1、3 復(fù)化求積復(fù)化求積 /* Composite Quadrature */Havent we had enough formulae? Whats up now?Oh come on, you dont seriously consider h=(b a)/2 acceptable, do you?Why cant you simply refine the partition if you have to be so picky?Dont you forget the oscillatory nature of high-degree polynomials!Uh-oh高次插值有高次插值有R

2、unge 現(xiàn)象現(xiàn)象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 復(fù)化復(fù)化求積公式。求積公式。 復(fù)化梯形公式：復(fù)化梯形公式：),., 0(,nkhkaxnabhk 在每個(gè)在每個(gè) 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk /*中值定理中值定理*/ 3 Composite Quadrat

3、ure 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444121101( ) ( )4()2()( )6nnbkkakkhf x dxf af xf xf b= Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：注：為方便編程，可采用另一記法：令為方便編程，可采用另一記法：令 n = 2n 為偶數(shù)，為偶數(shù)， 這時(shí)這時(shí) ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhSn例例 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù) ，利用下表計(jì)算積分，利用下表計(jì)

4、算積分xxxfsin)( dxxxI 10sin0.84147090.84147090.87719250.87719250.90885160.90885160.93615560.93615560.95885100.95885100.97672670.97672670.98961580.98961580.99739780.9973978x)(xf08/14/14/38/52/18/38/711 解解 將積分區(qū)間將積分區(qū)間00，11劃分為劃分為8 8等份，等份， 應(yīng)用應(yīng)用復(fù)化梯形法求得復(fù)化梯形法求得945609.08 T 將區(qū)間將區(qū)間00，11劃分為劃分為4 4等份，應(yīng)用復(fù)化辛普等份，應(yīng)用復(fù)化辛普

5、森法求得森法求得9460832. 04 S 兩種算法計(jì)算量基本相同，但精度卻差別兩種算法計(jì)算量基本相同，但精度卻差別很大，同準(zhǔn)確值很大，同準(zhǔn)確值 比較復(fù)化梯形比較復(fù)化梯形法的結(jié)果只有兩位有效數(shù)字，而復(fù)化辛普森法法的結(jié)果只有兩位有效數(shù)字，而復(fù)化辛普森法的結(jié)果有六位有效數(shù)字。的結(jié)果有六位有效數(shù)字。9460831. 0 I3 Composite Quadrature解：解：。xxexfxfexf )()( ,)()4( 42102112 hefRN在區(qū)間在區(qū)間00，11上，上， )( maxxfexf )(max)4(例例 分別用復(fù)化梯形公式與復(fù)化辛普森公式計(jì)算積分分別用復(fù)化梯形公式與復(fù)化辛普森公式

6、計(jì)算積分 的近似值，要求其截?cái)嗾`差小于等于的近似值，要求其截?cái)嗾`差小于等于 ，問各需取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)問各需取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)? ?dxeIx 1041021 由此得：由此得： ，取，取 ，則，則 需取需取 個(gè)節(jié)點(diǎn)。個(gè)節(jié)點(diǎn)。0149. 0 h0148. 0 h6 .67 N691 N 4410212880 hefRN用復(fù)化辛普森公式，有用復(fù)化辛普森公式，有則則由此可知由此可知 ，取，取 ，則只需，則只需4798. 0 h085. 21 hN3 N取取 個(gè)節(jié)點(diǎn)。個(gè)節(jié)點(diǎn)。712 N3 Composite Quadrature用復(fù)化梯形公式求積時(shí)，有用復(fù)化梯形公式求積時(shí)，有3 Composite Quadrat

7、ure 收斂速度與誤差估計(jì)：收斂速度與誤差估計(jì)：定義定義 若一個(gè)積分公式的誤差滿足若一個(gè)積分公式的誤差滿足 且且C 0，則，則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。 ChfRphlim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn例：例：計(jì)算計(jì)算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502運(yùn)算量基本運(yùn)算量基本相同相同3 Composite QuadratureQ: 給定精度給定精度 ，如何取，如何取 n

