的地方就在于網(wǎng)格全是平行線，利用平行線截線段的比例性質(zhì)去找尋答案?！窘馕觥克倪呅渭罢叫蔚钠唇雍蟮恼叫问钦叫蚊娣e比是 【例】，海淀，一模閱讀：如圖，在和中，, ,、 四點(diǎn)都在直線上，點(diǎn)及點(diǎn)重合.連接、，我們可以借助于和的大小關(guān)系證明不等式：（）.證明過(guò)程如下: 即.解決下列問(wèn)題：（）現(xiàn)將沿直線向右平移，設(shè),且.如圖,當(dāng)時(shí), .利用此圖,仿照上述方法,

9、證明不等式：（）.（）用四個(gè)及全等的直角三角形紙板進(jìn)行拼接，也能夠借助圖形證明上述不等式.請(qǐng)你畫出一個(gè)示意圖，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.【思路分析】本題是均值不等式的一種幾何證明方法。材料中的思路就是利用兩個(gè)共底三角形的面積來(lái)構(gòu)建不等式，利用來(lái)證明。其中需要把握的幾個(gè)點(diǎn)就是（）是什么，以及如何通過(guò)()來(lái)造出。首先看第一問(wèn)說(shuō)要平移，在平移過(guò)程中，的長(zhǎng)度始終不變，垂直于的關(guān)系也始終不變。那么此時(shí)（）代表什么？自然就是和之和了。于是看出值。接下來(lái)就是找那兩個(gè)可以共底的三角形，由于材料所給提示，我們自然想到用來(lái)做這個(gè)底，而高自然就是和。于是連接，和的面積就可以引出結(jié)果了。第二問(wèn)答案不唯一，總之就是先調(diào)整出（）可

10、以用什么來(lái)表達(dá)，然后去找和分別和這個(gè)（）的關(guān)系，然后用面積來(lái)表達(dá)出的式子就可以了，大家可以繼這個(gè)思路多想想?！窘馕觥浚ǎ?證明：連接、.可得.即 .延長(zhǎng)、交于點(diǎn).即 .四個(gè)直角三角形的面積和，大正方形的面積.【例】，昌平，一模。閱讀下列材料:將圖的平行四邊形用一定方法可分割成面積相等的八個(gè)四邊形，如圖，再將圖中的八個(gè)四邊形適當(dāng)組合拼成兩個(gè)面積相等且不全等的平行四邊形.（要求：無(wú)縫隙且不重疊）請(qǐng)你參考以上做法解決以下問(wèn)題：（）將圖的平行四邊形分割成面積相等的八個(gè)三角形；（）將圖的平行四邊形用不同于（）的分割方案，分割成面積相等的八個(gè)三角形，再將這八個(gè)三角形適當(dāng)組合拼成兩個(gè)面積相等且不全等的平行四

11、邊形，類比圖，圖，用數(shù)字至標(biāo)明. 【思路分析】這種拼接裁剪題目往往都是結(jié)合在閱讀理解題中考察，結(jié)合網(wǎng)格，對(duì)考生的發(fā)散思維要求較強(qiáng)。本題材料中將平行四邊形裁減成份然后重新組成兩個(gè)平行四邊形。要保證平行就需要這些小四邊形的邊長(zhǎng)都是平行且相等的。第一問(wèn)是面積相等，那么直接利用中點(diǎn)這一個(gè)重要條件去做。第二問(wèn)是分割為能重新組成平行四邊形的三角形，那么就要想如何利用三角形去構(gòu)建平行和相等的關(guān)系呢？于是可以想到平行四邊形的對(duì)角線所分的三角形恰好也就滿足這種條件。于是從平行四邊形的對(duì)角線出發(fā)，去拆分出個(gè)小三角形來(lái)。具體答案有很多種，在此也不再累述?！究偨Y(jié)】這種閱讀理解題是近年來(lái)中考題的新趨勢(shì)，如果沒(méi)有材料直接

