1、第一章第一章 矢量分析矢量分析(3)1標(biāo)量場標(biāo)量場:地形的高度，電容器內(nèi)部的點位，一杯熱水周圍的問題等地形的高度，電容器內(nèi)部的點位，一杯熱水周圍的問題等矢量場矢量場:地球的重力場，黑洞的引力場，靜電場，靜磁場，臺風(fēng)速度場地球的重力場，黑洞的引力場，靜電場，靜磁場，臺風(fēng)速度場穩(wěn)態(tài)場穩(wěn)態(tài)場:場值不隨時間變化。高度場，地球重力場，靜電場等等場值不隨時間變化。高度場，地球重力場，靜電場等等時變場時變場:場值隨時間變化。溫度場，電磁波，電離層電子濃度等場值隨時間變化。溫度場，電磁波，電離層電子濃度等標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度以下通過等高線來說明梯度的概念：以下通過等高線來說明梯度的概念：(1)等高線的概念

2、等高線的概念 地圖上所有相同高度的點連成的曲線為等高線，任意兩條等高線不可能相交。地圖上所有相同高度的點連成的曲線為等高線，任意兩條等高線不可能相交。電視劇電視劇 中李云龍對中李云龍對楚云飛吹噓：天生就看得楚云飛吹噓：天生就看得懂的地圖就是等高線地圖懂的地圖就是等高線地圖(2)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 從一條等高線從一條等高線(紅線紅線)到另外一條等高線到另外一條等高線(藍線藍線)的坡度的坡度由于兩條等高線分別為：由于兩條等高線分別為：0,fy zxu0, yuzf xu則坡度可以近似表示則坡度可以近似表示為為?tanul對于固定的對于固定的P P點，向不同方點，向不同方向行進，坡度顯然不一樣。向行進

3、，坡度顯然不一樣。即坡度即坡度( (方向系數(shù)方向系數(shù)) )與方向有與方向有關(guān)關(guān)第一章第一章 矢量分析矢量分析(3)2根據(jù)微分概念，顯然當(dāng)根據(jù)微分概念，顯然當(dāng)l盡可能小。盡可能小。不要和我說速度不要和我說速度的定義沒有學(xué)過的定義沒有學(xué)過?tanul0tanlimlududfldldl 不同的方向坡不同的方向坡度仍然不同度仍然不同設(shè)點設(shè)點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y,z)，Q點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為(x+dx,y+dy,z+dz)(3)計算方向?qū)?shù)計算方向?qū)?shù)222PQdldxdydztandff dxf dyf dzdlx dly dlz dl技巧技巧fffdxdydzxyzdldldl 常矢量常矢量與方

4、位有關(guān)與方位有關(guān)的矢量的矢量ABcoscoscosxyz1B tancoscosababA BA第一章第一章 矢量分析矢量分析(3)3tancoscosababA BAfffAxyzxyz(4)梯度的導(dǎo)出梯度的導(dǎo)出根據(jù)上式可以看到坡度根據(jù)上式可以看到坡度(方向?qū)?shù)方向?qū)?shù))是能夠取最大值的，即最陡方向。何時取最是能夠取最大值的，即最陡方向。何時取最大值？大值？maxtanAcos1abiff 標(biāo)量場標(biāo)量場f的的梯度定義梯度定義矢量微分算子，矢量微分算子，Del算子，算子，梯度算子，梯度算子， nabla算子算子xyzxyz (5)梯度的物理意義梯度的物理意義一個標(biāo)量場在某一點的梯度表明了該點的

5、最陡方向一個標(biāo)量場在某一點的梯度表明了該點的最陡方向(單位矢量單位矢量)及其陡峭程度及其陡峭程度(數(shù)值數(shù)值)(6)梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)一個標(biāo)量場的梯度是矢量一個標(biāo)量場的梯度是矢量一個標(biāo)量場某點的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影一個標(biāo)量場某點的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影某點的梯度垂直于過該點的等值面，其指向場值增加的方向某點的梯度垂直于過該點的等值面，其指向場值增加的方向第一章第一章 矢量分析矢量分析(3)4(7)圓柱坐標(biāo)系下梯度的計算式圓柱坐標(biāo)系下梯度的計算式1ffffzz (8)球坐標(biāo)系下梯度的計算式球坐標(biāo)系下梯度的計算式11sinffffrrrr (9)廣義坐標(biāo)下梯度的計算式廣義坐標(biāo)下梯