8、 ?例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？ |nTI)()(122 fabhfR ? nkkhfh12)(12 )()(12)(1222afbfhdxxfhba 上例中若要求上例中若要求 ，則，則610| nTI622106| )0() 1 (|12| | hffhfRn00244949.0 h即：取即：取 n = 409通常采取將區(qū)間通常采取將區(qū)間不斷對(duì)分不斷對(duì)分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 時(shí)，時(shí)，T512 = 3.14159202S4 = 3.141592502注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)412fRfRnn 412

9、 nnTITI)(3122nnnTTTI 可用來判斷計(jì)算可用來判斷計(jì)算是否停止。是否停止。 具體方法如下：用具體方法如下：用 作為作為 的近似值，則截?cái)嗾`差為的近似值，則截?cái)嗾`差為 。那么由。那么由 與與 來估計(jì)誤差，來估計(jì)誤差，nT2I nnTT 231若：若：（ 為計(jì)算結(jié)果的允許誤差），則停止計(jì)算，并取為計(jì)算結(jié)果的允許誤差），則停止計(jì)算，并取 作為積作為積分的近似值；分的近似值；nT2 32 nnTT是否滿足是否滿足否則將區(qū)間再次分半后算出否則將區(qū)間再次分半后算出 ，并檢驗(yàn)不，并檢驗(yàn)不nT4 nnTT24等式等式 將區(qū)間逐次分半進(jìn)行計(jì)算（每分一次就進(jìn)行一次計(jì)算），將區(qū)間逐次分半進(jìn)行計(jì)算（每

10、分一次就進(jìn)行一次計(jì)算），可以用可以用 與與 來估計(jì)誤差，利用前后兩次計(jì)算結(jié)果來判斷誤差來估計(jì)誤差，利用前后兩次計(jì)算結(jié)果來判斷誤差的大小的方法，我們通常稱作誤差的的大小的方法，我們通常稱作誤差的事后估計(jì)法事后估計(jì)法。nT2nT3 Composite Quadrature類似推導(dǎo)，還可得下列結(jié)論：類似推導(dǎo)，還可得下列結(jié)論：61021524 SS故故 是滿足精度要求的近似解。是滿足精度要求的近似解。9460833. 04 S解解 可先算出可先算出 ，然后將區(qū)間分半（即二等，然后將區(qū)間分半（即二等分），并計(jì)算分），并計(jì)算 ，顯然，顯然 不合要求，故再次將不合要求，故再次將區(qū)間分半（即四等分），并計(jì)算區(qū)

11、間分半（即四等分），并計(jì)算 ，因?yàn)椋驗(yàn)?9461459. 01 S9460869. 02 S2S9460833. 04 S)(141)(15122222nnnnnnSSSSSSI 對(duì)于柯特斯公式，若對(duì)于柯特斯公式，若 在在 a，b 上連續(xù)且變化不大，有上連續(xù)且變化不大，有)()6(xf)(141)(63123222nnnnnnCCCCCCI 對(duì)于辛普森公式，若對(duì)于辛普森公式，若 在在 a，b 上連續(xù)且變化不大，有上連續(xù)且變化不大，有)()4(xfu例例 若要求用辛普森方法計(jì)算積分若要求用辛普森方法計(jì)算積分 的近似值，的近似值， 使誤差不超過使誤差不超過 。（。（I=0.9460831）dxx

12、xI 10sin61021 3 Composite Quadrature4 4龍貝格（龍貝格（Romberg）算法）算法 將積分區(qū)間將積分區(qū)間a,b n等分，則一共有等分，則一共有n+1個(gè)分點(diǎn)，按梯形公個(gè)分點(diǎn)，按梯形公式計(jì)算的近似值式計(jì)算的近似值 。將求積區(qū)間再二分一次，則分點(diǎn)增至。將求積區(qū)間再二分一次，則分點(diǎn)增至2n+1個(gè)，其中老分點(diǎn)個(gè)，其中老分點(diǎn)n+1個(gè)，個(gè)，nT為避免計(jì)算中的重復(fù)，為避免計(jì)算中的重復(fù)， 的式子改造如下：的式子改造如下：nT2 nknnnabkafnabTT122)12(2212121 ( )2()( )42nnkbabaTf af akf bnn注意到分點(diǎn)注意到分點(diǎn))12

