1、 專(zhuān)題一：求解通項(xiàng)公式（1）觀察法觀察法例例 1：根據(jù)數(shù)列的前 4 項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）9，99，999，9999，（2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32, 1（4）,54,43,32,21解：（1）變形為：1011，1021，1031，1041， 通項(xiàng)公式為：110 nna （2）;122nnnan （3）;12nan （4）1) 1(1nnann.點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù) n 的關(guān)系。 （2 2） 定義法定義法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。例例 2： 已知數(shù)列an是公差為 d 的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為 q 的(qR 且 q1)的等比數(shù)

2、列，若函數(shù) f (x) = (x1)2，且 a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求數(shù)列 a n 和 b n 的通項(xiàng)公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又 b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，2213)2(qqbb=q2，由 qR，且 q1，得 q=2，bn=bqn1=4(2)n1（3 3） 公式法公式法：已知nS（即12( )naaaf n）求na，用作差法：1

3、1,(1),(2)nnnSnaSSn。例:3：(07 重慶 21 題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和為nS滿(mǎn)足1S1 且 6nS=(1)(2)nnaa nN 求na的通項(xiàng)公式。解：由11aS=111(1)(2)6aa解得1a=1 或1a=2，由已知11aS1，因此1a=2 又由11nnnaSS=1111(1)(2)(1)(2)66nnnnaaaa得11()(3)nnnnaaaa=0 na0 13nnaa從而na是首項(xiàng)為 2，公差為 3 的等差數(shù)列，故na的通項(xiàng)為na=2+3(n-1)=3n-1.小擴(kuò)展：已知12( )na aaf n求na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)

4、nfnf nanf n（3）迭加法迭加法：若1( )nnaaf n求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n 。例 4：已知數(shù)列 na滿(mǎn)足211a，nnaann211，求na。解：由條件知：111) 1(1121nnnnnnaann分別令) 1( , 3 , 2 , 1 nn，代入上式得) 1( n個(gè)等式累加之，即)()()()(1342312 nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211 (nn 所以naan111211a，nnan1231121（4 4）迭乘法：）迭乘法：已知1( )nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaa

5、aa(2)n 例例 5 5設(shè)是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)公式.解析：解析：由題意， ，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式.（5）倒數(shù)法倒數(shù)法：形如形如11nnnaakab的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)例 6：已知數(shù)列na，1a= 1，11nnnaaa nN，求na=？解：把原式變形得11nnnnaaaa 兩邊同除以1nna a得1111nnaa1na是首項(xiàng)為1，d=1的等差數(shù)列故11 (1)( 1)nnna 1nan 。（6 6）構(gòu)造等比數(shù)列法）構(gòu)造等比數(shù)列法: : ）（1）遞推公式為qpaann1（其中 p，q 均為常數(shù)，)0) 1(ppq） 。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：)(1taptan

6、n，其中pqt1，再利用換元法換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。（2）遞推公式為nnnqpaa1（其中 p，q 均為常數(shù)，)0) 1)(1(qppq） 。 （或1nnnaparq,其中 p，q, r 均為常數(shù)）解法：該類(lèi)型較類(lèi)型 3 要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入輔助數(shù)列引入輔助數(shù)列 nb（其中nnnqab ） ，得：qbqpbnn11再應(yīng)用類(lèi)型 3 的方法解決。（3）遞推公式為nnnqapaa12（其中 p，q 均為常數(shù)）解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 滿(mǎn)足qstpts，再應(yīng)用前面類(lèi)型 3 的方法求解

7、。例 7：(2006.重慶.14）在數(shù)列 na中，若111,23(1)nnaaan，則該數(shù)列的通項(xiàng)na 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭http:/ 頭 頭頭 頭 頭 頭頭 頭 頭 頭 頭 頭頭 頭例例 8. 已知數(shù)列 na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa兩邊乘以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab 2，則1321nnbb,應(yīng)用例 7 解法得：nnb)32(23 所以nnnnnba)31(2)21(32例 9：（06 福建理 22）已知數(shù)列na滿(mǎn)足1a=1，1na=21na (nN)，求數(shù)列na的通項(xiàng)公式。（

8、6） 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 先根據(jù)已知條件結(jié)合具體形式進(jìn)行合理的猜想，然后證明 專(zhuān)題一：通項(xiàng)公式的練習(xí)專(zhuān)題一：通項(xiàng)公式的練習(xí)1.1.（20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2）(6)如果等差數(shù)列 na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+7a=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 352.2.（20102010 安徽）安徽）(5)設(shè)數(shù)列na的前 n 項(xiàng)和2nSn，則8a的值為（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）643. (2011(2011 年高考四川年高考四川) )數(shù)列 na的首項(xiàng)為3， nb 為等差數(shù)列且1(*)nnnbaa nN .若則32b ，1012b ，則

9、8a ( ） A）0 （B）3 （C）8 （D）114.(2011 年高考全國(guó)卷年高考全國(guó)卷設(shè)nS為等差數(shù)列 na的前n項(xiàng)和，若11a ，公差2d ，224AnSS，則k A）8 （B）7 （C）6 （D）55.（2009 廣東卷理） 已知等比數(shù)列na滿(mǎn)足0,1,2,nan，且25252 (3)nnaan，則當(dāng)1n 時(shí)，2123221logloglognaaa A. (21)nn B. 2(1)n C. 2n D. 2(1)n6.（2009 陜西卷）設(shè)等差數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為ns,若6312as,則na 7.7. (2011(2011 廣東卷廣東卷) )等差數(shù)列 na前 9 項(xiàng)的和等于前

