1、一階常微方程的初等解法一階常微方程的初等解法u變量分離方程與變量變換u線性微分方程與常數(shù)變易法u恰當(dāng)微分方程與積分因子u一階隱式微分方程與參數(shù)表示重點(diǎn)重點(diǎn)：變量分離方程、線性微分方程、常數(shù)變易法、恰當(dāng)微分方 程、積分因子、一階隱式微分方程與參數(shù)解法；難點(diǎn)難點(diǎn)：變量變換、積分因子、分項(xiàng)組合法、建立微分方程模型.總 結(jié)1：變量分離方程與變量變換：變量分離方程與變量變換在上一張我們已經(jīng)了解了微分方程的一些基本特點(diǎn)，下面我們來看一個(gè)題來回憶一下微分方程：例例 求解方程 . yxdydx可以變化為： ，解解xdxydy兩邊積分，即得 ，22222cxy因而，通解為 . cyx221.11.1變量分離方程

2、變量分離方程的方程，稱為變量分離方程變量分離方程，這里),(xf)(x分別是yx,連續(xù)函數(shù).形如)()(yxfdxdy) 1 . 2(如果, 0)(y我們可將（2.1）改寫成,)()(dxxfydy這樣，變量就“分離”開來了.兩邊積分，得到.)()(cdxxfydy（ 為常數(shù)）c下面來做幾道題來來練習(xí)一下變量分離方程，例例1.lnxydxdy解解 將方程變量分離，得到 xdxydyln).0(y兩邊積分得,lnln1cxxxy這里 是任意常數(shù)，從上式解出 可得顯示通解為1cy,lnxxxecy這里 是一個(gè)任意常數(shù)，此外， 也是方程的解，它可以被包含在通解中（取 ）.c0y0c例例2. 0, 0

3、,)()(yxbyaxdxcydxdy解解 方程可變量分離為,)()(dybyadxdxc積分得,lnlnkbyyadxxc這里 為任意 k常數(shù)，上式可化為, keyexbyadxc其中 .因kek 方程還有特解 .并考慮到條件 0y, 0, 0yx于是方程的通解為, keyexbyadxc這里0k為任意常數(shù).時(shí)，0t,)0(,)0(00yyxx代如得,0000byadxceyexk即解為,0000dxcbyabyadxcexeyeyex或?qū)懗? 1)()()(0)(000yybaxxdceyyexx 如果考慮方程的滿足初值條件的解，可將初值條件1.2 可化為變量分離的方程類型可化為變量分離的

4、方程類型這里只介紹兩種簡(jiǎn)單的情形 1形如)(xygdxdy的方程，稱為齊次微分方程，齊次微分方程，u這里)(ug是的連續(xù)函數(shù).作變量變換,xyu 于是. udxduxdxdy原方程變?yōu)?)(xuugdxdu這是一個(gè)變量分離方程，這樣就可以用前面的方法求解.例例3求解方程.tanxyxydxdu解解這是齊次微分方程，以u(píng)xy及udxduxdxdy代入，則原方程變?yōu)?tanuuudxdux即.tanxudxdu將上式變量分離，有,cotxdxudu 兩邊積分有,lnsinlncxu令,cec得到.sincxu 代入原來的變量，得到原來方程的通解為.sincxxy例例4求解方程yxydxdyx 2)

5、.0( x解解將方程改寫為xyxydxdy 2,0 x這是齊次微分方程.以u(píng)xy及udxduxdxdy代入則原方程變?yōu)?2 udxdux分離變量，得到,2xdxudu兩邊積分，得到通解.lncxu當(dāng)0lncx時(shí)，,ln2cxu此外，方程還有解, 0u代回原來的變量，原方程的通解為0ln,ln2cxcxxy即. 0y 2形如222111cybxacybxadxdy的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里222111,cbacba均為常數(shù).我們分三種情形來討論：kccbbaa212121（常數(shù)）情形.這是方程化為, kdxdy有通解為, ckxy其中c為任意常數(shù).212121cckbbaa令,

6、22ybxau這時(shí)有212222cuckubadxdybadxdu是變量分離方程.2121bbaa如果方程中21,cc不全為零，方程右端分子、分母的一次多項(xiàng)式，因此yx, 0222cybxa, 0111cybxa代表Oxy平面上兩條相交的直線，設(shè)交點(diǎn)為.,若令, xX, yY則上式化為, 0, 02211YbXaYbXa從而方程變?yōu)?2211XYgYbXaYbXadXdY因此，求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可的原方程的解.上述方法也適用于如下方程：, 0,222111dyxyxgdxxyyfcybxacybxafdxdy,22xyxfdxdyxyfdxdyx. 0,ydxxdyyxNy