13、 , 2 , 1(2 nknabkaxk1211 ( )2(2)( )42 2(21)2nnknkbabaTf af akf bnnbaf akn 梯形法的遞推化梯形法的遞推化 公式表明，只要算出新增加的公式表明，只要算出新增加的 個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，就可以求出個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，就可以求出 與直接用梯形公式求與直接用梯形公式求 相比較，相比較，計(jì)算工作量幾乎節(jié)省了一半。計(jì)算工作量幾乎節(jié)省了一半。nnT2nT2利用公式在電子計(jì)算機(jī)上求積分的計(jì)算步驟如下：利用公式在電子計(jì)算機(jī)上求積分的計(jì)算步驟如下：為了便于編制程序，通常將積分區(qū)間為了便于編制程序，通常將積分區(qū)間 的等分?jǐn)?shù)依次的等分?jǐn)?shù)依次取取 ，并將遞推

14、式改寫成，并將遞推式改寫成,ba,24 ,22 ,21210 )()(21bfafabT 1121222)12(221kkkikkabiafabTT （1 1）計(jì)算初值）計(jì)算初值1T（2 2）1KkT2（3 3）計(jì)算新的梯形值）計(jì)算新的梯形值（4 4）精度控制：若）精度控制：若 ，則停止計(jì)算，并輸出，則停止計(jì)算，并輸出 作為積分的近似值；否則作為積分的近似值；否則k k k k+1+1，并轉(zhuǎn)第（，并轉(zhuǎn)第（3 3）步繼）步繼續(xù)計(jì)算（其中續(xù)計(jì)算（其中 根據(jù)問題的精度要求確定）。根據(jù)問題的精度要求確定）。 1223kkTTkT24 Romberg Integration解解： 定義定義 由梯形公式得

15、由梯形公式得,8414709. 0)1(, 1)0( ff.9397933. 0)21(212112 fTT,9588510. 0)21( fn例例 利用梯形公式計(jì)算積分利用梯形公式計(jì)算積分 ，使誤差不過，使誤差不過 。dxxxI 10sin61021 .9207355. 0)1()0(211 ffT利用遞推式有利用遞推式有進(jìn)一步二分求積區(qū)間，新分點(diǎn)的函數(shù)值為進(jìn)一步二分求積區(qū)間，新分點(diǎn)的函數(shù)值為 則有則有,9896158. 0)41( f,9088516. 0)43( f.9445135. 0)43()41(412124 ffTT繼續(xù)二分下去，繼續(xù)二分下去， 有：有： 9460815. 012

16、827 TT9460827. 025628 TT6221021378 TT因因9460827. 0sin8210 Tdxxx故取故取4 Romberg Integration計(jì)算了129個(gè)點(diǎn)上的值已知對(duì)于已知對(duì)于 = 0.510 6 須將區(qū)間對(duì)分須將區(qū)間對(duì)分7 次，得到次，得到 T128 = 0.9460827由由 來計(jì)算來計(jì)算 I 效果是否好些？效果是否好些？nnnnTTTTI313414422 考察考察412 nnTITI483134TT = 0.9460833= S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 序列序列 梯形法

17、計(jì)算簡(jiǎn)單但收斂慢，如何提高收斂速度是本節(jié)梯形法計(jì)算簡(jiǎn)單但收斂慢，如何提高收斂速度是本節(jié)討論的討論的中心問題中心問題。Romberg算法算法 計(jì)算了9個(gè)點(diǎn)上的值4 Romberg Integration)(3122nnnTTTI 4 Romberg Integration 理查德森理查德森外推法外推法 /* Richardsons extrapolation */利用利用低低階公式產(chǎn)生階公式產(chǎn)生高高精度的結(jié)果。精度的結(jié)果。設(shè)對(duì)于某一設(shè)對(duì)于某一 h 0，有公式，有公式 T0(h) 近似計(jì)算某一未知值近似計(jì)算某一未知值 I。由。由Taylor展開得到：展開得到： T0(h) I = 1 h + 2

