1、高階線性微分方程高階線性微分方程解解的結(jié)構(gòu)理論的結(jié)構(gòu)理論一、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)一、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)*三、降階法與常數(shù)變易法三、降階法與常數(shù)變易法一、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)一、函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)則則稱稱線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)上上線線性性相相關(guān)關(guān)；否否個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間成成立立，那那么么稱稱這這時(shí)時(shí)有有恒恒等等式式使使得得當(dāng)當(dāng)全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，如如果果存存在在個(gè)個(gè)不不上上的的為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)InykykykIxkkknIxyxyxynnnn0,)(,),(),(22112121 定義定義命題一

2、命題一: :兩個(gè)函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)兩個(gè)函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)),()()(21常常數(shù)數(shù)若若Cxyxy 線線性性相相關(guān)關(guān)；則則),(),(21xyxy),()()(21常常數(shù)數(shù)若若Cxyxy 線性無(wú)關(guān)；線性無(wú)關(guān)；則則),(),(21xyxy命題二：命題二：相相關(guān)關(guān))(),(),(21xyxyxyn0)()()()( )( )( )(),()()()1()1(2-1n12121 xyxyxyxyxyxyxyxyxyxWnnnnn）（WronskyWronsky行列式行列式否則，線性無(wú)關(guān)。否則，線性無(wú)關(guān)。例例判別下列函數(shù)的相關(guān)性判別下列函數(shù)的相關(guān)性,1xxey ,22xexy ,1/21Cx

3、yy 022002101)(2 xxxxW),(2, 1xx1.線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)2.在在內(nèi)內(nèi)2, 1xx線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)稱為稱為n階線性微分方程階線性微分方程，0)(dd)(dd22 yxQxyxPxy時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱為稱為n階階齊次線性齊次線性微分程微分程時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱為稱為n階階非齊次線性非齊次線性微分方程微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn 二、線性微分方程的二、線性微分方程的解解的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形如形如重點(diǎn)討論重點(diǎn)討論，)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy )(11yCxP )(11yCxQ0證畢證畢1、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)、

4、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若若函函數(shù)數(shù)是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解的兩個(gè)解,也是該方程的解也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊代入方程左邊, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理疊加原理) )()(2211xyCxyCy 則則為為任任意意常常數(shù)數(shù)) )21,(CC定理定理1.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 問(wèn)題問(wèn)題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？2211yCyCy 不一定不一定是所給方程是所給方程(1)(1)的通解的通解

5、. .例如例如,一個(gè)解，一個(gè)解，是是設(shè)設(shè))1()(1xy.)1()(2)(12是是的的解解也也則則xyxy )()(2211xyCxyCy 但但是是顯然不是顯然不是(1)(1)的通解的通解)()2(121xyCC )(1xCy ,221CCC 令令定理說(shuō)明齊次方程的解符合疊加原理定理說(shuō)明齊次方程的解符合疊加原理定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解性無(wú)關(guān)特解, 則則)()(2211xyCxyCy數(shù)數(shù)) 是該方程的通解是該方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù)常數(shù),故方程的通解為故方

6、程的通解為xCxCysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若是是 n 階齊次方程階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解個(gè)線性無(wú)關(guān)解, 則方程的通解為則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?)()(,)1()1()(02)(022)1(221222122的解的解與方程與方程是否仍為方程是否仍為方程意線性組合意線性組合這兩個(gè)函數(shù)的任這兩個(gè)函數(shù)的任與與都有解都有解與方程與方程已知方程已知方程 yCyCyxyxyyyyyyxyx.)(2211的的解解是

7、是方方程程 yCyCy,)()(有本質(zhì)的不同有本質(zhì)的不同與與方程方程 例例解解., 后后者者是是非非線線性性方方程程前前者者是是齊齊次次的的線線性性方方程程由定理由定理1,的的左左端端，得得代代入入方方程程將將)(2211 yCyCy)22( )1()1( 2212221CCxCxC 221)1(2)1(2 xCxC2116CC . 0 )00(21 CC或或除除非非.)(2211的解的解不是方程不是方程所以所以 yCyCy這說(shuō)明非線性方程的線性組合一般不再是它的解這說(shuō)明非線性方程的線性組合一般不再是它的解.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程一階線性方程)()(xQyxPy xxPeCyd)(xexQe

