1、解析幾何綜合題解題方法總結(jié)富源縣第一中學(xué)解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一 . 這類試題往往以解析幾何知識(shí)為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識(shí)，所涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時(shí)，常常表現(xiàn)為無(wú)從下手，或者半途而廢。據(jù)此筆者認(rèn)為：解決這一類問(wèn)題的關(guān)鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維. 即在掌握通性通法的同時(shí)，不應(yīng)只形成一個(gè)一個(gè)的解題套路，解題時(shí)不加分析，跟著感覺(jué)走，做到那兒算那兒 . 而應(yīng)當(dāng)從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題思路的整體設(shè)計(jì)上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運(yùn)算難關(guān) .一、判別式案例 1y 2x 22 ,0 ，斜率為 k ，當(dāng) 0

2、 k 1 時(shí)，已知雙曲線 C :1 ，直線 l 過(guò)點(diǎn) A22雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B 到直線 l 的距離為 2，試求 k 的值及此時(shí)點(diǎn) B 的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段.從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn) B 作與 l 平行的直線，必與雙曲線C 相切 . 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0 .由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：l : yk(x2)0 k 1l ': ykx2k 222k解得 k的值解題過(guò)程略 .分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂

3、“有且僅有一點(diǎn) B 到直線 l 的距離為2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：?jiǎn)栴}kx2x 22k關(guān)于x 的方程20k1 有唯一解k 21轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題1求解簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn) M ( x,2x 2 ) 為雙曲線 C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) M到直線 l 的距離為：kx2x22k20k1k21于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x 的方程 .由于 0k1，所以2x2xkx ，從而有kx2x 22kkx2x 22k.于是關(guān)于 x 的方程kx2x222(k21)k2x 22(2( k 21)2kkx) 2 ,2(k 21)2kkx0k 21 x 22(k 22( k 222k1)2k

4、x1)2k20,2(k 21)2kkx0.由 0k1 可知：21222(21)22(21)22方 程xk x2 0的二根同正，故kkkkk2( k 21)2kkx0恒成立，于是等價(jià)于k 21 x 22k2(k 21)2k x2(k 21)2k220 .由如上關(guān)于 x 的方程有唯一解，得其判別式0 ，就可解得k25.5點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 .2 判別式與韋達(dá)定理例 2. 已知橢圓 C: x22 y 28 和點(diǎn) P（4，1），過(guò) P 作直線交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn) Q，使 APAQ ，求動(dòng)點(diǎn) Q的軌跡所在曲線的方程 .P

5、BQB分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。2其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn) Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn) Q( x, y) 的變化是由直線AB 的變化引起的，自然可選擇直線AB 的斜率 k 作為參數(shù)，如何將 x, y 與 k 聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線 AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件： APAQ 來(lái)轉(zhuǎn)化 . 由 A、B、P、Q 四點(diǎn)共線，不難得到 x4( xAxB )2 xA xB ，PBQB8( xAxB )要建立 x 與 k 的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的

6、方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù) .APAQPBQB4( xAxB )2xA xBx(xAxB )8將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理xf k利用點(diǎn) Q 滿足直線 AB 的方程： y = k (x 4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn) Q 的軌跡方程在得到 xf k 之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于 x, y 的方程（不含 k），則可由 yk ( x 4)1 解得 ky1 ，直接代入 x f k即可x4得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè)A x1,y1,(x2， y2),(, )，

7、則由APAQ4 x1xx1 ，BQ xyPBQB可得：x2 xx2 4解之得：4(x1x2 ) 2x1 x2（ 1）x8(x1x2 )設(shè)直線 AB 的方程為： yk( x 4)1 ，代入橢圓 C 的方程，消去 y 得出關(guān)于 x的一元二次方程：2k 21 x 24k (14k) x2(14k) 280（2）3x1x24k (4k1) ,2k 212(14k ) 28x1 x22k 2.1代入（ 1），化簡(jiǎn)得： x4k3 .(3)k2與 y k( x 4)1聯(lián)立，消去 k 得： 2xy 4 (x 4) 0.在（ 2）中，由64k 264 k240，解得 210k210 ，結(jié)合（ 3）可44求得16

8、 210x16 2 10.99故知點(diǎn) Q的軌跡方程為：2x y40（16210x162 10）.99點(diǎn)評(píng)： 由方程組實(shí)施消元 ，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到 . 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參 . ，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.3 求根公式例 3.設(shè)直線 l 過(guò)點(diǎn) P（0，3），和橢圓 x 2y21順次交于、 兩點(diǎn)，試求 AP的94A BPB取值范圍 .分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：APxA ，但從此后卻一籌莫展 ,問(wèn)題的=PBxB根源在于對(duì)題目的整體把握不夠 . 事實(shí)上，所謂求取

9、值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程） ，這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系 .分析 1: 從第一條想法入手， AP =x A 已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量 xA , xB ，PBxB同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制， 所以自然想到利用第 3 個(gè)變量直線 AB的斜率 k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將 xA , xB 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 .4把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于 x 的一元二次方程求

10、根公式xA = f（k），xB = g（k）AP/PB = （ xA / xB）得到所求量關(guān)于k 的函數(shù)關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍所求量的取值范圍簡(jiǎn)解 1：當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí)，可求得 AP1 ;PB5當(dāng) l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè) A x1 , y1, B( x2， y2 ) ，直線 l 的方程為： y kx3 ，代入橢圓方程，消去 y 得 9k 24 x 254kx450 ，解之得x1, 227k 69k 25.9k 24因?yàn)闄E圓關(guān)于 y 軸對(duì)稱，點(diǎn) P 在 y 軸上，所以只需考慮 k0的情形.當(dāng) k0 時(shí)， x127k69k 25 ， x227k 69k 25 ，9k 24

11、9k 24所以APx1=9k29k 25 =18k=118.PBx29k 219k 259k259k 259 29k 2由(54k )2180 9k 240 ,解得 k 25 ，9所以11181 ，929525k綜上1AP1 .PB5分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k 的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 k 聯(lián)系起來(lái) . 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于 APx1不是關(guān)于 x1 , x2 的對(duì)稱關(guān)系式 . 原因找到后， 解決問(wèn)題的方法自然PBx2也就有了，

12、即我們可以構(gòu)造關(guān)于x1 , x2 的對(duì)稱關(guān)系式 .5把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y得到關(guān)于x 的一元二次方程韋達(dá)定理xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）AP/PB = （ xA / xB）構(gòu)造所求量與k 的關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍關(guān)于所求量的不等式簡(jiǎn)解 2：設(shè)直線 l 的方程為： ykx3，代入橢圓方程，消去y 得9k 24 x 254kx450（* ）x1x254k, ，令 x1則9k 24，則，12324k 2.x1 x245.x245k 2209k24在（ * ）中，由判別式0, 可得 k 25 ，9從而有4324k 236 ，45k 2205所以41236 ，15解得5.5結(jié)合 01 得 11.