1、線性代數(shù)第一章在中學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)過用代入在中學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)過用代入消元法和加減消元法求解二元、消元法和加減消元法求解二元、三元的線性方程組，它們的特點(diǎn)三元的線性方程組，它們的特點(diǎn)是每次求解一個特定的方程組時是每次求解一個特定的方程組時需要重復(fù)整個過程，而這種重復(fù)需要重復(fù)整個過程，而這種重復(fù)的過程可能是純粹的多余勞動。的過程可能是純粹的多余勞動。為了說明這個問題我們來看兩個為了說明這個問題我們來看兩個小學(xué)一年級的加法題：小學(xué)一年級的加法題：7+7+7+7+7= 14+7+7+7=21+7+7=28+7=357+7+7+7+7+7+7=14+7+7+7+7+7=21+7+7+7+7=28+7+

2、7+7=35+7+7=42+7=49到了小學(xué)二年級學(xué)習(xí)乘法后這兩到了小學(xué)二年級學(xué)習(xí)乘法后這兩個題的解法是：個題的解法是：7+7+7+7+7=7 5=357+7+7+7+7+7+7=7 7=49引入乘法后，我們利用乘法口訣引入乘法后，我們利用乘法口訣直接給出了結(jié)果，而省去了繁瑣、直接給出了結(jié)果，而省去了繁瑣、乏味的過程。乏味的過程。5對于未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)對于未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等的方程組，我們也試圖引入相等的方程組，我們也試圖引入一個新的運(yùn)算，來省去消元過程，一個新的運(yùn)算，來省去消元過程，直接獲得方程組的解。直接獲得方程組的解。這個新的運(yùn)算被稱為行列式。這個新的運(yùn)算被稱為行列式。6

3、第一章第一章 行列式行列式內(nèi)容提要內(nèi)容提要1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式2 2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)3 3 n 階行列式的定義階行列式的定義4 4 對換對換5 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)6 6 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開7 7 克拉默法則克拉默法則行列式的概念行列式的概念. .行列式的性質(zhì)及計算行列式的性質(zhì)及計算. . 線性方程組的求解線性方程組的求解. . （選學(xué)內(nèi)容）（選學(xué)內(nèi)容） 行列式是通過分析線行列式是通過分析線性方程組解的特點(diǎn)定義性方程組解的特點(diǎn)定義的對方程組系數(shù)（包括的對方程組系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)數(shù)值）的一種運(yùn)常數(shù)項(xiàng)數(shù)值）的一種運(yùn)算。算。(與乘法一

4、樣，它與乘法一樣，它是根據(jù)結(jié)果來定義規(guī)則是根據(jù)結(jié)果來定義規(guī)則)1 二階與三階行列式二階與三階行列式一、二元一次方程組與二階行列式一、二元一次方程組與二階行列式二、三元一次方程組與三階行列式二、三元一次方程組與三階行列式我們從最簡單的二元一次方程組出發(fā)，通過我們從最簡單的二元一次方程組出發(fā)，通過其求解公式，設(shè)法引入二階行列式其求解公式，設(shè)法引入二階行列式. .一、二元一、二元一次一次方程組與二階行列式方程組與二階行列式二元線性方程組二元線性方程組 NoImage由消元法，得由消元法，得NoImageNoImage當(dāng)當(dāng) 時，該方程組有唯一解時，該方程組有唯一解 NoImageNoImageNoIm

5、age11112212112222a xa xba xa xb 211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 求解公式為求解公式為NoImageNoImage二元線性方程組二元線性方程組 請觀察，此公式有何特點(diǎn)？請觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定.分子由常數(shù)項(xiàng)取代相應(yīng)未知數(shù)系數(shù)后的分子由常數(shù)項(xiàng)取代相應(yīng)未知數(shù)系數(shù)后的 四個系數(shù)確定四個系數(shù)確定.分子、分母都

6、是四個數(shù)分成兩對相乘再分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再 相減而得相減而得.11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 其求解公式為其求解公式為NoImageNoImage二元線性方程組二元線性方程組 我們引進(jìn)新的運(yùn)算符來表示我們引進(jìn)新的運(yùn)算符來表示“四四個數(shù)分成兩對相乘再相減個數(shù)分成兩對相乘再相減”. .NoImageNoImage記號記號 NoImage數(shù)表數(shù)表 = = 稱為由該稱為由該數(shù)表所確定的數(shù)表所確定的二階行列式二階行列式，即，即NoImage其中，其中，

