1、第一章 函數(shù)與極限授課題目：§1.5 極限運(yùn)算法則§1.6極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限教學(xué)目的與要求：1.理解無窮大和無窮小的概念，掌握無窮小的性質(zhì)，了解無窮小與無窮大的關(guān)系；2.掌握極限的運(yùn)算法則，并能應(yīng)用法則求一些簡(jiǎn)單極限。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：1.理解無窮小、無窮大的概念，了解無窮小與無窮大的關(guān)系；2.理解極限運(yùn)算法則的意義，熟練掌握其應(yīng)用.難點(diǎn)：極限運(yùn)算法則的應(yīng)用講授內(nèi)容：§1.5 極限運(yùn)算法則已學(xué)極限的有關(guān)內(nèi)容復(fù)習(xí)：1、 定義2、 極限與無窮小 若3、極限與左右極限 若練習(xí)：、無窮小的有關(guān)內(nèi)容：1、 定義2、 無窮小的倒數(shù)3、 無窮小的和4、 無窮小的乘積

2、5、 有界函數(shù)與無窮小乘積3、4、5三項(xiàng)即下面定理給出的結(jié)論：定理1 有限個(gè)無窮小的和也是無窮小，定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，例8 求解：把看作與的乘積，由于當(dāng)時(shí)為無窮小，而是有界函數(shù)，有=0推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，推論2 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小。極限的四則運(yùn)算法則： 如果 那么（1） （2） （3） 若又有，則極限的四則運(yùn)算法則由書上定理3給出，證明過程見P43，皆利用極限與無窮小關(guān)系證得。注:對(duì)數(shù)列極限，有類似的結(jié)論。見定理4（教材P.45）。思考題：如果存在，不存在，能否判定必定不存在？函數(shù)的不等式與極限的不等式：定理5 如果，而 則證：令，則，則定理3有由

3、第三節(jié)定理3推論，有，即。例1 求解 注：若是一多項(xiàng)式，則。例2 求。解 注： 若是多項(xiàng)式，則=。若呢？注意此時(shí)商的運(yùn)算法則不能用，設(shè)法消去零因子。例3 求。解 當(dāng)時(shí)，分子及分母的極限都是零，于是分子、分母不能分別取極限，因?yàn)榉肿蛹胺帜赣泄蜃?，而時(shí)，可約去這個(gè)不為零的公因子，所以例4 求解 分母的極限為零，不能用商的運(yùn)算法則。但，則例5 求。解 例6 求。例7 求。解 應(yīng)用例6結(jié)果及無窮大與無窮小關(guān)系，有=由例5、6、7 有下面一般結(jié)果：(m,n非負(fù)整數(shù))例8 求解 當(dāng)時(shí)，分子及分母的極限都不存在，故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用。如果把看作與的乘積，由于當(dāng)時(shí)為無窮小，而是有界函數(shù)，根據(jù)本節(jié)

4、定理2，有=0*思考題：下面極限如何求？（1） （3）（2）（1）解（2）解=。定理6（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)是由與復(fù)合而成，在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，若， 且，當(dāng)時(shí)，有， 則 定理6表明，滿足定理?xiàng)l件時(shí)，求極限可用變量代換的方法求。§6極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限一、夾逼定理準(zhǔn)則1如果數(shù)列、滿足下列條件：（1），（2）那么數(shù)列的極限存在，且準(zhǔn)則1如果（1） 當(dāng)，（或）時(shí)，（2） ，那么存在，且等于上面所述稱為夾逼定理。*補(bǔ)充例題：求解答 ，由夾逼準(zhǔn)則得*補(bǔ)充例題：求解答 由<=，又且，由夾逼準(zhǔn)則得e*補(bǔ)充例題：_解答 且又由夾逼原則可得原式準(zhǔn)則2（單調(diào)有界法則）單調(diào)有界

5、數(shù)列必有極限注意：利用準(zhǔn)則1可以證明下面的重要極限利用準(zhǔn)則2可以證明重要極限*補(bǔ)充例題：B題二、兩個(gè)重要的極限1注：此重要極限有兩個(gè)特征：第一，在給定的極限過程中，分子、分母均為無窮小量。簡(jiǎn)記為“”型；第二，正弦符號(hào)下的變量與分母中的變量完全相同。只要所求極限符合這兩個(gè)特征就可以判斷其極限為1。在計(jì)算極限時(shí)，我們可以通過恒等變形將其變?yōu)榫哂羞@兩個(gè)特征的形式，以便利用此重要極限的結(jié)果。例1 求解例2 求解例3 求解 令 2注：此重要極限也有兩個(gè)特征：第一，對(duì)于給定的極限過程，底數(shù)為“1+無窮小”的形式，這一給定的極限過程可以是，也可是，甚至可以是單邊的極限過程；第二，指數(shù)在給定的極限過程下為無窮大并且是底數(shù)中無窮小的倒數(shù)。滿足這兩個(gè)條件的極限必等于e 。例4 求解=補(bǔ)充例1 求。解補(bǔ)充例2 求分析 原式= =本例也可以利用以下列方法運(yùn)算：原式：小結(jié)求極限方法：、 左、右極限、 無窮小與無窮大、 有界量與無窮小量、 四則運(yùn)算法則、 抓大頭、 變量替換、 兩個(gè)重要極限特別注意：第一個(gè)重要極限的本質(zhì)： 類型：； 結(jié)構(gòu)：； 此極限與過程有關(guān)