1、11112211211222221122 (1)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb .為非齊次線(xiàn)性方程組為非齊次線(xiàn)性方程組120,.(1)().mbbb當(dāng)時(shí) 稱(chēng)齊次線(xiàn)性方程組當(dāng)時(shí) 稱(chēng)齊次線(xiàn)性方程組或方程組的對(duì)應(yīng)齊次方程組 導(dǎo)出組或方程組的對(duì)應(yīng)齊次方程組 導(dǎo)出組12121122,(1),(1), ,(1).nnnnc ccx xxxc xcxc若存在數(shù)替換若存在數(shù)替換后 使中每個(gè)方程都成為恒等式 稱(chēng)后 使中每個(gè)方程都成為恒等式 稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的一個(gè)解為線(xiàn)性方程組的一個(gè)解, 0AXBAX矩陣表示 ：對(duì)應(yīng)齊次矩陣表示 ：對(duì)應(yīng)齊次11121121222212;n

2、nmmmmnaaabaaabABbaaa 其中：其中：分別為系數(shù)矩陣、常數(shù)列；分別為系數(shù)矩陣、常數(shù)列； 11121121222212nnmmmmnaaabaaabAA Bbaaa 增廣矩陣增廣矩陣122nnxxx1 1向量表示 ：向量表示 ：1122 0nnxxx對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次12,(),n 方程組是否有解問(wèn)題 變?yōu)橄蛄?列矩陣方程組是否有解問(wèn)題 變?yōu)橄蛄?列矩陣是否能用表示 表示是否唯一；是否能用表示 表示是否唯一；1122=;iiimmiababba 其中：系數(shù)向量常數(shù)向量其中：系數(shù)向量常數(shù)向量1212,0nnx xx 對(duì)應(yīng)齊次方程組是否有非零解問(wèn)題 變?yōu)槭菍?duì)應(yīng)齊次方程組是否有非零解問(wèn)題

3、 變?yōu)槭欠翊嬖跀?shù)使組合為否存在數(shù)使組合為在平面：在平面： 1 2 11 22 1122 1 2 3 31122 3 11223 +=0 即即在空間：在空間：1 2 3 1122=+ 123=+ 11112223=()()+ 411223344,0kkkk 類(lèi)似記有類(lèi)似記有2022-3-18）（naaa,21ia ，cba,行向量行向量），（naaa,21 列向量列向量mbbb21 1122iiinnia xa xa xb300 280 320 某季度產(chǎn)量某季度產(chǎn)量（， ， ）（， ， ）從從原原點(diǎn)點(diǎn)指指向向坐坐標(biāo)標(biāo)點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量. .12(,)iiiniaaab12jjjmjaaa 2022

4、-3-188(0,0,0)O ),(21naaa ) 1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (21neee),(2121212222111211nmmnmmnnaaaaaaaaaA 2022-3-189），（），（），（101，210，111 2; 810 34211231 2 3 （ ， ， ）（ ， ， ）（， ， ）（， ， ） ，BAX 1122nnxxx2022-3-1810）（），（），（2 , 1 , 1，132321321 123222 1 2 32 312 11 22 3 3 （， ， ） （ ， ， ） （， ， ）（ ， ， ） 321，

5、， 321， ，2022-3-1812,m，12,mk kk1122mmkkk1122 =mmkkk若若12,m 12,m 12,mk kk 12,m 12,m 12,mk kk2022-3-18O12,m 12000mO12( ,)na aa 12,ne ee1 122nna ea ea e 123(1 2 3), (2 3, 1), (1,1,2 ,， ，）， ，）,042），（ 321， ，332211 kkk123(2,4,0)(1,2,3)(2,3, 1)(1,1,2)kkk2022-32,23,32)kkkkkkkkk由由向向量量相相等等123. 321，

6、 ，1231231232 2234320kkkkkkkkk ( (存存在在) )123 1,1kkk 解得解得)3 , 2, 1 (，10112021 ），（），（ 21 ，2022-3-18142211 kk21,kk 21 ，21121223kkkk 120 21 ,1 01 ,(1, 2,0) （， ， ）（， ， ） 21 ，2211 kk21121220kkkk 1212 =1,1,.kk 解得可由表示解得可由表示2022-3-18(2)解非齊次線(xiàn)性方程組11221mmkkk（）（）11222mmxxx（）（）有解:無(wú)解：12,.m 可被表示可被表示.解表示式解表示式12,.m 不可