6、度的計算式111uvwffffuvwhuhvhw 第一章第一章 矢量分析矢量分析(3)5一個標(biāo)量場某點的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影一個標(biāo)量場某點的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影某點的梯度垂直于過該點的等值面，其指向場值增加的方向某點的梯度垂直于過該點的等值面，其指向場值增加的方向tancoscosababA BA證明證明(1)：其中其中a為梯度的方向，為梯度的方向，b為為“該方向該方向”單位矢單位矢量，故可得結(jié)論量，故可得結(jié)論證明：證明：(1)如果等高線的變化非常小，那么在非常小的局部區(qū)域，等高線是什么關(guān)系？如果等高線的變化非常小，那么在非常小的局部區(qū)域，等高線是什么關(guān)系？(2)梯度的數(shù)值

7、即為方向?qū)?shù)的最大值。梯度的數(shù)值即為方向?qū)?shù)的最大值。 要使方向?qū)?shù)最大，也就意味著所取方向為連接要使方向?qū)?shù)最大，也就意味著所取方向為連接P與另一條等位線上最與另一條等位線上最近點的方向，什么方向最小？近點的方向，什么方向最?。?uflP證明證明(2)：如圖所示：如圖所示：0ufnl 其他方向的方向?qū)?shù)：其他方向的方向?qū)?shù)：0101luulll0cosul0 un ml0unmlf m 第一章第一章 矢量分析矢量分析(3)6，證明：，證明：例題例題1:1:已知已知,Rxxxyyyzzz RR證明：證明：222Rxxyyzz(1).RRxx221 122xxRxxxxRxx(2)11.RxRx

8、2111RRxxRxRxRR (3) .f Rf Rxx 2f Rf Rf RRxxxRxR 2f Rf Rf RRxxxRxR .f Rf RxxRemember it forever!第一章第一章 矢量分析矢量分析(3)7例題例題2: 2: 求標(biāo)量場求標(biāo)量場23, ,6zfx y zx ye在點在點P(2,1,0)處的梯度。處的梯度。解：由于標(biāo)量場給出的是直角坐標(biāo)系下的表達式，因此它的梯度能夠直接使用直解：由于標(biāo)量場給出的是直角坐標(biāo)系下的表達式，因此它的梯度能夠直接使用直角坐標(biāo)系下的結(jié)果，即角坐標(biāo)系下的結(jié)果，即2323233226661218zzzzfx yexx yeyx yezxyzx

9、y xx y ye z 例題例題3: 3: 給出圓柱坐標(biāo)系下矢徑給出圓柱坐標(biāo)系下矢徑rzz的幅度梯度。的幅度梯度。解：矢徑解：矢徑r的幅度為的幅度為rr 22rrz2222zz2210z2222zzzzzz1ffffzz 第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)8矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 矢量場性質(zhì)：各點的場量是歲空間位置變化的矢量。如漩渦的力場矢量場性質(zhì)：各點的場量是歲空間位置變化的矢量。如漩渦的力場是直觀的例子。是直觀的例子。表達形式：表達形式： , ,FF x y z, , , ,xxyyzzFFx y zFFx y zFFx y zOrdrrdr F r矢量線的性質(zhì)：矢量線的性

10、質(zhì)：方向的定義：方向的定義： 矢量線上任何一點的切線方向矢量線上任何一點的切線方向數(shù)值的定義：數(shù)值的定義： 矢量線間的疏密程度定性表示矢量線間的疏密程度定性表示矢量線的交匯問題矢量線的交匯問題第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)9Ordrrdr F r矢量線方程：矢量線方程： 矢量線上任何一點的切線方向即為矢量場方向矢量線上任何一點的切線方向即為矢量場方向如圖若已知矢量場如圖若已知矢量場F的矢量線呈對應(yīng)關(guān)系的矢量線呈對應(yīng)關(guān)系曲線的切線方向為曲線的切線方向為drxdxydyzdz矢量場的方向為矢量場的方向為 xyzF rxFryFrzFr兩者方向一致，故可建立矢量線方程兩者方向一致，故可建立矢量