18、h2 + 3 h3 + i 與與 h 無關(guān)無關(guān)現(xiàn)將現(xiàn)將 h 對(duì)分，得：對(duì)分，得： .)(3232222120 hhhhIT Q：如何將公式精度由如何將公式精度由 O(h) 提高到提高到 O(h2) ？.432112)()(23322020 hhIhTTh 即：即：.12)()(2)(32210201 hhIhTThTh .)(42312 hhIhT 12)()(221212 hTTh.)(2211 mmmhhIhT 12)()(2121 mmhmmhTT ， 624113)()2(4hhIhThThT ,)(24221 llhahahaIhT 其中系數(shù)其中系數(shù) 與與h 無關(guān)無關(guān) 。),2,1(

19、 lla定理表明定理表明 是是 階，若用階，若用h/2代替代替h, ,有有IhT )()(2hO,)2(164224221 llhahahaIhT再做變換，得再做變換，得 設(shè)設(shè) , ,則有則有,)(baCxf 定理定理4 Romberg Integration這里這里 以及后面出現(xiàn)的以及后面出現(xiàn)的 均為與均為與h無關(guān)的系數(shù)，這樣構(gòu)造無關(guān)的系數(shù)，這樣構(gòu)造k kkr ,的的 與積分值與積分值 近似的階為近似的階為 。)(1hTI)(4hO則又可進(jìn)一步從余項(xiàng)展開式中消去則又可進(jìn)一步從余項(xiàng)展開式中消去 的項(xiàng)，而有的項(xiàng)，而有4h 82612)(hrhrIhT這樣構(gòu)造出的這樣構(gòu)造出的 ，其實(shí)就是，其實(shí)就是

20、Cotes序列序列，它與積分值，它與積分值 的逼近的逼近階為階為 。如此繼續(xù)下去，每加速一次，誤差的量級(jí)就提高。如此繼續(xù)下去，每加速一次，誤差的量級(jí)就提高2 2階階. .)(2hTI)(6hO這樣構(gòu)造的序列這樣構(gòu)造的序列 ，就是，就是Simpson序列序列 。)(1hT),2(1hT,2nnSS),(151)2(1516)(112hThThT ， 6416262411hhIhT 若令若令4 Romberg Integration上述處理方法通常稱為上述處理方法通常稱為理查森（理查森（Richardson）外推加速算法。）外推加速算法。)(141)2(144)(11hThThTmmmmmm經(jīng)過經(jīng)

21、過 次加速后，余項(xiàng)便取下列形式：次加速后，余項(xiàng)便取下列形式：), 2 , 1( mm )2(22)1(21)(mmmhhIhT 設(shè)以設(shè)以 表示二分表示二分k次后求得的梯形值，且以次后求得的梯形值，且以 表示序列表示序列 的的m次加速值，則由上面遞推公式可得到：次加速值，則由上面遞推公式可得到：kmTkT0 kT0kmmkmmmkmTThT111141144)( ), 2 , 1( k若記若記 , ,則有則有)()(0hThT 此公式也被稱為此公式也被稱為龍貝格求積算法龍貝格求積算法。4 Romberg Integration在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)所謂龍貝格算法，就是二分過程中逐步在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)所謂龍貝