7、被線(xiàn)性表示不可被線(xiàn)性表示解唯一:12,.m 可被唯一表示可被唯一表示解不唯一:12,.m 可被表示不唯一可被表示不唯一2022-3-1812,m 12,mk kk1122mmkkkO12,m 向量組向量組12,mk kk12,m 向量組向量組12 0mkkk必須必須1. 122., neee,21，1212kkO 1,0k不全為不全為12000mOO1 122 nnk ek ek eO由由12,10,.nk kkE E 以為未知數(shù) 因系數(shù)矩陣為以為未知數(shù) 因系數(shù)矩陣為單位矩陣只有非零解單位矩陣只有非零解1122 nnxxxO做齊次方程組做齊次方程組只有零解線(xiàn)性無(wú)關(guān)有非零解線(xiàn)性相關(guān)），（），（）

8、，（021，320111321 0kkk332211 ），（），（），（），（000021320111321kkk0302202132131kkkkkkk1 0 1 1 2 2501 3 0 因因.方程組只有零解方程組只有零解123,. 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)2022-3-181231 51,2),2,111),4,111 3)（， ，（， ，（， ，（， ，（， ，（， ，0kkk332211 123123123123240511010230kkkkkkkkkkkk 123 20即，即，123 2,1,1 kkk 可驗(yàn)證是齊次方程組的解可驗(yàn)證是齊次方程組的解123, 故故線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān). .20

9、22-3-182002110011101000322131kkkkkk123, 133221, 112223331()()()kkkO131122233()()()kkkkkkO123, 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)0321kkk133221, 2022-3-1821)2(,，21mm ，2022-3-1822) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (321eee），（），（），（310 , 0，101 , 02 , 001321 21,ee1122331 0 2,2,1 2,1,2 2,kkk例（， ， ）（，）（，）無(wú)關(guān)例（， ， ）（，）（，）無(wú)關(guān)1231 0 2 2

10、 1 2401 2 2 因因1231 0 2 ,2,1 2 ,1,2 2?。?， ， ）（， ）（， ）?。ǎ?， ）（， ）（， ）123, 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)112233 0 xxx即即只有零解只有零解123, 從而線(xiàn)性無(wú)關(guān).從而線(xiàn)性無(wú)關(guān).12,1,2,iiiniaaain （）12().TTTmAm是矩陣有 階子式非零是矩陣有 階子式非零0.Am線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)的的所所有有 階階子子式式都都為為12 (),.()TTTmrArD 證證 設(shè)設(shè)不不為為零零子子式式最最高高階階為為 階階 且且在在左左上上角角記記為為可可適適當(dāng)當(dāng)調(diào)調(diào)整整編編號(hào)號(hào)、分分量量實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)1rDr 作作含含的的階階子子式式1

11、rjriijDBDCa 111111rjrrrrjiirijaaaaaaaaa ,1,2,jr in T,()jrmArjr 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)中中除除前前 列列外外 還還有有其其余余列列 設(shè)設(shè)TTTT12rjrr 即即列列的的前前 行行再再添添上上這這 列列的的任任一一行行111,1., 0.rrrirDirDAri jD 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)兩兩行行相相同同時(shí)時(shí)是是 中中的的階階子子式式故故對(duì)對(duì)任任意意有有111111 , 0rrijriirrrrDDa Da Aa A 將將按按最最后后一一行行展展開(kāi)開(kāi) 有有1111 =/ijirirrrrraa ADa AD 或或111 j11,2, =rrrrrrAAinD

12、D 分分別別取取得得12,.m 中中有有向向量量可可由由其其它它表表示示相相關(guān)關(guān)T2,.TTmrm 1 1所所以以線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)時(shí)時(shí),()0mAmDm 反反之之 當(dāng)當(dāng) 中中有有 階階子子式式假假設(shè)設(shè)前前行行1122 0mmkkk 令令11121 1,rrrrin AAAi 其其中中對(duì)對(duì)任任意意不不隨隨 變變11112212112222112211220000mmmmmmmmmnnnmma ka kaka ka kakakakaka ka kak 12m,.mDm 恰恰為為前前個(gè)個(gè)方方程程的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式 由由克克萊萊姆姆法法則則知知 只只有有零零解解線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 1 向向量量組組