11、線方程 ?yxzFrFrFrdxdydz第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)10通量的定義通量的定義:簡單地說，就是通過一個曲簡單地說，就是通過一個曲(平平)面的矢量線數(shù)目。面的矢量線數(shù)目。通過每個小面元的數(shù)目發(fā)現(xiàn)通過每個小面元的數(shù)目發(fā)現(xiàn):方向有關(guān)方向有關(guān)面元大小有關(guān)，面元大小有關(guān)，如將線畫密一些，線密度也會增加。即與場強的大小數(shù)值有關(guān)，如將線畫密一些，線密度也會增加。即與場強的大小數(shù)值有關(guān)，第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)11通量的計算式通量的計算式: dSndS面元方向的定義：比較隨意，但是對于封閉面，通常取外法向面元方向的定義：比較隨意，但是對于封閉面，通常取外法向面元通量，可以定義

12、通量的表達形式面元通量，可以定義通量的表達形式dF dS 非面元通量，則：非面元通量，則：01liminiisMax dSiF dSF dS 將宏觀面元分解成非將宏觀面元分解成非常多的小面元，假設(shè)常多的小面元，假設(shè)每個面元上的矢量為每個面元上的矢量為恒量，這是數(shù)學(xué)中的恒量，這是數(shù)學(xué)中的微分思想，當(dāng)面元足微分思想，當(dāng)面元足夠小時，這時求和可夠小時，這時求和可以用積分來表示。以用積分來表示。SF dS 如果是閉合曲面，如果是閉合曲面，注意注意1、各種情況下表達式的不同，并關(guān)注閉合曲面的通量、各種情況下表達式的不同，并關(guān)注閉合曲面的通量2、如果一個封閉面的通量不為、如果一個封閉面的通量不為0，表明該

13、封閉面內(nèi)有通量源，表明該封閉面內(nèi)有通量源第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)12正電荷通量：正電荷通量： n封閉面通量大于封閉面通量大于0負電荷通量：負電荷通量：封閉面通量小于封閉面通量小于0 n思考：如果一個封閉面內(nèi)如果既有正電荷，又有負電荷，則通量將思考：如果一個封閉面內(nèi)如果既有正電荷，又有負電荷，則通量將會怎樣？會怎樣？第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)13散度概念的意義：散度概念的意義：通量：積分量，范圍比較大（宏觀），無法反映每一點的性質(zhì)。通量：積分量，范圍比較大（宏觀），無法反映每一點的性質(zhì)。梯度：微分值，范圍比較?。ㄎ⒂^），能夠反映每一點的性質(zhì)梯度：微分值，范圍比較小（微觀），

14、能夠反映每一點的性質(zhì)。散度：微分值，范圍比較?。ㄎ⒂^），能夠反映每一點的性質(zhì)。散度：微分值，范圍比較小（微觀），能夠反映每一點的性質(zhì)。散度定義：散度定義：封閉面通量封閉面通量SF dS為表示微觀特性，所為表示微觀特性，所取面積顯然不能很大取面積顯然不能很大0limSSF dS顯然該式的值為顯然該式的值為0，why？因此需要對該式除以因此需要對該式除以一個無窮小量，曲面一個無窮小量，曲面的面積和體積是個合的面積和體積是個合適的量，但顯然應(yīng)該適的量，但顯然應(yīng)該取體積，取體積，why？0limSVF dSV矢量場的散度矢量場的散度（通量體密度）（通量體密度）第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)140

15、00000000,xyzFxy zxFxy zyFxy zz微分思想：假設(shè)該立微分思想：假設(shè)該立(長長)方方體非常小，其邊長近似為體非常小，其邊長近似為0，則可以認為在每個面上的場則可以認為在每個面上的場量為常量。量為常量。以下來考慮通過前后兩個面上的通量：以下來考慮通過前后兩個面上的通量：“前前”面中心處場量為面中心處場量為:0002,F xxyz“前前”面通量近似為：面通量近似為： 0000000000002,2,2,2xxxxF xxyzSF xxyzx y zFxxFxFxyzyzyzxzy 散度計算式的推導(dǎo)：散度計算式的推導(dǎo)：第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)15以下來考慮通過前后