22、格算法，就是二分過程中逐步形成形成T數(shù)表的具體方法，其步驟如下：數(shù)表的具體方法，其步驟如下：（2 2）求梯形值）求梯形值 ，按遞推公式，按遞推公式0()2kb aT計(jì)算計(jì)算 。 1121222)12(221kkkikkabiafabTT1kT)(141)2(144)(111hThThTkmmkmmmkm 逐個(gè)求出逐個(gè)求出T T數(shù)表的第數(shù)表的第k行其余各元素行其余各元素 (j=1,2,k(j=1,2,k）。）。jkjT （4 4）若）若 （預(yù)先給定的精度），則終止計(jì)算，并（預(yù)先給定的精度），則終止計(jì)算，并取取 ；否則令；否則令k+1 k 轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)（2 2）繼續(xù)計(jì)算。）繼續(xù)計(jì)算。 010kkTTIT

23、k )0(（3 3）求加速值，按公式）求加速值，按公式4 Romberg Integration （1 1）取取k=0,h=b-a,求求 令令1 k （k記區(qū)間記區(qū)間a,b的二分?jǐn)?shù)）。的二分?jǐn)?shù)）。0( ) ( )( )/ 2Thh f af b例例 用龍貝格算法計(jì)算積分用龍貝格算法計(jì)算積分 。 dxxI 1023解解 在在00，11上僅一次連續(xù)可微，用龍貝格上僅一次連續(xù)可微，用龍貝格算法計(jì)算見下表，算到算法計(jì)算見下表，算到k=5的精度與辛普森求積精度相當(dāng)。的精度與辛普森求積精度相當(dāng)。這里這里I 的精確值為的精確值為0.4。23)(xxf Tk)(0Tk)(1Tk)(5Tk)(2Tk)(3Tk)

24、(4500000.0426777.0407018.0401812.0400118.0402369.0400432.0400077.0400014.0400302.0400054.0400050.0400463.0400009.0400009.0400009.0400002.0400002.0400002.0400002.0400002.0 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T4 Romberg

25、 IntegrationHW: p.122 #8（法二）（法二）令公式對(duì)令公式對(duì) 準(zhǔn)確成立，有準(zhǔn)確成立，有32, 1)(xxxxf 210 AA01100 xAxA32211200 xAxA0311300 xAxA)()()(110011xfAxfAdxxf 例例5 高斯型積分高斯型積分 /* Gaussian Quadrature */解解 （法一）（法一）利用利用n =1時(shí)的時(shí)的Newton-Cotes公式，有公式，有)1()1()(11ffdxxf 代數(shù)精度為代數(shù)精度為1 1。,31,3110 xx110 AA)31()31()(11ffdxxf 它至少有它至少有3 3次代數(shù)精確度，而以

26、兩個(gè)端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的梯形次代數(shù)精確度，而以兩個(gè)端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的梯形公式卻只有公式卻只有1 1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。解解：設(shè)公式對(duì)設(shè)公式對(duì)f (x) = 1, x, x2, x3 ，準(zhǔn)確成立，則有：，準(zhǔn)確成立，則有：例例：構(gòu)造形如構(gòu)造形如 的的 2 點(diǎn)點(diǎn) 公式。公式。 101100)()()(xfAxfAdxxfx 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 02899. 08212. 01010 AAxx不是線性方程組，不是線性方程組，不易求解。不易求解。 bankkkxfAdxxfx0)()()( 構(gòu)造具有構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求

27、積公式次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點(diǎn)將節(jié)點(diǎn) x0 xn 以及系數(shù)以及系數(shù) A0 An 都作為待定系數(shù)。都作為待定系數(shù)。令令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公式代入可求解，得到的公式具有具有2n+1 次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點(diǎn)稱為次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點(diǎn)稱為Gauss 點(diǎn)點(diǎn)，公式稱為公式稱為Gauss 型求積公式型求積公式。5 Gaussian QuadratureGauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式零點(diǎn)的關(guān)系點(diǎn)與正交多項(xiàng)式零點(diǎn)的關(guān)系 bakkdxxlxA)()( 其中其中 是關(guān)于是關(guān)于GaussGauss點(diǎn)的點(diǎn)的LagrangeLagrange插值基函數(shù)，從而得到插值基函數(shù)，

