1、以解析函數(shù)的理論與方法研究平面電磁場余毅聰 2003年12月 復(fù)變函數(shù)和電磁學(xué)這兩門課中一些重要的公式是很相似的，本文試圖在一定的程度上發(fā)掘其中的聯(lián)系。主要想法主要內(nèi)容1 建立數(shù)學(xué)模型2 根據(jù)模型推算基本定理3 一些結(jié)論4 二維場的保形變換 二維場數(shù)學(xué)模型無窮長導(dǎo)線的磁場 如圖，將一根無窮長的直導(dǎo)線置于坐標(biāo)原點(diǎn)，方向為Z軸方向。于是易得(x,y)點(diǎn)處的磁場分量為： XYIr)(2)(2220220yxIxyxIyBByxB現(xiàn)把Y-X平面視為復(fù)平面， z=x+iy, 并令：222202)(yxixyxyIiBBzwwyx02)(iEEzwwyx同樣，對于電場，則有：在以下的討論中，視 為二維電荷

2、， 為二維磁荷。并統(tǒng)一以符號 表示。IqX以同樣的方式，可以建立二維的電場的數(shù)學(xué)模型。只需將無窮長帶電直線實(shí)為“二維電荷”YrE同樣，令：02)(iEEzwwyx高斯定理與環(huán)路定理注意到對于上面的兩種情況，都有 是解析的，因為Cauchy-Riemman方程得到足：ivuzww)(xvyuyvxu)(;)(取C為一條圍繞原點(diǎn)的簡單封閉曲線，如果原點(diǎn)處存在無限長的導(dǎo)線（或者帶電直線），則由留數(shù)定理可得：Cwsidzw0 ,Re2于是解析函數(shù)的理論與方法有了用武之地！2)(CCidydxivudzw比較實(shí)部虛部即得：CCvdxudyvdyudx0)(2)(下面分析上面二式的意義。(1)(2) 對于

3、圖重的曲線積分,積分微元是idydxl d于是,如果把w看作有兩個分量的矢量,可有vdyudxidydxivul dw)(即得:Cl dw2由20IwB 最后得到:CIl dB0l d對于磁場的情況上式即是我們熟悉的安培環(huán)路定理.而(2)式的意義又何在呢?注意到:udyvdxidydxivul diw)(如果我們定義:lidnd則可以得到:Cndw0l dnd 的幾何意義如圖所示.當(dāng)把曲線看成是無限長的柱面的截線時, 即是曲面的法向量.上式的意義即可理解為是二維平面的高斯定理.nd顯然,稍作推廣即可以得到:1. 對于磁場中的任意簡單封閉曲線C,有NiiCIl dB10CndB02對于電場的情況

4、,由于電場和磁場所對應(yīng)的w僅僅相差一個常數(shù)i, 所以情況完全類似,僅僅只需要將上面兩式的右邊交換即可.這里就不作過多的討論了.由解析的性質(zhì)得到的一些結(jié)論dzzzzfizfC)(21)(1磁場和電場(以下僅稱場)的分布由邊界決定.事實(shí)上,若w在邊界C上的值為已知,則對于區(qū)域內(nèi)部的一點(diǎn)Z,有即是可以由邊界上的函數(shù)值計算內(nèi)部的值.2 平均值公式.對于一個閉圓 如果其內(nèi)部沒有電流(或電荷),則場在圓心處的值,等于圓周上的平均值.Raz上式的依據(jù)是平均值公式Cdsfaf)(21)(圓心處實(shí)部和虛部的值對應(yīng)為圓周上的平均值,于是即有以上結(jié)論.事實(shí)上,泊松公式為我們提供了計算區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn)場值的方法:dRrr