16、兩個面上的通量：以下來考慮通過前后兩個面上的通量：“前前”面通量近似為：面通量近似為：000,2xxFxFxyzy zx 同理，同理，“后后”面通量近似為：面通量近似為： 000000000000,2,2,2,2,xxxxF xxyzSF xxyzx y zFxFxFxyxyzzxyy zz 故前后兩面的通量為：故前后兩面的通量為：xFx y zx 左右兩面的通量為：左右兩面的通量為：yFx y zy 上下兩面的通量為：上下兩面的通量為：zFx y zz yxzSFFFx y zxyF dSz 0limSVF dSVyxzFFFxyz第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)16yxzFFFxyzx

17、yzxyz xyzFxFyFzFF (散度的計算式，同時也可以散度的計算式，同時也可以算是散度的定義式算是散度的定義式)圓柱坐標(biāo)系的散度計算式：圓柱坐標(biāo)系的散度計算式：11zFFFFz球坐標(biāo)系的散度計算式：球坐標(biāo)系的散度計算式：22111sinsinsinrFFr FFrrrr第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)17yxzFFFFxyz散度的物理意義：散度的物理意義：圍繞點圍繞點p作足夠小的球面，通過計算矢量場在點作足夠小的球面，通過計算矢量場在點p的散度可以得到的散度可以得到矢量場向外的凈流量矢量場向外的凈流量凈流量的大小和球面內(nèi)部的源有關(guān)凈流量的大小和球面內(nèi)部的源有關(guān)凈流量為正，則內(nèi)部的發(fā)

18、散源凈流量為正，則內(nèi)部的發(fā)散源凈流量為負，則內(nèi)部為收縮源凈流量為負，則內(nèi)部為收縮源凈流量為零，則表明內(nèi)部無散度源凈流量為零，則表明內(nèi)部無散度源(凈源為凈源為0)注意：注意：凈流量為零未必表明內(nèi)部無源，例如漩渦凈流量為零未必表明內(nèi)部無源，例如漩渦0F0F0F第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)18證明：在直角坐標(biāo)中，空間位置矢量的表達式為證明：在直角坐標(biāo)中，空間位置矢量的表達式為rxxyyzz根據(jù)散度計算式，可以得到其散度為根據(jù)散度計算式，可以得到其散度為3xyzrxyz在在Maxwell方程中，經(jīng)常需要用到宏觀方程，因此需要考慮散度的方程中，經(jīng)常需要用到宏觀方程，因此需要考慮散度的宏觀形式，即

19、：宏觀形式，即：?VFdV散度定律散度定律第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)19散度定律：矢量分析重要定律之一散度定律：矢量分析重要定律之一(需熟練需熟練)max0limiiiiiVSVFdVFVF dS考慮如圖相鄰兩個面考慮如圖相鄰兩個面(體體)元元S1和和S2，其公共面設(shè)為，其公共面設(shè)為S。在考慮左邊體積元面元通量時，該面元的單位矢量如紅箭頭所示在考慮左邊體積元面元通量時，該面元的單位矢量如紅箭頭所示而考慮右邊體積元面元通量時，該面元的單位矢量如蘭箭頭所示而考慮右邊體積元面元通量時，該面元的單位矢量如蘭箭頭所示即面元即面元S在散度求和過程中被利用了兩次，計算過程中場量在散度求和過程中被利

20、用了兩次，計算過程中場量F沒有沒有變化，而兩次計算的面元單位矢量相反，故該面元的通量對通量累變化，而兩次計算的面元單位矢量相反，故該面元的通量對通量累加沒有作用。加沒有作用。進一步說，凡是在累加過程中，面元被采用兩次的都存在這個問進一步說，凡是在累加過程中，面元被采用兩次的都存在這個問題，這種面元也只能位于體積的內(nèi)部。而表面面元由于只存在一個題，這種面元也只能位于體積的內(nèi)部。而表面面元由于只存在一個體積元中，故被保留下來。體積元中，故被保留下來。所以最終有：所以最終有：iiiSSF dSF dSVSFdVF dS第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)20解：該區(qū)域存在解：該區(qū)域存在5個表面，分別

