1、專題四 立體幾何與空間向量專題過關(guān) 2 提升卷第I卷（選擇題）一、選擇題1. （20152 浙江高考）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）傭視圖33323403A. 8 cmB . 12 cm C.- cmD. cm332.設a, b是兩條直線，a,3表示兩個平面，如果a?a,a/3,那么b丄B”是a丄b”的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件n3.（20152 山東高考）在梯形ABCDK/ABC=-,AD/ BC BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）2n

2、4n5nA.丁B.丁C.丁 D .2n4.（20152 北京高考）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）i2T -h1H俯視圖A. 2 + 5B. 4+ 5C. 2 + 2 5D. 55. (20152 北京朝陽區(qū)質(zhì)檢)在空間直角坐標系 O-xyz中，已知A(2 , 0,0) ,B(2 , 2, 0), qo , 2，0），D（1，1， 2），若Si,S2，S3分別表示三棱錐D-ABC在xOy yOz, zOx坐標平面上的正投影圖形的面積，則（）A. 最, 長棱的棱長為樂B. 最長棱的棱長為 3C. 側(cè)面四個三角形中有且僅有一個是正三角形D.側(cè)面四個三角形都是直角三角形DP丄PC則

3、AD的取值范圍是()A. 1 , 2)B. (1 , ,2C (0 , 1D. (0 , 2) &某市博物館邀請央視一槌定音專家鑒寶，其中一藏友持有的“和田玉”的三視圖如圖所示，若將和田玉切割、打磨、雕刻成“和田玉球”，則該“玉雕球”的最大表面積是A. Si=S2=S3C. Si=S3且SB.Si=S2且S3MSiD. S2=S3且 SMS36. （20152 杭州中學模擬）一個四棱錐的三視圖如圖所示，下列說法中正確的是7. （20152 嘉興模擬）在長方體ABC-ABCD中,AA=AB=2,若棱AB上存在點P,使得圖A. 4nB.16nC.36nD.64n第n卷（非選擇題）二、填空題

4、39. （20152 舟山中學模擬）如圖，在矩形ABC中,AB= -, BO2,沿BD將矩形ABCDf疊, 連接AC所得三棱錐A-BCD的正視圖和俯視圖如圖所示，則三棱錐A-BCD側(cè)視圖的面積 為.10.如圖所示，ABC- A1B1C是直三棱柱，ACL CB點D、Fi分別是AB、AC的中點.若BC=CA= CC,貝UBD與CF所成角的正弦值是 _ .11.（20152 杭州二中調(diào)研）在三棱錐P ABC中,PAL平面ABC ACLBC AC= BC=1,PA，則該三棱錐外接球的表面積為 _ .12.（20142 山東高考）在三棱錐P- ABC中,D, E分別為PB PC的中點，記三棱錐D- AB

5、EV的體積為V,PABC的體積為V,則匚=_.正視圖側(cè)視圖上視圖俯視圈13.多面體MNABC啲底面ABCD矩形，其正視圖和側(cè)視圖如圖， 其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形，則AM的長為15.將邊長為 1 的正方形ABCD&對角線AC折起后，使得平面ADC_平面ABC在折起后的三棱錐D-ABC中，給出下列四個命題：ACBD側(cè)棱DB與平面ABC成 45。的角：厶BCD是等邊三角形；三棱錐的體積VD-ABK6那么正確的命題是_ （填上所有正確命題的序號）.三、解答題14. （20152 天津高考）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為121側(cè)視圖為等腰三角形，則AM

6、的長為n16.如圖 1,在直角梯形ABCDK AD/ BC/BAD=3，AB= BC=1,AD=2,E是AD的中點,O是AC與BE的交點，將ABE沿BE折起到ABE的位置，如圖 2.（1）證明：CDL平面AOC圖I(2)若平面ABE平面BCDE求直線AB與平面AiCD所成角.17. (20152 福建高考)如圖，在幾何體ABCD沖，四邊形ABCD是矩形，AB1平面BEC BE丄EC, AB= BE= EC= 2,G, F分別是線段BE DC的中點.(1)求證：GF/平面ADE求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.18. (20152 四川高考)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的

7、示意圖如圖所示, 正方體中，設BC的中點為M GH的中點為N(1)請將字母F,G H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由);證明：直線MN/平面BDH求二面角A- EG M的余弦值.19.如圖所示，在四棱錐P ABCD，底面ABCD是菱形，且/BAD=120,AB=2,E是CD的中點.平面PADL平面ABCD PA丄AD PC與平面ABCC所成的角為 45 .(1)求證：CDL平面PAE試問在線段AB(不包括端點)上是否存在一點F,使得二面角APFE的大小為 45?若存在，請求出AF的長；若不存在，說明理由.20. (20152 天津高考)如圖，在四棱柱ABCDABCD中，側(cè)棱AA丄底面AB