10、 4 項(xiàng)的和.若141,0kaaa，則k 8.1,13111aaaannn 則其通項(xiàng)為9（2009 寧夏海南卷理）等差數(shù)列na前 n 項(xiàng)和為nS。已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,則 m=_10.重慶卷理）設(shè)12a ，121nnaa，21nnnaba，*nN，則數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式nb= 1111等差數(shù)列 na是遞增數(shù)列，前 n 項(xiàng)和為nS，且931,aaa成等比數(shù)列，255aS 求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式.1212 已知數(shù)列 na的前n項(xiàng)和nS滿(mǎn)足1,) 1(2naSnnn求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式。13 已知數(shù)列na滿(mǎn)足112 313nnnaaa ，求數(shù)列na的通項(xiàng)公式。14 已知數(shù)

11、列na滿(mǎn)足112(1)53nnnanaa，求數(shù)列na的通項(xiàng)公式。15 已知數(shù)列na滿(mǎn)足1123 56nnnaaa ，求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式。16 知數(shù)列na滿(mǎn)足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求數(shù)列na的通項(xiàng)公式。17 已知數(shù)列na滿(mǎn)足111(14124)116nnnaaaa，求數(shù)列na的通項(xiàng)公式。18 已知數(shù)列na滿(mǎn)足1172223nnnaaaa，求數(shù)列na的通項(xiàng)公式。答案及詳解答案及詳解1.【答案】C C【解析解析】本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)。本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)。 34512aaa， 44a 12717417 ()7282aaaaaa 2.【答案】 A【解析】8

12、87644915aSS.【方法技巧】直接根據(jù)1(2)nnnaSSn即可得出結(jié)論.3.答案：B解析：由已知知128,28,nnnbnaan由疊加法21328781()()()642024603aaaaaaaa .4【答案】D【解析】22111(2 1)(1 1)kkkkSSaaakdakd 12(21)akd2 1 (21) 244245kkk 故選 D。5【解析】由25252 (3)nnaan得nna222，0na，則nna2， 3212loglogaa 2122) 12(31lognnan ，選 C. 6解析:由6312as可得 na的公差 d=2,首項(xiàng)1a=2,故易得na 2n.答案:2n

13、7【答案】10【解析解析】由題得由題得1061031) 1(123442899kdddkdd8 8 解解：取倒數(shù)：11113131nnnnaaaana1是等差數(shù)列，3) 1(111naan3) 1(1n231nan9 9 解析由1ma+1ma-2ma=0 得到1212212120,0,22138102mmmmmmmaaaaaSmam又。答案 101010 解析 由條件得111112222222111nnnnnnnnaaabbaaa且14b 所以數(shù)列 nb是首項(xiàng)為 4，公比為 2 的等比數(shù)列，則114 22nnnb1111 解解：設(shè)數(shù)列 na公差為)0(dd931,aaa成等比數(shù)列，9123aa

14、a ，即)8()2(1121daadadad120d， da 1255aS 211)4(2455dada由得：531a，53dnnan5353) 1(53點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫(xiě)出通項(xiàng)。1212 解解：由1121111aaSa當(dāng)2n時(shí)，有,) 1(2)(211nnnnnnaaSSa1122 ( 1),nnnaa ,) 1(22221nnnaa，. 2212 aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa .) 1(2 323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2() 1(21211211nnnnnnnnn經(jīng)驗(yàn)證

15、11a也滿(mǎn)足上式，所以) 1(23212nnna1313 解：由12 31nnnaa 得12 31nnnaa則11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan14 解：因?yàn)?12(1)53nnnanaa，所以0na ，則12(1)5nnnana，故1321122112211(1) (2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 32 (1)3 2 533 25!nnnn

16、nnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以數(shù)列na的通項(xiàng)公式為(1)123 25!.n nnnan 15 解：設(shè)1152(5 )nnnnaxax 將123 5nnnaa 代入式，得123 55225nnnnnaxax ，等式兩邊消去2na，得13 5525nnnxx，兩邊除以5n，得352 ,1,xxx 則代入式得1152(5 )nnnnaa由1156510a 及式得50nna ，則11525nnnnaa，則數(shù)列5 nna 是以1151a 為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列，則152nnna，故125nnna16 解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a ，

17、得2122322243228(1 1)88 224(2 1 1) (2 1 3)99 25258(2 1)248 348(2 2 1) (2 23)2525 49498(3 1)488 480(2 3 1) (2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜測(cè)22(21)1(21)nnan，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)1n 時(shí)，212(2 1 1)18(2 1 1)9a ，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即22(21)1(21)kkak，則當(dāng)1nk時(shí)，1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)

18、 (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，當(dāng)1nk時(shí)等式也成立。根據(jù)（1） ， （2）可知，等式對(duì)任何*nN都成立。17 解：令124nnba，則21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因?yàn)?240nnba，故111240nnba則123nnbb，即11322nnbb，可化為113(3)2nnbb，所以3nb 是以1131243124 132ba 為首項(xiàng)，以21為公比的等比