21、對應(yīng)個表面，分別對應(yīng)dS1,dS2,dS3,dS4,dS5 110,ydSdxdzy 13210036SxzD dSyz dxdz 220,xdSdydzx 232220030SyzD dSx dydz 333,3dSd dz3223003SzD dSD d dz 2cossin3cos3sinxyDDDxyz同時在面同時在面dS3上有上有3cos ,3sinxy第一章第一章 矢量分析矢量分析(4)21代入整理得：代入整理得：33156.41SD dS 442,zdSd d z 432400cos633.41xSD dSxd d 550,zdSd d z 5cos325009SxD dSx d

22、 d 故故60156.4133.419192.82SD dS 而而66Dx322000322000666 cos6192.82VDdVxd d dzd d dz 第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)22矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度 CF dl 環(huán)流：矢量場環(huán)流：矢量場F沿場中的一條閉合路徑沿場中的一條閉合路徑C的曲線積分稱為矢量場的曲線積分稱為矢量場F沿沿閉合路徑閉合路徑C的環(huán)路。簡而言之，即環(huán)路積分。的環(huán)路。簡而言之，即環(huán)路積分。環(huán)流也是與源有關(guān)的量，如環(huán)流也是與源有關(guān)的量，如 則表明環(huán)路內(nèi)含有源，但是這種則表明環(huán)路內(nèi)含有源，但是這種源產(chǎn)生的場是一種類似漩渦的場，與電荷產(chǎn)生的場有明顯

23、的不同。源產(chǎn)生的場是一種類似漩渦的場，與電荷產(chǎn)生的場有明顯的不同。 0 由于積分路徑與場由于積分路徑與場F始終一致，故該積分必始終一致，故該積分必不為不為0但是有意思的是，這種場的散度卻必為但是有意思的是，這種場的散度卻必為0這種矢量線不發(fā)散，也不匯聚，產(chǎn)生這種這種矢量線不發(fā)散，也不匯聚，產(chǎn)生這種矢量線的源稱為漩渦源矢量線的源稱為漩渦源第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)23CF dl 同樣，這個積分也是宏觀量的積分，如何考察空間點的場量特性？同樣，這個積分也是宏觀量的積分，如何考察空間點的場量特性？CF dl 0limCCF dl該積分顯然為該積分顯然為00limCCF dlA0limCCF

24、 dlS環(huán)環(huán) 流流 面面 密密 度度注意：環(huán)流面密度顯然與注意：環(huán)流面密度顯然與S的方向有關(guān)，為何顯然？的方向有關(guān)，為何顯然？第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)24環(huán)流面密度顯然與環(huán)流面密度顯然與S的方向有關(guān)的方向有關(guān)(以一特例說明以一特例說明)簡圖說明：簡圖說明：矢量場為矢量場為方向場，且為常數(shù)方向場，且為常數(shù)S1為圓形回路為圓形回路C1圍成面積圍成面積S2為橢圓形回路為橢圓形回路C2圍成面積圍成面積S1為為S2在水平方向投影在水平方向投影結(jié)論：結(jié)論：在上述條件下，有在上述條件下，有12CCF dlF dl但是顯然兩個環(huán)路所圍成的面積并不相等，因此兩者的環(huán)流面密度但是顯然兩個環(huán)路所圍成的面

25、積并不相等，因此兩者的環(huán)流面密度并不相等。并不相等。第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)25由于矢量場在某點的環(huán)流面密度與面元方向由于矢量場在某點的環(huán)流面密度與面元方向(以法線方向記以法線方向記)有關(guān)，有關(guān)，因此一個給定點處沿不同方向，它的環(huán)流面密度并不相同，但是總因此一個給定點處沿不同方向，它的環(huán)流面密度并不相同，但是總存在一個最大的環(huán)流面密度。存在一個最大的環(huán)流面密度。仍然以上圖為例，顯然由于環(huán)路積分相仍然以上圖為例，顯然由于環(huán)路積分相同，相比而言面積小的環(huán)流面密度較大，同，相比而言面積小的環(huán)流面密度較大，因此環(huán)路因此環(huán)路C1(S1)的環(huán)流面密度大于的環(huán)流面密度大于C2(S2)的。的。同樣