28、從而得到插值型求積公式插值型求積公式)(xlk nkkkbaxfAdxxfx0)()()( 選互異節(jié)點(diǎn)選互異節(jié)點(diǎn) 使插值型求積公式的代數(shù)精度使插值型求積公式的代數(shù)精度為為2n+1，則稱該求積公式為，則稱該求積公式為GaussGauss型的。稱這些節(jié)點(diǎn)為型的。稱這些節(jié)點(diǎn)為GaussGauss點(diǎn)。點(diǎn)。定義定義,10nxxx 一般利用正交多項(xiàng)式來確定一般利用正交多項(xiàng)式來確定GaussGauss點(diǎn)點(diǎn) 然后然后, ,利用插值原理確定利用插值原理確定GaussGauss求積系數(shù)求積系數(shù) ,10nxxx 如果像上面兩個(gè)例子那樣，直接利用代數(shù)精度如果像上面兩個(gè)例子那樣，直接利用代數(shù)精度的概念，去聯(lián)立求解的概念

29、，去聯(lián)立求解2n+2 個(gè)非線性方程組。方程組是個(gè)非線性方程組。方程組是可解的，但當(dāng)可解的，但當(dāng)n稍大時(shí)，求解就變得相當(dāng)復(fù)雜。稍大時(shí)，求解就變得相當(dāng)復(fù)雜。Gauss型求積公式是插值型的，確定型求積公式是插值型的，確定Gauss點(diǎn)是關(guān)鍵！點(diǎn)是關(guān)鍵！5 Gaussian Quadrature5 Gaussian Quadrature證明：證明： “” x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn), 則公式則公式 至少有至少有 2n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 bankkkxfAdxxfx0)()()( 對(duì)任意次數(shù)對(duì)任意次數(shù)不大于不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 Pm(x)， Pm(x) (x)的次數(shù)的次數(shù)不大于不

30、大于2n+1，則代入公式應(yīng)則代入公式應(yīng)精確成立精確成立： nkkkmkbamxxPAdxxxPx0)()()()()( 0= 0 “” 要證明要證明 x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)，即要證公式對(duì)任意次點(diǎn)，即要證公式對(duì)任意次數(shù)數(shù)不大于不大于2n+1 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 Pm(x) 精確成立，即證明：精確成立，即證明： nkkmkbamxPAdxxPx0)()()( 設(shè)設(shè))()()()(xrxqxxPm bababamdxxrxdxxqxxdxxPx)()()()()()()( 0 nkkkxrA0)( nkkmkxPA0)( 求求 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) 求求 (x) x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)

31、點(diǎn) 與任意次數(shù)與任意次數(shù)不大于不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P(x) （帶權(quán)）正交（帶權(quán)）正交。 nkkxxx0)()( 定理定理n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式代數(shù)精度的個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式代數(shù)精度的最高值為最高值為2n+1，因而高斯型求積公式因而高斯型求積公式常稱為最高代數(shù)精度求積公式。常稱為最高代數(shù)精度求積公式。在在Gauss型求積公式型求積公式 中，若取中，若取 則公式的左邊則公式的左邊 而右邊而右邊 故故n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的GaussGauss型求積公式的代數(shù)精度型求積公式的代數(shù)精度至多為至多為2n+1次。次。 nkkkbaxfAdxxfx0)()()( 202)()()(kn

32、kxxxxf 0)()(2 dxxxba 0)(2 nkkkxA n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少可達(dá)到個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少可達(dá)到n次次 代數(shù)精度，至多只能達(dá)到代數(shù)精度，至多只能達(dá)到2n+1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 正交多項(xiàng)式族正交多項(xiàng)式族 0, 1, , n, 有性質(zhì)：任意次數(shù)不大有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P(x) 必與必與 n+1 正交。正交。若取若取 (x) 為其中的為其中的 n+1，則，則 n+1的零點(diǎn)的零點(diǎn)就是就是 Gauss 點(diǎn)。點(diǎn)。215910 cb即：即：215910)(22 xxx 例例 求形如求形如的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)GaussGauss型型 101100