7、dyxdxyxM例例5求解方程.31yxyxdxdy解解解方程組, 03, 01yxyx得. 2, 1yx令, 2, 1YyXx代入方程，有.YXYXdXdY再令,XYu 則化為,2112duuuuXdX兩邊積分，得,12lnln22cuuX則 .12122122cxyxy此外0222XXYY也是解,26222cxyxxyy原方程的通解為其中c為任意常數(shù).返回2.2.線性微分方程與常數(shù)變易法線性微分方程與常數(shù)變易法 ,xQyxPdxdy一階線性微分方程 xQxP,其中x在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù).若 , 0 xQ方程變?yōu)?, yxPdxdy稱為一階齊次線性微分方程一階齊次線性微分方程. , 0

8、 xQ稱為一階非齊次線性微分方程一階非齊次線性微分方程.現(xiàn)在討論非齊次線性微分方程通解的求法.我們知道,dxxPcey是齊次線性微分方程的通解.將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù) .xc令 ,dxxPexcy微分之，得到 .dxxPdxxPexPxcedxxdcdxdy這樣就可以得到 ,xQexcxPexPxcedxxdcdxxPdxxPdxxP即 ,dxxPexQdxxdc積分后得到 ,cdxexQxcdxxP這里c是任意常數(shù)，將上式代入到原方程得到通解 .cdxexQeydxxPdxxP這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通常稱為常數(shù)變易法.常數(shù)變易法實(shí)際上也是一種變量變換的方法，通過變換可將方程

9、化為變量分離方程.例例6求方程111nxxenydxdyx的通解，這里n為常數(shù).解解將方程改寫為.11nxxeyxndxdy首先，求其次線性微分方程01yxndxdy的通解，為.1nxcy其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解.把上式中的c看成x的待定函數(shù) ,xc即 ,1nxxcy微分得 .111xcxnxdxxdcdxdynn將其代入到前式中，可得到 ,xedxxdc積分之，得到 .cexcx因此，將所求的 xc代入原方程，其通解為 ,1cexyxn這里c是任意常數(shù).返 回3.3.恰當(dāng)微分方程與積分因子恰當(dāng)微分方程與積分因子3.1 恰當(dāng)微分方程恰當(dāng)微分方程yxu,如果方程的左端恰好是某

10、個(gè)二元函數(shù), 0,dydxyxfyxfdxdy,我們把一階方程寫成微分的形式或把yx,平等看待，寫成下面具有對(duì)稱形式的一階微分方程. 0,dyyxNdxyxM的全微分，即,dyyudxxuyxdudyyxNdxyxM則稱方程為恰當(dāng)微分方程.容易驗(yàn)證，原方程的通解就是,cyxu（ 是任意常數(shù)）.c例例7046633222dyyyxdxxyx的通解.解解這里,46,633222yyxNxyxM這時(shí),12,12xyxNxyyM因此方程是恰當(dāng)微分方程.現(xiàn)在求, u是它同時(shí)滿足如下兩個(gè)方程：.46,633222yyxyuxyxxu前一個(gè)式子，對(duì)x積分，得到 ,3223yyxxu將得到的方程對(duì) 求導(dǎo)，并使

11、它滿足上一個(gè)方程，即得y ,466322yyxdyydyxyu于是 ,43ydyyd積分后可得 ,4yy .34223yyxxu因此，方程的通解為,34223cyyxx這里 是任意常數(shù).c往往在判定方程式恰當(dāng)微分方程后，并不需要按照上述一般方法來求解，而是采用“分項(xiàng)組合”的辦法，先把那些本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出，再把剩下的項(xiàng)湊成全微分，這種方法要求熟記一些簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的全微分，如,2yxdyxdyydxyxdxdyydx,ln,2yxdxyxdyydxxydxxdyydx.ln21,arctan2222yxyxdyxxdyydxyxdyxxdyydx例例8用“分項(xiàng)組合”的辦法，求解例7.解解

12、把方程重新“分項(xiàng)組合”，得到, 066432232ydyxdxxydyydxx即, 033222243dyxdxydydx或者寫成, 032243yxyxd于是，方程的通解為,32243cyxyx這里 是任意常數(shù).c3.2 積分因子積分因子如果存在連續(xù)可微的微的函數(shù), 0,yxuu使得 0,dyyxNyxudxyxMyxu為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù) ，使v,dvuNdyuMdx則稱yxu,為方程的積分因子積分因子.這里cyxv,是方程的通解.則 我們可以知道方程0 xdyydx的積分因子有.1,1,1,12222yxxyyx只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不是唯一的.例例 9求解方