26、可以看到在該點處同樣可以看到在該點處S1的面積總是最的面積總是最小，所以環(huán)流其面密度必然最大。小，所以環(huán)流其面密度必然最大。旋度的定義：旋度的定義：方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，大小等于該環(huán)方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，大小等于該環(huán)流面密度最大值，記為流面密度最大值，記為rotF。旋度的表達式：旋度的表達式：0max limcSF dlrotFnS 第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)26旋度的性質(zhì)：旋度的性質(zhì)：1. nrot Fn rotF在在n方向的環(huán)方向的環(huán)流面密度流面密度cF dlnScF dlScoscoscccF dlF dlF dln nSSS2.

27、 空間某點旋度垂直于該點矢量場的方向空間某點旋度垂直于該點矢量場的方向證明：略證明：略(從圖中即可得到從圖中即可得到)3. 考慮旋度時，其面元考慮旋度時，其面元S方向垂直于矢量場方向，或者閉合回路方向垂直于矢量場方向，或者閉合回路C和和矢量場方向一致矢量場方向一致同樣說明，旋度的數(shù)值是最大的環(huán)流面密度。同樣說明，旋度的數(shù)值是最大的環(huán)流面密度。第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)27xrot Fx rotF旋度計算式：旋度計算式：預(yù)備知識：預(yù)備知識：,xyzAA x AA y AA zxyzAA xA yA zxyzrotFrot Fxrot Fyrot Fzzrot Fz rotFyrot F

28、y rotF因此，通過求解某點因此，通過求解某點x，y和和z方向的環(huán)流面密度，可得旋度的計算方向的環(huán)流面密度，可得旋度的計算式。根據(jù)環(huán)流面密度的定義有：式。根據(jù)環(huán)流面密度的定義有：0limxcxsxF dlrot FS通過計算上式，即可求解出環(huán)流面密度及旋度。通過計算上式，即可求解出環(huán)流面密度及旋度。第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)280limxcxsxF dlrot FS說明：說明：y,z足夠小，路徑足夠小，路徑1,2,3,4上的場量可上的場量可以看作均勻以看作均勻點點M位于閉合環(huán)路的正中位于閉合環(huán)路的正中矢量場矢量場F在在M點為點為F(x0,y0,z0)，投影到，投影到各分量分別為各分

29、量分別為Fx,Fy,Fz環(huán)路圍成面積為環(huán)路圍成面積為yz，方向為，方向為x正向正向第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)29積分線路積分線路1：1000,2yzCFxy zy 積分線路積分線路2：2000,2zyCFxyzz 積分線路積分線路3：3000,2yzCFxyzy積分線路積分線路4：4000,2zyCFxyzz+000000000000000000000000,2222,2222yzyzzzyyzyzyFxyzyFxyzzFxyzyFxyzzyyzzFxyzFxyzzFxyzFxyzy 根據(jù)偏微分根據(jù)偏微分(微微分）定義分）定義zFyyyFzzyyzzFFFFy zz yy zyzyz

30、 第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)30yyzzFFFFy zz yz yyzyz 故積分環(huán)路為：故積分環(huán)路為：0limxcxsxF dlrot FS0limxyzcxsxF dlrFzot FSFy同理：同理：xyzrFFzFxotyzxrFFxFyotxyzrotFrot Fxrot Fyrot FzyyxxzzFFFFFFrotFxyzyzzxxyxyzxyzxyzFFFrotFF 旋度的計算式旋度的計算式兼定義式兼定義式第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)31圓柱坐標(biāo)系下的旋度計算：圓柱坐標(biāo)系下的旋度計算：1zzFzFFF 球坐標(biāo)系下的旋度計算：球坐標(biāo)系下的旋度計算：2sin1sin