33、)()()(xfAxfAdxxfx求積公式。求積公式。為區(qū)間為區(qū)間0, 10, 1上帶權(quán)上帶權(quán) 正交的多項(xiàng)式正交的多項(xiàng)式, ,則則xStep 1：構(gòu)造正交多項(xiàng)式構(gòu)造正交多項(xiàng)式 2(法一法一),設(shè)設(shè) cbxxx22)( 100)dxcbxx2xx( 0),(x2 1020)(dxcbxxx 0),(2 15 Gaussian QuadratureStep 2：求求 2 = 0 的的 2 個(gè)根，即為個(gè)根，即為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) x0 ，x1221/20)9/10(9/1021;0 xStep 3：代入代入 f (x) = 1, x 以求解以求解 A0 ，A1,289949. 0,821162. 0

34、10 xx)289949. 0(277556. 0)821162. 0(389111. 0)(10ffdxxfx 277556. 0,389111. 010 AA 10110010105232xAxAxdxxAAdxx解解線性線性方程組，方程組，簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單。Step3也可換為也可換為277556. 0)()(,389111. 0)()(10111000 dxxlxAdxxlxA （法二）（法二）設(shè)設(shè) 為區(qū)間為區(qū)間0, 10, 1上帶權(quán)上帶權(quán) 正交的多項(xiàng)式正交的多項(xiàng)式)()(10 xxxxx x則有則有 100)(dxxx dxxxxxxxxx)(1010210 032)(52721010 xx

35、xx0)(10 dxxxx 052)(72921010 xxxx 925272753252uvuv 289949. 0821162. 010 xx910,215 vu令，令，uxxvxx 1010,則有則有由韋達(dá)定理，知由韋達(dá)定理，知 是方程是方程 的兩個(gè)根，解之得的兩個(gè)根，解之得02159102 xx10, xxdxxxxxx)(1010 dxxxxxxxxx)(1010210 10, AA的求得同于（法一）。的求得同于（法一）。5 Gaussian Quadrature 例例 利用此公式計(jì)算利用此公式計(jì)算 的值。的值。 10dxexx2555. 1 2899. 08212. 0102776

36、. 03891. 010eeeAeAxx 注：注：構(gòu)造正交多項(xiàng)式也可以利用構(gòu)造正交多項(xiàng)式也可以利用 L-S 擬合中介紹過的遞推擬合中介紹過的遞推式進(jìn)行。式進(jìn)行。5 Gaussian Quadrature 10dxexx解解5 Gaussian Quadrature 特殊正交多項(xiàng)式族：特殊正交多項(xiàng)式族： Legendre 多項(xiàng)式族：多項(xiàng)式族：1)( x 定義在定義在 1, 1上，上，kkkkkxdxdkxP)1(!21)(2 滿足：滿足： lklkPPklk1220),(xPP 10, 1由由 有遞推有遞推11)12()1( kkkkPxPkPk以以 Pn+1 的根為節(jié)點(diǎn)的求積公式稱為的根為節(jié)點(diǎn)

37、的求積公式稱為Gauss-Legendre 公式公式。 Chebyshev 多項(xiàng)式族：多項(xiàng)式族：211)(xx 定義在定義在 1, 1上，上，) arccos( cos)(xkxTk Tn+1 的根為的根為 2212cosnkxkk = 0, , n以此為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式以此為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式 1102)()(11nkkkxfAdxxfx稱為稱為 Gauss-Chebyshev 公式公式。注意到積分端點(diǎn)注意到積分端點(diǎn) 1 可能是積分可能是積分的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)，用普通，用普通Newton-Cotes公公式在端點(diǎn)會(huì)出問題。而式在端點(diǎn)會(huì)出問題。而Gauss公公式可能避免此問題的發(fā)生。式可能避免此問題的發(fā)生。 積