13、中中向向量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)大大于于維維推推論論數(shù)數(shù)必必相相關(guān)關(guān). .(). 每每一一向向量量排排一一列列得得矩矩陣陣行行數(shù)數(shù)為為向向量量維維數(shù)數(shù). .子子式式階階數(shù)數(shù)不不會(huì)會(huì)超超過(guò)過(guò)行行數(shù)數(shù)向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)() 子子式式階階數(shù)數(shù)列列向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) ,2 齊齊次次線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程組組中中 未未知知數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)大大于于方方程程個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)必必有有推推論論非非零零解解. .2(=)111 111(3)111D 向量個(gè)數(shù) 向量維數(shù)向量個(gè)數(shù) 向量維數(shù)123, ，11 , 111121），（），（ ），（11 , 13 時(shí)，或當(dāng)30, 0D時(shí)，與當(dāng)30, 0D123, 212 nn, 3 0.nTTTm 1

14、1推推論論個(gè)個(gè) 維維向向量量組組線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)行行列列式式 n()0.D 元元齊齊次次方方程程組組 方方程程個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)= =未未知知數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)有有非非零零解解系系數(shù)數(shù)行行列列式式推推論論4 412,r 若若線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)12,r r ,，21，1122 0rrkkkk 設(shè)設(shè)12,0rk kk kk 不不全全為為零零11,rriiiiiiml 1212rrkkkkkk 1 (),1,2,riiiiiiOmlml ir 則則(1)0,1,2,3,4ii 全部線(xiàn)性無(wú)關(guān)；全部線(xiàn)性無(wú)關(guān)；121314233444(2);,; 2; 對(duì)應(yīng)分量對(duì)應(yīng)分量不成比例 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性相關(guān)不成比例 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性相關(guān)1

15、23124134234(3); 三個(gè)向量的向量組全部線(xiàn)性相關(guān)；三個(gè)向量的向量組全部線(xiàn)性相關(guān)；1234(4) 線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)（部部分分相相關(guān)關(guān)全全體體相相關(guān)關(guān)) ). .12341 0 0 ,0 2 0 ,1 2 0 ,0 4 0（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量最最多多兩兩個(gè)個(gè)！12121222 ,. ,.rrrmiiijiiijiiimn 1 11 1設(shè)設(shè)為為 維維向向量量組組為為其其一一個(gè)個(gè)部部分分無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組 若若任任意意加加入入一一個(gè)個(gè)向向量量向向量量組組定定線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān) 則則稱(chēng)稱(chēng)向向量量組組為為義義極

16、極大大的的個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組一一12122212 ,(1), ,.rriiikmmjriiiimji ii 1 11 1為為部部分分無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組 則則其其為為向向量量組組的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組向向量量組組中中其其余余向向量量都都可可由由向向量量組組線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示定定理理6 61222 (1),riiimmj 1 11 1證證當(dāng)當(dāng)為為的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組時(shí)時(shí) 向向量量組組中中任任意意向向量量1212,.rriiijjiii 加加入入 向向量量組組都都線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān). .由由定定理理5 5知知可可由由向向量量組組線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示121211221212121212(2) ,; 1,2, ,

17、 1,0,rkrrrrrjriiiiiiimjjjijijijjjiiijiiji iikrllllll 設(shè)設(shè)都都可可由由向向量量組組線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示 顯顯然然可可由由線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示. .即即中中任任意意向向量量有有或或有有不不全全為為零零數(shù)數(shù)使使向向量量組組線(xiàn)線(xiàn)性性組組合合為為 向向量量線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān). .故故12,.rim 為為的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)2022-3-18311212 :,;:,rsBABAB 定定 義義設(shè)設(shè)；若若中中 每每 個(gè)個(gè) 向向 量量 均均 可可 由由表表 示示 ， 則則 稱(chēng)稱(chēng)可可 由由表表 示示 . .112223313 :,;:,. 123123BA B