12、去做的話，往往得不到思路。但是如果仔細(xì)理解材料中所給的內(nèi)容，那么就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。這種題的重點(diǎn)不在于考察解題能力，而在于考察分析，理解和應(yīng)用能力。專門去找大量的類似題目去做倒也不必，而培養(yǎng)審題，分析的能力才是最重要的。考生拿到這種題，第一就是要靜下心來(lái)慢慢看，切記不可圖方便而草草看完材料就去做題，如果這樣往往冥思苦想半天還要回來(lái)看，浪費(fèi)了大量時(shí)間。裁剪問(wèn)題和拼接問(wèn)題也是經(jīng)常出現(xiàn)在此類問(wèn)題當(dāng)中的，面對(duì)這種題要把握好構(gòu)成那些等量關(guān)系的要素，如中點(diǎn)，等分點(diǎn)等特殊的元素。綜合來(lái)說(shuō)只要仔細(xì)理解材料中的意圖，那么這一部分的分?jǐn)?shù)十分好拿，考生不用太過(guò)擔(dān)心。第二部分 發(fā)散思考【思考】幾何模型：條件：如下左圖，

13、、是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題：在直線上確定一點(diǎn)，使的值最小方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則的值最?。ú槐刈C明）模型應(yīng)用：（） 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)連結(jié)，由正方形對(duì)稱性可知，及關(guān)于直線對(duì)稱連結(jié)交于，則的最小值是；（） 如圖，的半徑為，點(diǎn)在上，是 上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是；（）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，分別是上圖圖圖的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是【思路分析】利用對(duì)稱性解題的例題。前兩個(gè)圖形比較簡(jiǎn)單，利用正方形和圓的對(duì)稱性就可以了。第三個(gè)雖然是求周長(zhǎng)，但是只要將這個(gè)題看成是從點(diǎn)到，然后到再折回來(lái)的距離最小，當(dāng)成是那種“將軍飲馬”題目去做就可以了。【思考】直角三角形通過(guò)剪切可以拼成一個(gè)及該

14、直角三角形面積相等的矩形，方法如下:請(qǐng)你用上面圖示的方法，解答下列問(wèn)題：()對(duì)任意三角形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)及原三角形面積相等的矩形；()對(duì)任意四邊形，設(shè)計(jì)一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個(gè)及原四邊形面積相等的矩形.【思路分析】材料的方法中，如果延長(zhǎng)中位線，并且由底邊頂點(diǎn)做中位線的垂線。那么如下圖，箭頭所指的兩個(gè)三角形就是全等的，另外一邊也是一樣，所以這種裁減方法就是利用全等來(lái)走。第一問(wèn)純屬送分，按材料中所給的三角形拆法就可以了。第二問(wèn)說(shuō)裁剪梯形，實(shí)質(zhì)上梯形就是由兩個(gè)三角形組成的，所以隨便找一條對(duì)角線將梯形拆開(kāi)，然后按照第一問(wèn)的思路去做就可以了。【思考】將圖，將一張直角

15、三角形紙片折疊，使點(diǎn)及點(diǎn)重合，這時(shí)為折痕，為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿的對(duì)稱軸折疊，這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形（其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合成的無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形），我們稱這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形”.圖 圖 圖（）如圖，正方形網(wǎng)格中的能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出折痕；（）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以給定的為一邊，畫出一個(gè)斜三角形，使其頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且折成的“疊加矩形”為正方形；（）如果一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是 ；（）如果一個(gè)四邊形一定能折成“疊加矩形”，那么它必須滿足的條件是 . 【思路分析】本題雖然給出了一個(gè)“疊加矩形”的定義，但是和其他題目相比來(lái)說(shuō)依然是換湯不換藥。其實(shí)就是先要找出一個(gè)矩形，然后再去把三角形或者四邊形的銳角部分都軸對(duì)稱進(jìn)來(lái)即可。但是注意，能疊