8、xxPxxPd)(d)(d)(齊次方程通解齊次方程通解Y非齊次方程特解非齊次方程特解通解通解2.2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)的通解的通解方程方程是二階非齊次線性微分是二階非齊次線性微分那么那么，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解是與是與的一個(gè)特解的一個(gè)特解是二階非齊次線性方程是二階非齊次線性方程設(shè)設(shè)定理定理)2()(*)()2()()2()()()()(*3xyxYyxYxfyxQyxPyxy 證證得得式式左左端端代代入入將將,)2()(*)(xyxYy )*( yY)*( )( yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )*( )

9、(yYxQ 是是非非齊齊方方程程的的解解，故故)(*)(xyxYy 例如例如, , 2*2 xy,sincos21xCxCY 對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程有通解有通解則方程的通解為則方程的通解為. 2sincos221 xxCxCy0)( xf).(xf 含含有有兩兩個(gè)個(gè)任任意意常常數(shù)數(shù)，因因?yàn)闉?211yCyCY 也也含含有有兩兩個(gè)個(gè)任任意意常常數(shù)數(shù)，所所以以*yYy 是通解是通解有有特特解解方方程程2xyy 0 yy就是原方程的特解就是原方程的特解的特解，那么的特解，那么與與分別是方程分別是方程與與而而如如，的右端是幾個(gè)函數(shù)之和的右端是幾個(gè)函數(shù)之和設(shè)非齊線性方程設(shè)非齊線性方程定理定理)()()

10、()()()()()()3(),()()()()2(4*2*121*2*121xyxyxfyxQyxPyxfyxQyxPyyyxfxfyxQyxPy )*)(21 yyxP證證的的左左端端，得得代代入入方方程程將將)3(*)(*21yxyy ) *(21 yy)*)(21yyxQ *)(*)(*111yxQyxPy *)(*)(*222yxQyxPy ).()(21xfxf 的的一一個(gè)個(gè)特特解解是是方方程程所所以以)3(*21yy 該定理稱為非齊次線性微分方程的解的該定理稱為非齊次線性微分方程的解的疊加原理疊加原理例如例如, ,21*xey 有特解有特解方程方程xeyy .cos的的解解xey

11、yx 有特解有特解方程方程xyycos ,sin2*xxy 是是方方程程則則xxeyxsin221* 定理定理3,3, 定理定理4 4 均可推廣到均可推廣到 n n 階線性非齊次方程階線性非齊次方程.常數(shù)常數(shù), 則該方程的通解是則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線都是二階非齊次線性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例1.提示提示:3231,yyyy都是

12、對(duì)應(yīng)齊次方程的解都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無(wú)關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 個(gè)解個(gè)解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy與是對(duì)應(yīng)齊次方程的解是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且且xexeyyyyxx21312常數(shù)常數(shù)因而線性無(wú)關(guān)因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件代入

13、初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解為故所求特解為有三有三 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 物體受力分析，物體受力分析，彈彈性性恢恢復(fù)復(fù)力力阻尼介質(zhì)的阻力阻尼介質(zhì)的阻力xxo).(00txxv 確定物體的振動(dòng)規(guī)律確定物體的振動(dòng)規(guī)律置附近作上下振動(dòng)試置附近作上下振動(dòng)試，并在平衡位，并在平衡位，物體便離開平衡位置，物體便離開平衡位置初始速度初始速度，如果使物體具有一個(gè)，如果使物體具有一個(gè)設(shè)有一彈簧下掛一重物設(shè)有一彈簧下掛一重物例例解解,cxf ,ddtxR 由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得,dddd22txcxtxm ,22mckmn 移移項(xiàng)項(xiàng)，并