18、例例 設(shè)設(shè)；且且證證明明：ABABAB 若若 組組、 組組可可互互相相表表示示，則則稱(chēng)稱(chēng)向向量量組組 與與 等等價(jià)價(jià)，記記為為。 ) 2,) 2,) 2ABAB 與 可互相表示，故。與 可互相表示，故。證 由證 由；知；知2022-3-18321212 n,.nne ee 例 證明任何 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都與例 證明任何 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都與基本單位向量組等價(jià)基本單位向量組等價(jià)Ti12 (,)iiniaaa 證 設(shè)證 設(shè)Ti1211221212 (,) = ,iiniiininnnaaaa ea ea ee ee 因因因此可由線(xiàn)性表示；因此可由線(xiàn)性表示；1122 iiiinnekkk令令1111

19、21212111211201 00niiiniiiniiinnnnnaaaaaaikkkaaaaaa 即即1111221112212111211122 0 1 0 0iininiiiiininiiiniiinnininnina ka ka ka ka ka kakakaka ka ka k 或或121221,; ,.iiinnninkkke ee 1 1由克萊姆法則知:對(duì)任意方程組都存在由克萊姆法則知:對(duì)任意方程組都存在唯一解唯一解即可用線(xiàn)性表示即可用線(xiàn)性表示1212 ,.nne ee 從而與等價(jià)從而與等價(jià)12,n 線(xiàn)性方程組系數(shù)行列式為線(xiàn)性方程組系數(shù)行列式為1212 ,0nn 而線(xiàn)性無(wú)關(guān) 即

20、而線(xiàn)性無(wú)關(guān) 即1122 0ssxxx 證證 令令12127 :,:,;,stBABstA 定定理理設(shè)設(shè)；為為兩兩個(gè)個(gè)同同維維向向量量組組. .若若 可可由由 表表示示，且且則則 相相關(guān)關(guān)。（個(gè)個(gè)多多的的相相關(guān)關(guān)）1212 :,:, .1stABAst 推推若若可可由由表表示示且且 線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 則則必必有有論論,. AB由由 可可由由 表表示示 至至少少可可得得一一個(gè)個(gè)未未知知數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)大大于于方方程程個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的齊齊次次線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程組組 有有非非零零解解 相相關(guān)關(guān)不能互相表示），（不等價(jià)。，但）（）（），（），（如 11101RRrRn),( 2) R, ,()mmRmm 無(wú)關(guān)（或

21、相關(guān)）無(wú)關(guān)（或相關(guān)）（）或（）或12 (,)mRr 定理定理12 (,)0,1.TTTmrrrDDr 矩矩陣陣有有一一個(gè)個(gè) 階階子子式式且且含含的的階階子子式式全全為為零零1112112122221212(,)nnnmmmmnaaaaaaAaaa 2 3110 1 53(,)0 0 00(,)(,)2AARAR 的的行行秩秩的的列列秩秩 (1)0()min,;(2) (0)0;(3) ()m nnR Am nRR En ( )0,1.rrR ArrDDr 階階子子式式且且含含的的階階定定子子式式全全為為零零理理11121122221212,nnmmmnmaaaaaaAaaa 設(shè)為 列向量設(shè)為

22、列向量121212, ( )( )( )nnnQQQQ 則初等行變換對(duì)應(yīng)左乘初等矩陣 即則初等行變換對(duì)應(yīng)左乘初等矩陣 即1212j1212 +ttiitijiitikkkQkkk同樣同樣兩邊左乘兩邊左乘121212121212 +0 +0 +0tttiitiiitiiitikkkk Qk Qk Qkkk 若若則則*0*) 1 (B階梯形矩陣階梯形矩陣 矩陣矩陣秩的求法:用初等行變換化為階梯形非零行數(shù)非零行數(shù)）（標(biāo)準(zhǔn)形；標(biāo)準(zhǔn)形；行、列行、列準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形行行階梯形階梯形行行BARDDBA 1 R(B) 00*1*1)2(1D準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形000001001)3(D準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形 矩陣;14

23、2303112041A1 4 0 21 4 0 21 4 0 211 3 005 3 20 5 3 232 410 10 4 50 02 1( )3AR A 三個(gè)非零行三個(gè)非零行33 0 2511 0 6 1 ,( );11 0 2122 0 8 0BR B 例 設(shè)求例 設(shè)求33 0 250 0 0840 0 0 0 011 0 6 10 0 0 420 0 0 0 011 0 2111 0 2111 0 2122 0 8 00 0 0 420 0 0 4 2B ( )2R B 降階法求矩陣的秩：降階法求矩陣的秩：2121111111111111111211112102212212122212

