1、第六節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法在實際問題中，我們會大量遇到求多元函數(shù)的最大值、最小值的問題. 與一元函數(shù)的情形類似，多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值密切的聯(lián)系. 下面我們以二元函數(shù)為例來討論多元函數(shù)的極值問題.內(nèi)容分布圖示 引例 二元函數(shù)極值的概念 例1-3 極值的必要條件 極值的充分條件 求二元函數(shù)極值的一般步驟 例4 例5 求最值的一般步驟 例6 例7 例8 例9 例10 例11 條件極值的概念 拉格郎日乘數(shù)法 例12例 13例 14例 15例 16*數(shù)學(xué)建模舉例 最小二乘法 線性規(guī)劃問題 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題6-6 返回內(nèi)容提要： 一、二元函數(shù)極值的概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某

2、一鄰域內(nèi)有定義, 對于該鄰域內(nèi)異于的任意一點, 如果則稱函數(shù)在有極大值；如果則稱函數(shù)在有極小值; 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理1 (必要條件) 設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù), 且在點處有極值, 則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即 (6.1)與一元函數(shù)的情形類似，對于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點稱為函數(shù)的駐點.定理2 (充分條件) 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又令(1) 當(dāng)時，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時有極小值；時有極大值；(2)當(dāng)時，函數(shù)在處沒有極值;(3) 當(dāng)時，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒有極值.根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

3、則求的極值的一般步驟為：第一步 解方程組 求出的所有駐點；第二步 求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點處A、 B、 C的值，并根據(jù)的符號判定駐點是否為極值點. 最后求出函數(shù)在極值點處的極值.二、二元函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)的最大值和最小值的一般步驟為: （1）求函數(shù)在內(nèi)所有駐點處的函數(shù)值; （2）求在的邊界上的最大值和最小值; （3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進行比較，其中最大者即為最大值, 最小者即為最小值.在通常遇到的實際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)的最大值（最小值）一定在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點，則可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值（最小值）. 三、條件

4、極值 拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值. 但在實際問題中，常會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的的極值問題. 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.拉格朗日乘數(shù)法設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無條件極值問題.于是，求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù);(2) 由方程組解出, 其中x, y就是所求條件極值的可能的極值點.注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法

5、求出來的點是否為極值點, 還需要加以討論. 不過在實際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點.拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形: 四、數(shù)學(xué)建模舉例例題選講： 二元函數(shù)極值的概念例1（講義例1） 函數(shù)在點(0, 0)處有極小值. 從幾何上看，表示一開口向上的橢圓拋物面，點是它的頂點.（圖7-6-1）.例2（講義例2）函數(shù)在點(0,0)處有極大值. 從幾何上看，表示一開口向下的半圓錐面，點是它的頂點.（圖7-6-2）.例3（講義例3）函數(shù) 在點(0,0)處無極值. 從幾何上看，它表示雙曲拋物面（馬鞍面）（圖7-6-3）例4（講義例4）求函數(shù)的極值.例

6、5 證明函數(shù)有無窮多個極大值而無一極小值.二元函數(shù)的最大值與最小值例6（講義例5）求函數(shù)在矩形域上的最大值和最小值.例7 求二元函數(shù)在直線, 軸和軸所圍成的閉區(qū)域上的最大值與最小值.例8 求函數(shù)在區(qū)域上的最小值.例9 求的最大值和最小值.例10（講義例6）某廠要用鐵板做成一個體積為的有蓋長方體水箱. 問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省.例11（講義例7）設(shè)為商品A的需求量,為商品的需求量, 其需求函數(shù)分別為總成本函數(shù)為，其中為商品和的價格, 試問價格取何值時可使利潤最大?例12 求函數(shù)在附加條件 (1) 下的極值. 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法例13（講義例8）求表面積為而體積為最大

7、的長方體的體積.例14（講義例9）在經(jīng)濟學(xué)中有個Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型式中x代表勞動力的數(shù)量, y為資本數(shù)量(確切地說是y個單位資本), c與是常數(shù), 由各工廠的具體情形而定. 函數(shù)值表示生產(chǎn)量.現(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是每個勞動力與每單位資本的成本分別是150元及250元. 該制造商的總預(yù)算是50000元. 問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動力與資本，以使生產(chǎn)量最高.例15（講義例10）設(shè)銷售收入 (單位:萬元)與花費在兩種廣告宣傳的費用(單位:萬元)之間的關(guān)系為利潤額相當(dāng)五分之一的銷售收入, 并要扣除廣告費用. 已知廣告費用總預(yù)算金是25萬元, 試問如

8、何分配兩種廣告費用使利潤最大?例16 設(shè)某電視機廠生產(chǎn)一臺電視機的成本為, 每臺電視機的銷售價格為, 銷售量為.假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài), 即電視機的生產(chǎn)量等于銷售量. 根據(jù)市場預(yù)測, 銷售量與銷售價格為之間有下面的關(guān)系: (1)其中為市場最大需求量, 是價格系數(shù). 同時, 生產(chǎn)部門根據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析, 對每臺電視機的生產(chǎn)成本有如下測算: (), (2)其中是只生產(chǎn)一臺電視機時的成本, 是規(guī)模系數(shù). 根據(jù)上述條件, 應(yīng)如何確定電視機的售價, 才能使該廠獲得最大利潤? 數(shù)學(xué)建模舉例 1最小二乘法數(shù)理統(tǒng)計中常用到回歸分析，也就是根據(jù)實際測量得到的一組數(shù)據(jù)來找出變量間的函數(shù)關(guān)系的近似表達式. 通

9、常把這樣得到的函數(shù)的近似表達式叫做經(jīng)驗公式. 這是一種廣泛采用的數(shù)據(jù)處理方法. 經(jīng)驗公式建立后，就可以把生產(chǎn)或?qū)嵺`中所積累的某些經(jīng)驗提高到理論上加以分析，并由此作出某些預(yù)測. 下面我們通過實例來介紹一種常用的建立經(jīng)驗公式的方法.例17（講義例11）為測定刀具的磨損速度，按每隔一小時測量一次刀具厚度的方式，得到如下實測數(shù)據(jù)：試根據(jù)這組實測數(shù)據(jù)建立變量y和t之間的經(jīng)驗公式注：本例中實測數(shù)據(jù)的圖形近似為一條直線，因而認(rèn)為所求函數(shù)關(guān)系可近似看作線性函數(shù)關(guān)系，這類問題的求解比較簡便.有些實際問題中，經(jīng)驗公式的類型雖然不是線性函數(shù)，但我們可以設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)的類型來討論.2線性規(guī)劃問題求多個自變量的

10、線性函數(shù)在一組線性不等式約束條件下的最大值最小值問題，是一類完全不同的問題，這類問題叫做線性規(guī)劃問題. 下面我們通過實例來說明.例18（講義例12） 一份簡化的食物由糧和肉兩種食品做成, 每份糧價值30分, 其中含有4單位醣, 5單位維生素和2單位蛋白質(zhì); 每一份肉價值50分, 其中含有1單位醣, 4單位維生素和4單位蛋白質(zhì). 對一份食物的最低要求是它至少要由8單位醣, 20單位維生素和10單位蛋白質(zhì)組成, 問應(yīng)當(dāng)選擇什么樣的食物, 才能使價錢最便宜.下面的例子是用幾何方法來解決的.例19（講義例13） 一個糖果制造商有500g巧克力, 100g核桃和50g果料. 他用這些原料生產(chǎn)三種類型的糖果. A類每盒用3g巧克力, 1g核桃和1g果料, 售價10元. B類每盒用4g巧克力和1g核桃, 售價6元