31、sinrrrrFrrFrFrF 例：如果標(biāo)量函數(shù)例：如果標(biāo)量函數(shù)f(x,y,z)為連續(xù)可微函數(shù)，證明：為連續(xù)可微函數(shù)，證明：0f 證明：證明：ffffxyzxyz 0 xyzfxyzfxfyfz 結(jié)論非結(jié)論非常常 有用有用注：另外重要恒等式注：另外重要恒等式0F 第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)32旋度定理：矢量分析的重要定理之一旋度定理：矢量分析的重要定理之一(需熟練需熟練)證明：證明：SCFdSF dliiiiiSiCiiiiiiCFdSFnSF dlFnSSSF dl由于有相鄰邊界的線元在累加過程由于有相鄰邊界的線元在累加過程中會進行計算兩次，而兩次的取向中會進行計算兩次，而兩次的取

32、向相反，故被抵消，最后只剩下位于相反，故被抵消，最后只剩下位于邊界處的線元積分，即可得到上述邊界處的線元積分，即可得到上述結(jié)論。結(jié)論。第一章第一章 矢量分析矢量分析(5)33解：解：23Fyz 由于面元均為由于面元均為r方向，故求解面積方向，故求解面積分只需要考慮旋度的分只需要考慮旋度的r方向即可方向即可2sinsin3cosrF 22002sinsin3cos4sin12rSFdSd d 而環(huán)路而環(huán)路C的方向為的方向為方向，故考慮矢量場的方向，故考慮矢量場的方向即可方向即可25 sin32 cosFzx 代入：代入：0z 2cosx2dld則則25sin6cos2cosF 2205sin6c

33、os2cos212ccF dlFdld驗證完畢！驗證完畢！第一章第一章 矢量分析矢量分析(6)34對梯度，散度和旋度的理解：對梯度，散度和旋度的理解：對于標(biāo)量場，由于比較簡單，在已知場值后，進一步了解其最陡對于標(biāo)量場，由于比較簡單，在已知場值后，進一步了解其最陡方向即可。方向即可。對于矢量場，由于場值一方面有場的大小還有場的方向，故需要對于矢量場，由于場值一方面有場的大小還有場的方向，故需要用散度和旋度來用散度和旋度來“探測探測”場的方向特性。場的方向特性。對于散度和旋度，可以理解成電路中的對于散度和旋度，可以理解成電路中的“電流表電流表”和和“電壓表電壓表”的作用的作用散度和旋度是相互獨立的

34、算子，僅僅靠散度或者旋度無法確定一散度和旋度是相互獨立的算子，僅僅靠散度或者旋度無法確定一個場的情況。個場的情況。第一章第一章 矢量分析矢量分析(6)35根據(jù)場的散度和旋度特點，可以將場分為四大類：根據(jù)場的散度和旋度特點，可以將場分為四大類：(1)0;0FFFf 20fLaplaces Equation求解求解f求解矢量場求解矢量場紅圈表示的有源區(qū)域，在紅圈表示的有源區(qū)域，在無源區(qū)域無源區(qū)域的場為第一類場的場為第一類場第一類場的典型代表是無源區(qū)域的靜電場和靜磁場第一類場的典型代表是無源區(qū)域的靜電場和靜磁場第一章第一章 矢量分析矢量分析(6)36(2)0;0FFFf 2f PoissonsEqu

35、ation求解求解f求解矢量場求解矢量場紅圈表示的有源區(qū)域，在紅圈表示的有源區(qū)域，在有源區(qū)域有源區(qū)域的場為第二類場的場為第二類場第二類場的典型代表為有源區(qū)域的靜電場第二類場的典型代表為有源區(qū)域的靜電場第一章第一章 矢量分析矢量分析(6)37(3)0;0FFFAAJ第三類場的典型代表為有源區(qū)域的靜磁場第三類場的典型代表為有源區(qū)域的靜磁場0A2AAA 2AJ Poissons vector Equation求解求解A求解矢量場求解矢量場第一章第一章 矢量分析矢量分析(6)38(4)0;0FFFGH0;0GG0;0HHGf HA FAf時變電磁場屬于該類型。時變電磁場屬于該類型。第一章第一章 矢量分析矢