24、21210-0-mmnnaaannaanaammmnmmnnaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaa 行行變變換換1112111 2212 2111 212111212111110-0-nnnmmmnn maaaa a a aa a a aa aa aa aa a 1112111 11112212221 211 111 12121 0 0nnnnmmmmnaaaa aaaaaaaa aa aaaaa 11121111111111 1 0 0nnmmnaaabba CO Bbb ( ) 1( )RARB 1 4 0 2 11 3 0,( );32 41AR A 例求例求532( )13.1

25、045R AR兩行不成比例兩行不成比例33 1 2511 -2 6 1 ,( );11 0 2122 1 8 0BR B 例 設(shè)求例 設(shè)求07 16 8142 ( )101 4217 16 80 1 20 101 20 10R BRR解解12611324 12R 的相關(guān)性。），討論（；求），（），（），（），（設(shè) R4592,1423,315,24 123412341 5321 5324129021 101()0345034520140 10 501532153215320101010101010345004800120 1050005100000(TTTTTTTAR 1234)34,A 向向

26、量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 故故，相相關(guān)關(guān)。的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。）以及（；求），（），（），（），（設(shè) R7413,6524,1111,321123412341 1431 1431121026 2()2 154013 23 167026 21 1431 1 430 1310 1 31()013 20 0 0 1026 20 0 0 0TTTTTTTTA 12341241234134()34,R A 向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)。為為向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組?？煽梢砸钥纯闯龀?，也也是是向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組。2022-3-18 1 2 0 ,1 2 1 2 ,1 7

27、, 1 6 ,(4 2 5 6). ;, 設(shè)設(shè)（， ， ， ）（， ， ， ）（， ）， ， ， 求求的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組若若還還有有其其余余向向量量 用用它它表表示示出出. .12341 1 1 41 1141 2 7 20 386()2 11 501330 2 6 60 2661 1 141 1 1 41 0 0 70 0130 1 3 30 1 060 1 330 0 1 30 0 1 30 0 000 0 0 00 0 0 0TTTTA 1234123()3;, 763R A 是是原原向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，且且2022-3-18461 0AX 定理齊

28、次線(xiàn)性方程組存在非零解定理齊次線(xiàn)性方程組存在非零解( ) ()R An 未知數(shù)的個(gè)數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)2 AXB定理非齊次線(xiàn)性方程組有解定理非齊次線(xiàn)性方程組有解( )= ( ) ( =()R AR AAA B為增廣矩陣為增廣矩陣( )(),;R AR A Bn且方程組存在唯一解且方程組存在唯一解( )(),;R AR A Bn方程組存在無(wú)窮多解方程組存在無(wú)窮多解.系數(shù)列向量線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)列向量線(xiàn)性相關(guān)().AA B列向量組極大無(wú)關(guān)組也是的極大無(wú)關(guān)組列向量組極大無(wú)關(guān)組也是的極大無(wú)關(guān)組 2 1111 21 322 0 412 111 131 002 3AA B 行行解解123451234123451252

29、2322 4 213 23xxxxxxxxxxxxxxxxx 例例 討討論論方方程程組組是是否否有有解解？1322 0 405331 605331 3010 662 9 1 322 0 41 322 0 40 533 1 60 533 1 60 0 00 0 30 0 00 0 30 0 00 0 30 0 00 0 0 行行行行( )2, ()3,.R AR A B 方方程程組組無(wú)無(wú)解解2 111 121131Aab 解解1231231231232020 ,03+0 xxxxxxa bxaxxxxbx 例例為為何何值值 方方程程組組有有非非零零解解？1 122 111131ab 行行1120

30、13013046ab 行行1 120 130 0 30 06ab 行行06, ( )3(),;abR A 當(dāng)當(dāng)或或時(shí)時(shí)未未知知數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 只只有有零零解解0=6, ( )23(,;abR A 當(dāng)當(dāng)且且時(shí)時(shí)未未知知數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)) )有有非非零零解解2022-3-18491 122 13113 2 ()5 131 41 213 5AA B 解解1234123412341234221332 ?534235,?xxxxxxxxxxxxxxxx 例例 討討論論方方程程組組是是否否有有解解有有解解時(shí)時(shí) 解解是是否否唯唯一一1 122 10479 10479 10 11 1 4 行行1 122 10 11