8、CD ABL AC,AB=1,AC= AA= 2,AD= CD=5，且點M和N分別為BC和DD的中點.(1)求證：MN/平面ABCD求二面角DACB的正弦值；1設E為棱AB上的點，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為 3 求線段AE的長.專題過關(guān) 2 提升卷3123231.C 該幾何體為正方體與正四棱錐的組合體，體積7=2 + 33 2 3 2 = y (cm ).2.A 若b丄3,a/3，貝U b丄a,又a?a,a丄b,但a丄b,a?a,a/3時，得不到b丄3.b丄3”是“a丄b”的充分不必要條件.3. C 如圖，由題意，得BO2,AD= AB=1.繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為一

9、個4. C 該三棱錐的直觀圖如圖所示:過D作DEL BC,交BC于E,連接AE貝U BC=2,EC=1,AD=1,ED=2,AE=半，BD= CD=.5,S表=SBC卄SAC卄SA AB卄SABC6. D 由三視圖知，該四棱錐的直觀圖如圖所示,其中PAL平面ABCD平面ABCD直角梯形. 則最長棱PB=,22+ 22= 2 2 , A 錯，B 錯.棱錐中的四個側(cè)面中:圓柱挖去一個圓錐的組合體所求體積2125nV= n3 1 3 2 -n3 1 3 1 =可1 1 1=爭 23 2+ 戸 1353 2+2=2 + 2 5.5. D 由圖可知S2= S=2,235由PAL底面ABC口知厶PABPA

10、為直角三角形.又DC丄AD PAI DC知DCL平面PAD則DC丄PD從而PDC為直角三角形.又PD= 5 ,DO1,所以PO12+(匚 5)2= 6.在梯形ABCD,易求BC=J2 ,故PB=PC+BC, PBS直角三角形.7. C 如圖，以D為原點，分別以DA DC DD所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Dxyz,ff則D(0 , 0, 2) ,C0 , 2, 0)，設 Rx,y, 0)(x0, 0y2)，則D1P= (x,y, 2) ,PC=(-x, 2 y, 0).ff2由DP丄PC得D1P2PG=x+y(2 y) = 0, x =2yy2(0y2)，所以 0 x 1.&a

11、mp; B 由三視圖知，和田玉”為直三棱柱，底面是直角三角形，高為12,如圖所示.其中AC=6,BC=8,BQ AC則AB=10,若使“玉雕球”的半徑最大，則該球與直三棱柱的三個側(cè)面都相切.6+ 8 102球半徑r= 2,貝 U$球=4nr= 16n三棱錐的側(cè)視圖為等腰直角三角形.9哩25由正視圖及俯視圖知，在三棱錐A- BCD中，平面ABDL平面BCD如圖所示)，因此D在ABD中,AB=3,AD= BC=2. BD= AB+BC=j11. 5n如圖所示，將三棱錐P ABC補成長方體ADBPD B C則三棱錐P- ABC的外接球就是長方體的外接球. 2R=,PA+AC+AD= ,5,因此AAA

12、B2ADBD=332所以等腰直角三角形的腰長為 5.5故側(cè)視圖的面積為舟 3)5.1 = 2510.-66如圖所示，建立以C為坐標原點，CA CB CC所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標設BC= CA= CG= 2，貝VB(0 ,f則BD= (1 , 1, 2) ,CFI = (1 , 0, 2), cosBDI,fffBD2CF530CFI=f = ,= |BD|CFI|306設BD與CF所成的角為a.3此sin acos2故外接球的表面積$球=4nR= 5n.12.1分別過E,C向平面PAB作高h1,h2,由E為PC的中點得? = 2,由D為PB的中點得4h221SA ABD=

13、SAABP,2、1c2h:jgSABP2h2= 4.作MHL AB交AB于H8n14.芳由三視圖知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成的組合體,且圓錐的底面分3別與圓柱的兩個底面重合.圓柱的底面圓的半徑R= 1,高h= 2,且圓錐的高h= 1.V圓柱=nR2h=2n ,V圓錐=nRh=衛(wèi)338n因此該幾何體的體積V=V圓柱+ 2V圓錐=-廠315. 取AC的中點0,連接OB OD貝U ODL AC,OBL AC OCTOB= QACL平面OBD從而ACLBD正確.又平面ADC_平面ABC DCLAC所以DCL平面ABC因此DOLOB且/OBD棱BD與底面ABC所成的角.所以V:V2=ABI13