7、 稱為稱為元素元素. .NoImagei 稱稱為為行標(biāo)行標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 稱稱為為列標(biāo)列標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原則：橫行豎列原則：橫行豎列11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 1112112212212122aaDa aa aaa 11122122aaaa11122122aaaa11 2212 21a aa a (1,2;1,2)ija ij 二階行列式二階行列式 NoImageNoImage主對角線上

8、兩元素之積副對角線上兩元素之積主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積 的對角線法則定義為：的對角線法則定義為：11122122aaaa11221221a aa a這個法則實(shí)際上就是數(shù)表中的四個數(shù)形成一個新數(shù)這個法則實(shí)際上就是數(shù)表中的四個數(shù)形成一個新數(shù)的構(gòu)造細(xì)節(jié)。的構(gòu)造細(xì)節(jié)。二元線性方程組二元線性方程組 NoImage若令若令 NoImageNoImageNoImage( (方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式) )則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為NoImageNoImage11112212112222a xa xba xa xb 11122122aaDaa 1

9、211222bbaDa 1221121baDab 1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 例例1 求解二元線性方程組求解二元線性方程組NoImage解解 因?yàn)橐驗(yàn)?NoImageNoImageNoImageNoImage所以所以 NoImageNoImage 1212232121xxxx1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D11142,7DxD222137DxD 二二、三三元元一次一次方程組與方程組與三三階行列式階行列式三元線性方程組三元線性方程組 NoImage

10、由加減消元法，由加減消元法，NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage定義定義 設(shè)有設(shè)有9個數(shù)排成個數(shù)排成3行行3列的數(shù)表列的數(shù)表原則：橫行豎列原則：橫行豎列引進(jìn)記號引進(jìn)記號稱為稱為三階行列式三階行列式. .NoImageNoImageNoImageNoImage主對角線主對角線 副對角線副對角線 二階行列式的對角線法則二階行列式的對角線法則并不適用！并不適用！111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a1112132122

11、23313233aaaaaaaaa由該解可以看出，三階行列式應(yīng)該定義為：由該解可以看出，三階行列式應(yīng)該定義為：定義三階行列式定義三階行列式的對角線法則為：的對角線法則為：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage主對角線及底邊平行主對角線的三角形主對角線及底邊平行主對角線的三角形( (實(shí)線實(shí)線) )上的三個元素的乘積冠正號，上的三個元素的乘積冠正號， 副對角線及底邊平行副對角線的三角形副對角線及底邊平行副對角線的三角形( (虛線虛線) )上的三個元素的乘積冠負(fù)號上的三個元素的乘積冠負(fù)號. .111213212223313233aaaDaa

12、aaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 可見：二階、三階行列式的對角線法則都是可見：二階、三階行列式的對角線法則都是歸納出來的。歸納出來的。NoImage例例2 計算行列式計算行列式 解解按對角線法則，有按對角線法則，有NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage12-4-221-34-2D D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 方程左端方程左端解解由由 得得NoImage例例3 求解方程求解方

13、程 NoImageNoImageNoImageNoImage2111230.49xx 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或四階行列式應(yīng)當(dāng)定義為四階行列式應(yīng)當(dāng)定義為可知可知NoImage通過通過求解四元一次求解四元一次 方程組方程組NoImageNoImageNoImageNoImage=顯然，對角線法則已經(jīng)不適于定義四階行列式，必須尋找新的規(guī)律。而且，這個規(guī)律最好能適于各階行列式，也就是說各階行列式最好能有統(tǒng)一的定義。這必須從足標(biāo)中尋找。2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)引例引例用用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)

14、數(shù)字的三位數(shù)？有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位3 3種放法種放法十位十位1231個位個位12 32 2種放法種放法1 1種放法種放法種放法種放法. .共有共有NoImage6123 問題問題 把把 n 個不同的元素排成一列，共有多少種不同的個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？排法？定義定義 把把 n 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素個元素的的全排列全排列. n 個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn 表示表示.NoImage顯然顯然 即即n 個不同的元素一共有個不同的元素一共有n! 種不同的排法種不