38、分區(qū)間為積分區(qū)間為 1, 11, 1時(shí)時(shí), ,求積公式的代數(shù)精度為求積公式的代數(shù)精度為 的充的充要條件是要條件是 在在 1, 11, 1上與一切次數(shù)不超過上與一切次數(shù)不超過n 的多項(xiàng)式正的多項(xiàng)式正交。交。)(x 12 n由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)可知，由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)可知，n+1 次次勒讓德勒讓德多項(xiàng)式多項(xiàng)式 就就具有這個(gè)性質(zhì)，所以用具有這個(gè)性質(zhì)，所以用n+1次勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，次勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，可得高斯型求積公式?？傻酶咚剐颓蠓e公式。)(1xPn 110)()(nkkkxfAdxxf該公式通常稱為該公式通常稱為高斯高斯勒讓德勒讓德（Gauss-Legendre）求積公式。求積

39、公式。5 Gaussian Quadrature高斯高斯勒讓德勒讓德( Gauss-Legendre) 求積公式求積公式構(gòu)造形如構(gòu)造形如的求積公式，使其為的求積公式，使其為Gauss型的。型的。 110)()(nkkkxfAdxxf便可得兩點(diǎn)高斯便可得兩點(diǎn)高斯勒讓德求積公式勒讓德求積公式若求積公式的代數(shù)精度為若求積公式的代數(shù)精度為3 3，則當(dāng)，則當(dāng) 時(shí)，上式能準(zhǔn)確成時(shí)，上式能準(zhǔn)確成 立，即由方程組立，即由方程組xxf, 1)( 111011100)31()31(21xdxAAdxAA110 AA 11)31()31()(ffdxxf不難驗(yàn)證，該公式的代數(shù)精度的確是不難驗(yàn)證，該公式的代數(shù)精度的確

40、是3 3。5 Gaussian Quadrature例例構(gòu)造兩點(diǎn)的構(gòu)造兩點(diǎn)的高斯高斯勒讓德求積公式勒讓德求積公式 1110)31()31()(fAfAdxxf 111100)()()(xfAxfAdxxf)13(21)(22 xxP31 作為作為GaussGauss點(diǎn)，則有點(diǎn)，則有解解 取二次取二次勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式的兩個(gè)零點(diǎn)的兩個(gè)零點(diǎn)P110表表46給出了部分給出了部分Gauss-Legendre的節(jié)點(diǎn)和的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)，以備查用。系數(shù)，以備查用。 若求積區(qū)間為若求積區(qū)間為a, b而而不是不是-1， 1怎么辦？怎么辦？ 例例 利用四點(diǎn)高斯利用四點(diǎn)高斯勒讓德公式計(jì)算積分勒讓德公式計(jì)算積分 （

41、積分（積分 0cos xdxex準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值為 。）。） 0703463.12)1(21 e對(duì)于對(duì)于 積分，通過變量替換積分，通過變量替換 可以化為可以化為 badxxf)(22abtabx 11)22(2dtabtabfab就可以用高斯就可以用高斯勒讓德公式計(jì)算。勒讓德公式計(jì)算。 badxxf)(解解 作變換作變換 則得則得)1(2tx 8611363. 02sin(3478548. 028611363. 022 ee3398810. 02sin(6521452. 0)8611363. 02sin3398810. 028611363. 02 ee)3398810. 02sin3398810

42、. 02 e 011)1(2)1(2cos2cosdttexdxetx 11222sin2tdteet 0701895.12 形如形如 的求積公式，若其代數(shù)精度為的求積公式，若其代數(shù)精度為2n+1，則稱其為，則稱其為高斯高斯-切比雪夫切比雪夫求積公式求積公式 1102)(1)(nkkkxfAdxxxf（Gauss-Chebyshev ）求積公式求積公式高斯高斯-切比雪夫切比雪夫 例例 求形如求形如 的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)GaussGauss型求積公式。型求積公式。)()(1)(1100112xfAxfAdxxxf 解解：由于節(jié)點(diǎn)必是區(qū)間：由于節(jié)點(diǎn)必是區(qū)間 1 1，11上帶權(quán)上帶權(quán) 的二次正交的二次正交21