31、 1 40479 10 000 0 1 122 10 111 40 0115150 000 0 ( )()34,.R AR A B 方方程程組組有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解2022-3-185022222441111 ()1101 1411 2402281241240228022801 14004328kkAA Bkkkk kkkkkkkkkkkkk 解解12321231234 ,24xxkxkxkxxkxxx 例為何值時(shí) 線(xiàn)性方程組有例為何值時(shí) 線(xiàn)性方程組有唯一解、有無(wú)窮多解、無(wú)解？唯一解、有無(wú)窮多解、無(wú)解？(1)143,;(2)4,23,;(3)1,23,kR AR AnkR AR AnkR AR

32、 A 和和 ， （ ）（ ）有有唯唯一一解解（ ）（ ）有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)解解（ ）（ ）無(wú)無(wú)解解。121122 0,0Xc XXXAXcAX 、定定理理 若若為為的的任任意意兩兩個(gè)個(gè)解解 則則也也是是解解. .齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)0,01212 0,AXXXAXAX 、是是證證 由由解解 有有 1122)0112211120, (cc Xc AXc AXc XXAXA c X 代代入入方方程程有有 0,.AX 有有非非零零解解 必必有有無(wú)無(wú)窮窮多多. .但但只只要要找找到到所所有有解解向向量量的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組 就就可可以以全全部部表表示示出出 0.AX 解解向向量量的的任任一一極

33、極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組稱(chēng)稱(chēng)為為方方程程組組的的一一基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系個(gè)個(gè) ( ),0R ArAXnr 若若則則的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系中中恰恰有有定定理理個(gè)個(gè)解解. . 證證0.AXnr 先先證證有有個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)解解12112212,. (), 0, 0,00.nnnnAR ArnAxxxxxxAXnrnn 設(shè)設(shè)為為 列列向向量量 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 因因 的的列列向向量量線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 即即時(shí)時(shí) 必必需需也也即即僅僅有有零零解解沒(méi)沒(méi)有有非非零零解解. .線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)解解個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為121212(),:rrrnrR ArnArrA 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)列列向向量量極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組有有 個(gè)個(gè)向向量量不不失失一

34、一般般性性 設(shè)設(shè)前前 列列為為 列列向向量量一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組. .則則可可用用線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示11111221221122221212 rrrrrrnrn rn rn rrccccccccc 111211222212120=,=,=100.010001n rn rrrn rrn rccccccAXcccnr 是是即即個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)解解12()0Tnd ddAX 再再設(shè)設(shè)為為的的任任一一解解11221 2 ()Trrnn rndddl ll 考考察察121 1220, 1rrniiririnrillllddcdcd cir 則則0.AX 由由齊齊次次方方程程組組的的性性質(zhì)質(zhì)知知

35、 為為的的解解1 12 21 000r rrnAlll 即即1212 ,0rrlll 由由線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 得得必必有有1122 0rrnn rddd 也也即即1122 =+rrnn rddd 或或120,n rAX 的的任任一一解解 都都可可以以用用表表示示12,0.n rAX 是是解解向向量量的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系12112212 ,0. ()0.n rn rn rn rXXXAXXc Xc XcXc ccAX 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 稱(chēng)稱(chēng)任任意意常常數(shù)數(shù)為為齊齊次次線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程組組定定的的通通解解義義基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系求求法法: :1. ().().A求求系

36、系數(shù)數(shù)矩矩陣陣 列列向向量量的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組 用用行行變變換換 并并將將其其余余列列 如如果果有有 用用所所求求極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示出出11111221221122221212 rrrrrrnrn rn rn rrccccccccc 1111221122112222121121(0)1+0000+100 0+010rrrrnrrrrnrrrnn rn rrcccccccc 移移項(xiàng)項(xiàng) 缺缺失失補(bǔ)補(bǔ)111212122212,2. nnmmmnaaaaaaAaaa選定極大無(wú)關(guān)選定極大無(wú)關(guān)組 將極大無(wú)關(guān)組 將極大無(wú)關(guān)化階梯形化階梯形組中向量化為組中向量化為基本單位向量基本單位向