15、同的排法.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 所有所有6種不同的排法中，只有一種排法種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前數(shù)排在小的數(shù)之前. .因此大部分的排列都不是純粹的因此大部分的排列都不是純粹的“順順序序”，而是存在，而是存在“逆序逆序”. . 3個不同的元素一共有個不同的元素一共有3! =6種不同的排法種不同的排法123，132，213，231，312，32126對于對于n 個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)

16、次序.如：如：n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義定義 當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就稱這兩個元素組成一個就稱這兩個元素組成一個逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？答：答：2和和1，3和和1也構(gòu)成逆序也構(gòu)成逆序.定義定義 排列中所有元素逆序的總數(shù)稱為此排列的排列中所有元素逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)。排列排列 的逆序數(shù)通常記為的逆序數(shù)通常記為 . .NoImageNoI

17、mage奇排列：奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. .偶排列：偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. .思考題：思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？ 答：答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .1 2ni ii1 2()nt i ii計算排列的逆序數(shù)的方法計算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為則此排列的逆序數(shù)為NoImage設(shè)設(shè) 是是 1, 2, , n 這這n 個自然數(shù)的任一排列，并個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序規(guī)定由小到

18、大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 先看有多少個比先看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ；再看有多少個比再看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;最后看有多少個比最后看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage12ntttt 12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例例1：求排列求排列 32514 的逆序數(shù)的逆序數(shù).解：解：NoImage練習(xí)：練習(xí)：求排列求排列 453162 的逆序數(shù)的逆序數(shù).NoImage

19、解：解：(32514)010315t 9t 3 n 階行列式的定義階行列式的定義一、概念的引入一、概念的引入二、二、n n階行列式的定義階行列式的定義三、可根據(jù)定義計算的三、可根據(jù)定義計算的n n階行列式階行列式一、概念的引入一、概念的引入NoImageNoImageNoImage它有規(guī)律：它有規(guī)律：1.1.三階行列式共有三階行列式共有6項(xiàng)，即項(xiàng)，即3!項(xiàng)項(xiàng)2.2.每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個元素的乘積每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個元素的乘積3.3.每一項(xiàng)可以寫成每一項(xiàng)可以寫成 （正負(fù)號除外），其中（正負(fù)號除外），其中 是是1、2、3的某個排列的某個排列. .4.4.當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排

20、列時，對應(yīng)的項(xiàng)取時，對應(yīng)的項(xiàng)取正號正號； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取時，對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號負(fù)號. . NoImageNoImageNoImageNoImage111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a123123pppaaa123p p p123p p p123p p p對于三階行列式所以，三階行列式可以寫成所以，三階行列式可以寫成 NoImage其中其中 表示對表示對1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. NoImage二階、四階行列式有

21、類似規(guī)律二階、四階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形. NoImageNoImageNoImage123123123()123( 1)t p p ppppp p paaa 123p p p 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項(xiàng)項(xiàng)2.2.每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積個元素的乘積

22、3.3.每一項(xiàng)可以寫成每一項(xiàng)可以寫成 ( (正負(fù)號除外正負(fù)號除外) )，其中，其中 是是1, 2, , n 的某個排列的某個排列. .4.4.當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取時，對應(yīng)的項(xiàng)取正號正號； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時，對應(yīng)的項(xiàng)取時，對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號負(fù)號. . NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageD D簡記作簡記作 ，其中，其中 為行列式為行列式D的的( (i, j) )元元NoImageNoImage1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp

23、ppnnnnaaaaaaDaaaaaa det()ijaija定義：即： 注：n階行列式的這個定義是否成功，關(guān)鍵是看能否用這個定義來解n元線性方程組，也就是說能否用n階行列式把n元線性方程組的解表達(dá)出來?？巳R姆法則告訴我們n階行列式的這個定義是成功的。思考題：思考題： 成立成立嗎？嗎？答：答：符號符號 可以有兩種理解：可以有兩種理解：若理解成絕對值，則若理解成絕對值，則 ；若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . .NoImageNoImageNoImageNoImage注意：注意：當(dāng)當(dāng)n = 1時，一階行列式時，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與絕對值的記號相混淆絕對值

24、的記號相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . NoImage11 1 11 11 11 例：例：寫出四階行列式中含有因子寫出四階行列式中含有因子 a a1111a a2323 的項(xiàng)的項(xiàng). . 11233244a a a a 11233442.a a a a解：解：和和NoImageNoImage例：例：計算行列式計算行列式NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122