5、RRreReRzfrezfiii2022)(2)cos(2)(21)( 3 如果平面區(qū)域中沒有電荷或者沒有磁荷,則場的最大值只能在區(qū)域的邊界上取到.4 平面場所有的電荷之和為0。5 如果穿過平面上有電荷： ,且滿足: 則平面上一定存在場強(qiáng)為0的點(diǎn).Nqqq,21021Nqqq證明: 射N根導(dǎo)線的坐標(biāo)的復(fù)數(shù)為: 容易得到這個場對應(yīng)的復(fù)函數(shù)w(z)為:Nzzz,21NNzzqzzqzzqzw2211)(NNzzqzzqzzqw2211為證明結(jié)論,只需要證明函數(shù)NNzzqzzqzzqzf2211)(在復(fù)平面上有非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的根即可.）（為了證明上式,需要用到的結(jié)論有:1大圓弧引理: 設(shè)f(z)在區(qū)域D

6、:zRzarg0 ,0)20(上連續(xù),且存在極限:Azzfz)(lim設(shè)C是位于D中的圓弧,半徑為R,則CRiAdzzf)(lim2 輻角原理: 設(shè)f(z)在閉路C的內(nèi)部可能有有限多個極點(diǎn),除去這些極點(diǎn)外, f(z)在C及其內(nèi)部解析,且在C上無零點(diǎn),則有:CPNzfzfi)()(21這里N,P分別為極點(diǎn)總數(shù)和零點(diǎn)總數(shù).有了上面的引理,下面證明 所表示的函數(shù)在復(fù)平面上定有非無窮遠(yuǎn)的根.事實(shí)上:）（NNNNzzqzzqzzqzzqzzqzzqzfzf22112222211)()()()()(在通分之后,分子的最高次為(2N-2)次,分母的最高次為(2N-1)次,系數(shù)均為:021Nqqq所以,成立:

7、1)()(limzfzfzz利用引理1即得到:CRidzzfzf2)()(lim再由引力理2,有:1 PN又:2 nP1N所以零點(diǎn)總是存在的!即平面上總是存在一點(diǎn)場強(qiáng)為零.對于 的情況,則是沒有一般結(jié)論. 021NIII如圖,如果蘭色代表正電,黃色代表負(fù)電,則在該場中是沒有電場為0的點(diǎn)的.而在下面的這張圖中,顯然正方形的中心的場強(qiáng)為0.磁場中情況完全類似,不再贅述.保形變換的應(yīng)用保形變換是二維空間所特有的，應(yīng)此利用保形變換處理平面的電磁場問題，一定會給我們帶來驚喜。為此，先建立一套體系：一個定義： 為這個平面場的“場函數(shù)” 為場函數(shù)的充分必要條件是它滿足高斯定理和安培環(huán)路定理，即是有：)()(

8、zwzG)(zGCqidzzG2)(場函數(shù)是這樣的函數(shù)，它在平面上存在場源的點(diǎn)的留數(shù)是電荷的值，其余點(diǎn)它取場的值的共軛為討論方便，一切常數(shù)假定為1。我們知道，一個保形變換將一個區(qū)域映照成為另一個區(qū)域，如果我們把區(qū)域上的每一個點(diǎn)都標(biāo)上該處的電荷（磁荷），那么保形變換就把一個場分布變換成為另一種場分布，稱作“場的保形變換”。( )ww z一個定理： 設(shè) 為 的一個場的保形變換，場函數(shù)：( )ww zDD 11( )( )( )G zG wzwz 事實(shí)上，邊界對應(yīng)定理保證了CCdzzwzwGdzzG) )()()(11即變換后得到的函數(shù)仍然滿足高斯定理和環(huán)路定理，即為新場的場函數(shù)。一個結(jié)論： 對于靜電平衡的導(dǎo)體，在經(jīng)過場的保形變換后仍靜電平衡。 容易驗證在經(jīng)過場的保形變換后，對于所給定的一個點(diǎn) 等勢線的輻角改變量和所對應(yīng)的場函數(shù)的輻角改變量皆是 仍然滿足靜電平衡的條件。( )zw z ( )w z得到一種新的求解電場的方法，舉例如下：( )ziw ziziq( )22( )( )()w w zqqqqG zG zzizziziziizii黎曼定理斷言，對于任意的區(qū)域（非