13、程21yxyxdxdy.0y解解 方程可以改寫為 ,22dxyxydyxdx容易看出，此方程有積分因子,122yxu以 乘之得u,22222dxyxyxd故通解為.22xccy例例 10 求解方程. 0dyxyydx解解 這里, 1, 1,xNyMxyNyM方程不是恰當(dāng)?shù)?因?yàn)閥MxNyM2只與 有關(guān)，y故方程有只與 有關(guān)的積分因子y.12ln22yeeuydyy以21yu 乘方程兩邊，得到. 02ydyyxdyydx因此，通解為.lncyyx將方程改寫為,ydyxdyydx左端有積分因子,12yu 積分可以得到.2ydyyxdyydx因此，通解為.lncyyx將方程改寫為,yxydxdy這是

14、齊次微分方程，令, uxy代入得到,1 uuudxdux即.12xdxduuu因此，通解為,lnln1cxuu代回原來變量，即得.lncyyx把 看作未知數(shù)， 看作自變量，xy方程變?yōu)榫€性微分方程, 1yxdydx同樣解得.lncyyx此外，易見0y也是原方程的解.返回4.4.一階隱式微分方程與參數(shù)表示一階隱式微分方程與參數(shù)表示. 0, yyxF一階隱式微分方程的一般形式可表示為xy4.1 可以解出可以解出 （或（或 ）的方程）的方程1. 首先討論形如dxdyxfy,的方程的解法，這里假設(shè)函數(shù)dxdyxf,有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).1 . 4引進(jìn)參數(shù), pdxdy則) 1 . 4(變?yōu)閜xfy,2 .

15、4將2 . 4兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，并以pdxdy代入，得到.dxdppfxfp3 . 4方程3 . 4是關(guān)于px,的一階微分方程.若已求得3 . 4的通解形式為,cxp將它代入2 . 4得,cxxfy這就是1 . 4的通解.若求得3 . 4的通解形式為,cpx則得到1 . 4的參數(shù)形式的通解為,pcpfycpxp其中 是參數(shù)， 為任意常數(shù).c若求得3 . 4的通解形式為, 0,cpx則得到1 . 4的參數(shù)形式的通解, 0,pxfycpxp其中 是參數(shù)， 為任意常數(shù).c例例 11求方程023ydxdyxdxdy的解.兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得到x. 0232pdxxdpdpp當(dāng)0p時(shí)，上式乘以 得到p. 02

16、323dxpxpdpdpp積分之，注意到中間一項(xiàng)為,2xdp得到.4324cxpp解解 解出 ，并令y, pdxdy得到,23xppy4 . 4解出 ，得到x.4324ppcx將它代入,4 . 4得到.43243ppcpy因此，得到方程的參數(shù)形式的通解,212,43322ppcyppcx. 0p當(dāng)0p時(shí)，由4 . 4直接推知0y也是方程的解.2. 形如dxdyyfy,的方程的解法，這里假設(shè)函數(shù)dxdyyf,有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).5 . 4引進(jìn)參數(shù), pdxdy則)5 . 4(變?yōu)閜xfy,6 . 4將6 . 4兩邊對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，并以pdydx1代入，得到.1dydppfyfp7 . 4方程7 . 4是

17、關(guān)于py,的一階微分方程.設(shè)求得通解為, 0,cpy則得到5 . 4的參數(shù)形式的通解, 0,pyfxcpyp其中 是參數(shù)， 為任意常數(shù).c例例 12求方程023ydxdyxdxdy的解.解解 解出 ，并令x, pdxdy得到8 . 4, 0,23pppyx兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得到y(tǒng),2311232pdydppydydpppp積分之，即有,24ppcy代入8 . 4求得.43222434ppcppppcx所以，方程的通解為,22,434322ppcyppcx. 0p此外，還有解. 0yxy4.2 可以解出可以解出 （或（或 ）的方程）的方程3 . 現(xiàn)在討論形如0, yxF的方程的解法.9 . 40,p

18、xF記.dxdyyp從幾何的觀點(diǎn)看，代表Oxp平面上的一條曲線.設(shè)把這曲線表為適當(dāng)?shù)膮?shù)形式 ,tptx10. 4這里 為參數(shù)，再注意到，沿方程（4.9）的任何一條積分曲線上，恒滿足基本關(guān)系t.pdxdy 以（4.10）代入上式得 ,dtttdy兩邊積分，得到 , cdttty于是得到方程（4.9）的參數(shù)形式的通解為 ,cdtttytx 為任意常數(shù).c例例 13 求解方程0333yxyx這里).(dxdyy 解解 令,txpy則由方程得,133ttx從而.1332ttp于是,12193323dttttdy積分之，得到.1412312192333323cttdtttty因此方程的通解表成參數(shù)形式.14123,132333cttyttx4. 形如0, yyF的方程，其求解方法與上面一樣.記,yp參數(shù)形式引入?yún)?shù) ，將方程表示為t ,tpty由關(guān)系式p