14、.6如圖所示為多面體MN- ABCD由側(cè)視圖可知MH=12+ 225.根據(jù)正視圖知4 2AH=MN=2,AB=4,且正視圖為等腰梯形.=1,從而AM= AH+MH=6.由OB= OD知/OB= 45 ,所以正確，從而BD=22OB=1，故BC= CD= BD=1, 因此BCD是等邊三角形，命題正確.根據(jù)DOL平面ABC三棱錐D-ABC= 32SABC20D=占錯16.證明 在題圖 1 中，因AB= BC=1,AD=2,E是AD的中點,n/BAD=2，所以BEl AC,所以/AOC為二面角ABE C的平面角，n所以/AOC=y,如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系，因為AB=AE=BC=ED=1

15、 ,BC/ ED所以B-2, 0, 0 ,E-22, 0, 0 ,Ao, 0, #,Co,-2, 0 ,于是A1B=2 , 0 ,乎A1C=，乎,乎 j,CD= BE=(邊,0 , 0). 設直線AB與平面ACD所成的角為 0 ,平面ACD的法向量n= (x,y,z).I n2CD=0,卜擊 x=0,則S一得 f虛返 取n= (0, 1 , 1).、n2A1C= 0 ,i2y2z=0,fn故直線AiB與平面ACD所成的角為 點.617. (1)證明如圖，取AE的中點H連接HG HD又G是BE的中點，1所以GH/ AB且GH=AB又F是CD的中點，1所以DF= gCD由四邊形ABCD1矩形得，A

16、B/ CD AB= CD所以GH/ DF且GH= DF,從而四邊形HGF毘平行四邊形，所以GF/ DH又DH?平面ADE GF?平面ADE所以GF/平面ADE解 如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點作BQ/ EC因為BE! CE所以BQL BE又因為ABL平面BEC所以ABL BE ABL BQfff以B為原點，分別以BE BQ BA勺方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系,f/ cosA1Bn=A1B2nfIA1B2 |n|213v212.因此 sin0 =|cosf1F(2 , 2, 1).因為A吐平面BECf所以BA=(0 , 0, 2)為平面BEC勺法向量.設n= (x,y,z)為平

17、面AEF的法向量.又AE= (2 , 0, 2) ,AF= (2 , 2, 1),廠fn2AE=0,由，fJi2 AF= 0,取z= 2，得n= (2 , 1, 2).n2BA42f .|n|2|BA33 23所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為 3.18. (1)解點F,G H的位置如圖所示.證明連接BD設O為BD的中點,因為M N分別是BC GH的中點，1所以OM CD且Ol CD1HN/ CD且HN=?CD所以OMT HN OM= HN所以MNH是平行四邊形，從而MN/ OH又MN平面BDH OH平面BDH2x 2z= 0,得i2x+ 2yz= 0.f從而 cosn,BA所以

18、MN/平面BDH解 如圖，以D為坐標原點，分別以DA DC D市向為X,建立空間直角坐標系D- xyz,設AD=2，則M1 , 2, 0) ,G(0, 2, 2) ,E(2 , 0, 2) ,O1 , 1 , 0),ff所以，GE=(2 , - 2 , 0),MG( 1 , 0 , 2),設平面EGM勺一個法向量為ni= (x,y,z),.fn2GE=0 ,2x 2y= 0 ,由f取x= 2,得 m = (2 , 2 , 1),、ni2MGF0 , l-x+2z=0,在正方體ABCEFGH中 ,DOL平面AEGCf則可取平面AEG的一個法向量為n2=D3(1 , 1, 0),m2 m2+ 2+

19、 02 2In1l2I I 4 + 4+ 12；1 + 1 + 03,19. (1)證明 連接AC, 平面PADL平面ABCD PA! AD又PA?平面PAD面PADT面ABC=AD:.PA丄平面ABCD故PA! CD在菱形ABCD, /BAD=120 ,：ZAD（=60,從而ACC為等邊三角形又TE為CD的中點，:AELCD由于PAOAE= A,所以CDL平面PAE解 假設存在，由（1）知，PA AB AE兩兩垂直，以A為坐標原點，分別以AB AE AP所在直線y,z軸的正方向,所以 cosn1,n2故二面角A- EG- M的余弦值為2,23為x,y,z軸建立空間直角坐標系Axyz（如圖所示）.由PA!平面ABCD則/P