25、432323341424344000000aaaDaaaaaaa 三、可根據(jù)定義計算的三、可根據(jù)定義計算的n 階行列式階行列式解：解：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage其中其中 112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 NoImageNoImage111213142223243333444000000aaaaaa

26、aDaaa 對于根據(jù)定義，如果不考慮符號，它的所有項(xiàng)為其中p1p2p3p4為1、2、3、4的全排列，這些項(xiàng)可以寫為： 其中p2p3p41和 其中p2p3p42以及 其中p2p3p43 其中p2p3p44四個部分，后三個部分由于p2p3p4中含有1，所以對于本題其值均為0。第一部分可以寫為 其中p3p41、2 和其中p3p41、3以及 其中p3p41、4三個小部分，而后兩個小部分其值為0 ；。最后可得： 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112

27、23344a a a a NoImageNoImage四個結(jié)論：四個結(jié)論：(1) (1) 對角行列式對角行列式 NoImage(2) (2) NoImage12,11nnnaaDa 1122nnaaDa nnaaa2211 (1)212,11( 1)n nnnna aa NoImageNoImage(3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為（主對角線下側(cè)元素都為0 0）NoImage(4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為（主對角線上側(cè)元素都為0 0）NoImagennnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD0002

28、2211211 nnaaa2211 nnaaa2211 思考題：思考題：用定義計算行列式用定義計算行列式解：用樹圖分析解：用樹圖分析111 13 33 31 12 23 311222211NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage故故1130230021011210D12134）（22143）（32413）（42431）（491223D43思考題思考題已知已知 ，求，求 的系數(shù)的系數(shù). NoImageNoImage 1211123111211xxxxxf 3x故故 的系數(shù)為的系數(shù)為1.解解含含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即NoImageNoImage對應(yīng)于對應(yīng)于No

29、ImageNoImageNoImageNoImageNoImage3x 1211123111211xxxxxf 124311223443( 1)ta a a a (1234)11223344( 1)ta a a a (1234)311223344( 1),ta a a ax 1243311223443( 1)2ta a a ax 3xn階行列式|A|=|aij|中每個元素aij都乘以bi-j(b0)得行列式|B|。證明：|A|=|B|證：設(shè)|B|=|bij| 則： bij = bi-jaij 于是|B|= = = = =|A|根據(jù)定義根據(jù)定義n階行列式是對階行列式是對n!項(xiàng)項(xiàng)n個個元素的連乘積

30、求和，其計算復(fù)雜元素的連乘積求和，其計算復(fù)雜度為度為O(n!),這就是說當(dāng)這就是說當(dāng)n較大時，較大時，直接計算其值是不可行的。因此，直接計算其值是不可行的。因此，我們要討論我們要討論n階行列式的性質(zhì)，階行列式的性質(zhì)，通過性質(zhì)簡化其計算。下面一節(jié)通過性質(zhì)簡化其計算。下面一節(jié)是為討論性質(zhì)做的準(zhǔn)備工作。是為討論性質(zhì)做的準(zhǔn)備工作。4 對換對換一、對換的定義一、對換的定義二、對換與排列奇偶性的關(guān)系二、對換與排列奇偶性的關(guān)系NoImage一、對換的定義一、對換的定義定義定義 在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做不動，這種作出新排列的

31、手續(xù)叫做對換對換將相鄰兩個元素對換，叫做將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換相鄰對換例如例如 NoImageNoImageNoImage111lmnaabbcb ca11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb備注備注1.1. 相鄰對換是對換的特殊情形相鄰對換是對換的特殊情形. . 2.2. 一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實(shí)現(xiàn)一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實(shí)現(xiàn). . 3.3. 如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了. . m 次相鄰對換次相鄰對換 NoImageNoImageNoImagem+1次相鄰對換次

32、相鄰對換 m 次相鄰對換次相鄰對換 NoImageNoImagem+1次相鄰對換次相鄰對換 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbcbca111 lmnaabbca cb111 lmnaabbcacb111 lmnaabbcb ca二、對換與排列奇偶性的關(guān)系二、對換與排列奇偶性的關(guān)系定理定理1 1對換改變排列的奇偶性對換改變排列的奇偶性. . 證明證明先考慮相鄰對換的情形先考慮相鄰對換的情形 NoImageNoImageNoImageNoImage11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt NoImage