37、量 11112122122212 (,1,0,0) (,0,1,0) (,0,0,1)TrTrTn rn rn rn rrccccccccc 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系()nr最簡(jiǎn)階梯形寫(xiě)出等價(jià)方程組個(gè)自由未知量最簡(jiǎn)階梯形寫(xiě)出等價(jià)方程組個(gè)自由未知量 (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1).nr 在等價(jià)方程組中令自由未知量分別取在等價(jià)方程組中令自由未知量分別取求得個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解求得個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解1231231230 ,020?.xxkxkxkxxxxx 例 當(dāng) 為何值時(shí) 方程組有非零例 當(dāng) 為何值時(shí) 方程組有非零解 有非零解時(shí)求出其全部解解 有非零解時(shí)求出其全部解11112122122212 (,1,

38、0,0) (,0,1,0) (,0,0,1)TrTrTn rn rn rn rrccccccccc 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系11 1111 2kAk 解解11011022kkkk11 010 110 0 4kkk 時(shí)時(shí)12312124,( )2, (1)3kR AAk 當(dāng)時(shí)為 列向量極大無(wú)關(guān)組 且當(dāng)時(shí)為 列向量極大無(wú)關(guān)組 且1,4()3,.kkR A 時(shí)時(shí)方方程程組組只只有有零零解解123123 30 (30)移項(xiàng)或移項(xiàng)或(3-2=1) =(3, 1,1) (3,1, 1) )TT 基礎(chǔ)解系個(gè)解或基礎(chǔ)解系個(gè)解或 =c (3, 1,1) ,TXc 方程組通解任意常數(shù).方程組通解任意常數(shù).1 111,

39、0 0002 3kA 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)1 0 1/20 13/20 00123121231,( )2,1313 02222kR AA 當(dāng)時(shí)為 列向量極大無(wú)關(guān)組 且當(dāng)時(shí)為 列向量極大無(wú)關(guān)組 且或或1 3=(,1) ,.2 2TXcc基礎(chǔ)解系通解任意常數(shù)基礎(chǔ)解系通解任意常數(shù)123412341234 3 20 2 8 70.456110 xxxxxxxxxxxx 例 求的通解例 求的通解1 31 2 21 874 56 11A 解解1 31 207 10 307 10 3 23231 0771030 1770 00012( )2,R AA 為 列向量一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 且為 列向量一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 且312412

40、2310233, 777712341234231023300,0077771223 1023 3(,1,0) ,(,0,1)7777TT 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系112212 , ,.Xccc c通解任意常數(shù)通解任意常數(shù)方方法法二二1 31 221 874 56 11A 1 31 207 10 307 10 3 23231 0771030 1770 000( )24,.R A 方程有無(wú)窮多解方程有無(wú)窮多解1342342323+077 103077xxxxxx 同解方程組：同解方程組：34342323103 707707 ,xxXxx或或任意常數(shù).任意常數(shù).134342342323=,77 ,10377

41、xxxxxxxx 解得通解解得通解任意任意3434=1,=00,1xxxx或取或取和和得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2022-3-186112341234123412345 02 30 83 09 370 xxxxxxxxxxxxxxxx 例 解齊次方程組例 解齊次方程組5111321012113720128311000091370000A 1241343 207 220 xxxxxx 即即1414 1,0 0,1xxxx分別令和分別令和得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系1210-3 2-1X,X7/2-2011210-3 2-17/2-201Xcc通解通解14142,01,0 xxxx 取取比比取取好好2022-3

42、-18625 1115 1113 2 1 0 121137 0247 2 0 1 28 31 17 0 2400 0 0913714 04800 0 0A 方方法法二二：2342337222 1 1系系數(shù)數(shù)列列向向量量關(guān)關(guān)系系：234123437-+0022020 1 112103 21X,X7 2201 基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系：112212XXX , cccc 通通解解：= =、任任意意常常數(shù)數(shù)12X ,X 也也是是2022-3-186332051234430512342355051234 xxxxxxxxxxxxxxx 例 求解方程組例 求解方程組1 31211 31211 0 2741 1 1

43、4302 2620 113 12 3 15503 3930 0 000A134523452743 xxxxxxxx 同同解解方方程程組組123112233274131X,X,X100010001 X=k X +k X +k Xk,1,2,3iR i 通通解解: :345,(1 0 0)(0 1 0),(0 0 1)xxx分分別別取取為為得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系 ( *).R A例 求例 求(1) 0,*0AA 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 因因?yàn)闉?( *)0;R A (2) ,A當(dāng)當(dāng) 可可逆逆時(shí)時(shí)* ( *);AR An 因因?yàn)闉橐惨部煽赡婺?3) 00,AA 當(dāng)當(dāng)?shù)? = 時(shí)時(shí) *0AAA E 由由12* *(