14、并記記這是物體在有阻尼的情況下的自由振動(dòng)的微分方這是物體在有阻尼的情況下的自由振動(dòng)的微分方程程力力若物體還受到鉛直干擾若物體還受到鉛直干擾，則有則有pthxktxntxsindd2dd222 這是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程這是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程0dd2dd222 xktxntx得得,sin ptHF .mHh 其其中中。 。RELKcq q ABi例例如如圖圖常常數(shù)數(shù)也也是是及及，這這里里的的函函數(shù)數(shù)：勢(shì)勢(shì)是是時(shí)時(shí)間間為為常常數(shù)數(shù)，電電源源電電動(dòng)動(dòng)及及、串串聯(lián)聯(lián)組組成成的的電電路路，其其中中和和電電源源、電電容容、自自感感設(shè)設(shè)有有一一個(gè)個(gè)由由電電阻阻)(sin mmEtEEtCLRECLR ),(ti

15、設(shè)電路中的電流為設(shè)電路中的電流為解解),(tq為為電電容容器器極極板板上上的的電電荷荷量量,Cu兩極板間的電壓為兩極板間的電壓為.LE自自感感電電動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)為為由電學(xué)知道由電學(xué)知道,ddtqi ,CquC ,ddtiLEL 根據(jù)回路電壓定律，得根據(jù)回路電壓定律，得, 0dd RiCqtiLE,sindddd22tEutuRCtuLCmCCC 即即.sindd2dd2022tLCEututumCCC 或或?qū)憣懗沙?1,20LCLR 式式中中串聯(lián)電路的振蕩方程串聯(lián)電路的振蕩方程.若電容器經(jīng)充電后撤去外電源，若電容器經(jīng)充電后撤去外電源，即即0 E. 0dd2dd2022 CCCututu 方程成為方程

16、成為三、降階法與常數(shù)變易法三、降階法與常數(shù)變易法1.1.齊次線性方程求線性無(wú)關(guān)特解齊次線性方程求線性無(wú)關(guān)特解-降階法降階法的的一一個(gè)個(gè)非非零零特特解解，是是方方程程設(shè)設(shè))1(1y,)(12yxuy 令令代入代入(1)(1)式式, , 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令則有則有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即, 0)()(111 yxQyxPy因因?yàn)闉榻獾媒獾?1d)(21 xxPeyv，所所以以xeyuxxPd1d)(21 ,d1d)(2112xeyyyxxP 齊次線性方程通解為齊次線性方程通解為.d1

17、d)(211211xeyyCyCyxxP 的的一一階階方方程程，因因?yàn)闉樵撛摲椒匠坛淌鞘?v所求線性無(wú)關(guān)的特解為所求線性無(wú)關(guān)的特解為此公式稱為劉維爾公式此公式稱為劉維爾公式.,0)1(求其通解求其通解特解為特解為的一個(gè)的一個(gè)已知齊次方程已知齊次方程xeyyyxyx 由劉維爾公式得另一個(gè)特解為由劉維爾公式得另一個(gè)特解為 xeeeyxxxxxd1d122所求齊次方程的通解為所求齊次方程的通解為.21xeCxCY 例例解解,1xey 解解為為已已知知齊齊次次方方程程的的一一個(gè)個(gè)特特,x ，是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，因?yàn)橐驗(yàn)?1yy2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-

18、常數(shù)變易法常數(shù)變易法若對(duì)應(yīng)齊次方程通解為若對(duì)應(yīng)齊次方程通解為)4(2211yCyCy 設(shè)非齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy ）（，設(shè)設(shè)50)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy ),()()(xfyxQyxPy 二二階階非非齊齊次次線線性性方方程程得得代入非齊次方程代入非齊次方程將將,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )6()()()(2211，則則有有xfyxcyxc (5), (6) 聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc2121)(yyyyxw 當(dāng)系數(shù)行列式當(dāng)系數(shù)行列式, 0 2121yyyy ,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 對(duì)上兩式積分，得對(duì)上兩式積分，得,d)()()(211 x