33、NoImageNoImageNoImage注意到除注意到除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變. .NoImage11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt ,a bNoImageNoImageNoImageNoImage當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， . . NoImage當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， . . NoImage因此相鄰對換改變排列的奇偶性因此相鄰對換改變排列的奇偶性. . NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage11 lma baabb11 lmb aaa

34、bb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt ab ab 1aart bbrt aart 1bbrt 1rt 1rt 既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么 2m+1次相鄰對換次相鄰對換因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變. .NoImageNoImage推論推論 奇排列奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)奇數(shù)， 偶排列偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶數(shù). . 由定理由定理1 1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次知，

35、對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列( (逆序數(shù)為零逆序數(shù)為零) )，因此可知推論，因此可知推論成立成立. .證明證明 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbca cbNoImage因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以所以 n 個元素相乘的次個元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列 與與 都同時作一次對換，即都同時作一次對換，即 與與 同同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇

36、偶性不變不變. . NoImageNoImageNoImageNoImage1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii于是于是 與與 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù). . 即即 是偶數(shù)是偶數(shù). . 因?yàn)閷Q改變排列的奇偶性，因?yàn)閷Q改變排列的奇偶性， 是奇數(shù)，是奇數(shù)， 也是奇數(shù)也是奇數(shù). . 設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 . . NoImageNoImageNoImageNoImage所以所以 是偶數(shù)，是偶數(shù)

37、， NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage因此，交換因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變. .NoImage設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為st s tss tt ()()sstt()()stst()st ()st 1 12 2,n ni ji ji jaaaNoImage經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此. . 所以，

38、所以，在一系列對換之后有在一系列對換之后有1 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 定理定理2 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 NoImage定理定理3 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 NoImage121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 例例1 試判斷試判斷 和和NoImageNoImage是否都是六階行列式中的項(xiàng)是否

39、都是六階行列式中的項(xiàng).解解下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為NoImageNoImage所以所以 是六階行列式中的項(xiàng)是六階行列式中的項(xiàng).NoImage 行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和NoImageNoImage所以所以 不是六階行列式中的項(xiàng)不是六階行列式中的項(xiàng).NoImage142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a 4312650122016t 142331425665a a a a a a142331425665a a a a a a(341526)(234156)538tt 324314512566a a a a a a 3243

40、14512566a a a a a a 例例2 用行列式的定義計算用行列式的定義計算 NoImage0001000200100000000nDnn NoImage解解NoImageNoImage 1221!nnnDn 1,12,21,11 1 1 21 1!tnnnnnnttDaaaannn 12212321122 tnnnnnnn 1. 對換改變排列奇偶性對換改變排列奇偶性2. 行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法三、小結(jié)三、小結(jié)NoImageNoImageNoImage121212()12( 1)nnnt p ppppnpp ppDaaa 121212()12( 1)nnnt p pp

41、ppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 5 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)NoImage行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. . NoImageNoImage若記若記 ，則，則 .NoImageNoImage記記性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, ,即即 .NoImageNoImage111212212212, nnnnnnaaaa

42、aaaaDa TDDdet(), det()TijijDaDb ijjiba TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa NoImage性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .證明證明根據(jù)行列式的定義，有根據(jù)行列式的定義，有若記若記 ，則，則NoImageNoImageNoImageNoImage行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,行列式的性質(zhì)凡是對行行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立成立的對列也同樣成立. .121212()12( 1)nnnt p ppTppnpp ppDbbb det(), det()T

43、ijijDaDb 1121221()2( 1)nnnppt p ppp ppp naaa D ijjiba 性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .驗(yàn)證驗(yàn)證于是于是NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 ，所以，所以 . NoImageNoImage備注：交換第備注：交換第 行（列）和第行（列）和第 行（列），記作行（列），記作 . .NoImageNoImageN

44、oImage175662358175358662196 196 175175662358358662 DD 0D ji()ijijrr cc性質(zhì)性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)倍數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘以此行列式乘以此行列式. .驗(yàn)證驗(yàn)證NoImageNoImageNoImage我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有根據(jù)三階行列式的對角線法則，有NoImage備注：第備注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，記作，記作 . .NoImageNoImageNoImagekk11121