44、,)nAA 將將按按列列分分塊塊1212 *(,)(,)nnAAAAAA 則則12 0,0,0nAAA *0.AAX 即的每一列都是的解即的每一列都是的解( )1,( *)(1)1R AnR Ann若則若則( )1,10,*0,( *)1R AnAnAR A而時(shí)至少有一個(gè)階子式而時(shí)至少有一個(gè)階子式即即 ( *)1R A( )2,10,*=0 ( *)=0.R AnAnAR A而時(shí)的任意階子式為而時(shí)的任意階子式為即即65*0.XXX非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxB0 BA.AXB 取 用 列極大無(wú)關(guān)組表取 用 列極

45、大無(wú)關(guān)組表解解示式即可示式即可特特2022-3-1866151111 03 713 7 13 7121330 12 74 74 7381110 0000193770 0000A 13432344120112212+3 7+13 7=070,2 74 7007( 3,2,7,0) ,( 13,4,0,7) ; ,TTxxxxxxxxXXXk Xk Xkk 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程取取，得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程通通解解為為為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)。13432344*1213 73 713 704 72 74 70134(,0,0) . 7713 7-3-13-4 724 .07

46、0007TxxxxxxxxXXkk 非非齊齊次次方方程程取取得得特特解解方方程程組組通通解解為為4B 直接用得特解更快直接用得特解更快2022-3-18151111 03 713 7 13 7121330 12 74 74 7381110 0000193770 0000A 12()()2,.,R AR AA 方方程程有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解為為 列列的的一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組 且且31241212321341340,0,777777B *123 7-13 713 72 74 74 7 ,100010XXX 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)非非齊齊次次齊齊次次基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解解解系系*11221213 73 7-13 7

47、4 72 74 7 .010001XXk Xk Xkk 通通解解2022-3-1868123412341234124233 23343 57xxxxxxxxxxxxxxx 11 2 3 311 0 0 211 1 2 3001 01()11 3 4 3000 1 111 0 5 7000 0 0AA B 12122222334422101.110101xxxxxxXxxRxxxx 同同通通解解, ,方方解解程程12341234123412342 3 45 425 67 637 89 49103xxxxxxxxxxxxkxxxxk 21 34521 0 2442 56700 1 23()63 7

48、898 0 0 084 9 10300 0 00AA Bkkkk 8,()()2,.kR AR A 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系有有兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)解解231242323,20,220,43AB 為為 列列向向量量一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組 且且*01212100224 ,; 023010Xkkk kRX 齊齊非非次次齊齊通通次次解解解解*0XXX 通通解解：2022-3-187021 0 240 1 0 2 600 1 230 0 1 2 38,8 0 0 081 0 0 0 100 0 000 0 0 0 0kAkk 時(shí)時(shí)()()3,.R AR A 基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系只只有有一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)解

49、解123423123, 220,63AB 為為 列列向向量量組組一一個(gè)個(gè)極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組 且且*10126 , 2310XX 基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系非非齊齊次次解解*11062 +,.3201XXkXkkR 通通解解：2022-3-187121 3 4521 0 2442 5 6700 1 23()63 7 898 0 0 084 9 10300 0 00AA Bkkkk 8,()()2,.kR AR A 時(shí)時(shí)有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解124342 24 23xxxxx 同同解解方方程程1121414344414010422422 ,32302001 ,.xxxxxXxxxxxxx xR 通通解解：2022-3-187221 0 240 1 0 2 600 1 230 0 1 2 38,8 0 0 081 0 0 0 100 0 000 0 0 0 0kAkk 時(shí)時(shí)()()3,.R AR A 方方程程組組有有無(wú)無(wú)窮窮多多解解243412623 =1xxxxx 同同解解方方程程1424443441106262 , .323201xxxXxxRxxxx 通通解解：12312312322axxxbxaxxxxaxc 1 20 122()11211121 10 112003222 11120 112abaa baAA Baaca aca bacaac 1,2,()(),.acR AR A 當(dāng)當(dāng)