45、3212223313233,aaaDaaaaaa 1112131212223313233kkaaaDaaaaaak ki()iirk ckNoImageNoImageNoImageNoImage推論推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面到行列式符號的外面?zhèn)渥ⅲ旱趥渥ⅲ旱?行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，記作，記作 . .NoImageNoImageNoImage1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()

46、()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk ki()iirk ckNoImage驗(yàn)證驗(yàn)證我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零式為零212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaa

47、aa性質(zhì)性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和, ,例如：例如：NoImage則則NoImage121222221113212331332323aaDaaabababaa 111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaaNoImageNoImageNoImageNoImage驗(yàn)證驗(yàn)證我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pab

48、aa 123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba 111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )對應(yīng)的元素上去，行列式不變對應(yīng)的元素上去，行列式不變則則NoImage驗(yàn)證驗(yàn)證NoImage我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 NoImage備注：以數(shù)備注：以數(shù) 乘第乘第 行（

49、列）加到第行（列）加到第 行（列）上，記作行（列）上，記作 . .NoImageNoImageNoImageNoImage1.DD 122211132123313323,aaDaaaaaaa 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa ki().ijijrkr ckc j例例NoImage二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為計算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值上三角形行列式，從而算得行列式的值NoImageNoImageNoImage2101044614753124025973313211

50、 Dijrkr 3 NoImageNoImageNoImage解解NoImage2101044614753124025973313211 D3 2101044614753124022010013211312 rrNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 4 NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage42rr 22200201001402

51、03512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 計算計

52、算 階行列式階行列式NoImageNoImage解解NoImageNoImage將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得NoImagenabbbbabbbbabbbbaD abbbnababbnabbabnabbbbna1111 Dn, 3 , 2NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 例例3 設(shè)設(shè) NoImageNoImageNoImageNoImage證明證明 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb

53、,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明NoImage對對 作運(yùn)算作運(yùn)算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 NoImageNoImageNoImage設(shè)為設(shè)為對對 作運(yùn)算作運(yùn)算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 NoImageNoImageNoImageNoImage設(shè)為設(shè)為1111110;kkkkkpDpppp1Dijrkr 1D2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp對對 D 的前的前 k 行作運(yùn)算行作運(yùn)算 ，再對后，再對后 n 列作運(yùn)算列作運(yùn)算 ，把把 D 化為下三

54、角形行列式化為下三角形行列式NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage故故,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq 12.D D ijrkr ijckc ( (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位), ), 凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立立. .注：注：行列式的行列式的6 6個性質(zhì)個性質(zhì)計算計算4 4階行列式階行列式 思考題思考題 NoImageNoImage11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1abcd 已已知知思考題解

55、答思考題解答解解NoImageNoImage111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa NoImageNoImageNoImagedddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 6 行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. .本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式階行列式. .它不僅在數(shù)值計算時非常實(shí)用，而且在理它不僅在數(shù)值計算時非常實(shí)用，而且在理論證

56、明時也非常有用。論證明時也非常有用。首先，我們來看三階行列式NoImageNoImageNoImageNoImage可見可見 三階行列式可以用二階行列式表示三階行列式可以用二階行列式表示. .那么那么 任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示呢？任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示呢？122331111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232123

57、111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa例如例如 NoImageNoImageNoImage把把 稱為元素稱為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式NoImageNoImage在在n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃后，列劃后，留下來的留下來的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作 . NoImageNoImageNoImageNoImageNoImage顯然顯然 因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式

58、中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式式. .11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 1ijijijAM ijaijijMijaija引理引理 一個一個n 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘與它的代數(shù)余子式的乘積，即積，即 NoImageNoImageNoImage例如例如 NoImageNoImageNoImageNoImag

59、eNoImageijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa iijaijaNoImage即有即有NoImage又又NoImage從而從而NoImage下面再討論一般情形下面再討論一般情形.分析分析 當(dāng)當(dāng) 位于第位于第1 1行第行第1 1列時列時, ,NoImage（根據(jù)（根據(jù)P.14例例10的結(jié)論）的結(jié)論）11212221200nnnnnaaaaDaaa 1111.

60、Da M 1 11111111,AMM 1111.Da A ijaNoImage我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . NoImageNoImageNoImage思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？NoImage11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa12111213142122232441424334442000( 1)rraaaaaaaaaaaaa1112131421222324414243434(3 14)