1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上4 函數(shù)的連續(xù)性 1函數(shù)連續(xù)的概念 一個連續(xù)量隨著另一個連續(xù)量連續(xù)地變化連續(xù)函數(shù) 定義3.7 設(shè)在包含的一個開區(qū)間有定義如果 ，則稱函數(shù)在是連續(xù)的稱為的連續(xù)點 否則，稱是的間斷點 從定義可見，在連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列三個條件： (i) 在附近有定義，特別是在有定義； (ii) 極限存在；(iii) 上述極限值恰好為函數(shù)值對照 函數(shù)在有極限 和 函數(shù)在連續(xù)： ，當(dāng)時，有 ，當(dāng)時，有 兩者的差別就只有“一點” 等價定義：令，稱為自變量（在點）的增量， ，稱為函數(shù)（在點）的增量 當(dāng)時，有 ，于是 在是連續(xù) ，當(dāng)時，有 ，當(dāng)時，有 在左連續(xù)且右連續(xù)函數(shù)在連續(xù)定義為 也可以寫作

2、 這表示，在函數(shù)連續(xù)的情況下，求極限可以直接把自變量的極限代入，或者說，極限運算與函數(shù)對應(yīng)法則可以交換次序 定義3. 8 設(shè)定義在內(nèi)，若它在內(nèi)的每一點都是連續(xù)的，則稱在區(qū)間是連續(xù)的 設(shè)定義在，若它在的每一點都連續(xù)，且在點右連續(xù)，在點左連續(xù)，則稱在區(qū)間是連續(xù)的。 半開區(qū)間的連續(xù)性類似定義。函數(shù)的連續(xù)性是用極限定義的，而極限前面已研究過。例l 試證在是連續(xù)的 證明 對任意的，是有意義的，故只需證明事實上， |2| 2|2因此，任意給定，取，只要，便有|，這就證明了在連續(xù)，從而證明了在連續(xù) 2間斷點分類根據(jù)在點連續(xù)必須滿足的三個條件，間斷點不外乎下列三種類型：1、可去間斷點極限存在2、第一類間斷點在

3、點的左、右極限都存在但不相等3、第二類間斷點在點的左、右極限至少有一個不存在(1) 可去間斷點極限存在 （此時不論在點是否有定義）例如，函數(shù)在0點有可去間斷點 因為1存在，盡管函數(shù)在0點無定義又如，函數(shù) 在0有可去間斷點 因為0，盡管函數(shù)在0點有定義， 但函數(shù)值1不等于極限值0對于可去間斷點，可以補充定義或修改定義使函數(shù)在該點連續(xù)例如，對上面的函數(shù)補充定義1，得 則在0點連續(xù)，而對，修改它在0點的定義為0，得 則在0點連續(xù) (2) 第一類間斷點在點的左、右極限都存在但不相等有時也把這種間斷點稱為跳躍間斷點。例如取整函數(shù)， ， (3)第二類間斷點在點的左、右極限至少有一個不存在。無窮型間斷：例如

4、函數(shù)，0是它的第二類間斷點， 因為 振蕩型間斷：例如函數(shù)，在0點左、右極限都不存在 再考慮狄利克雷函數(shù) 它在內(nèi)任一點不連續(xù)上面兩例都是當(dāng)時，函數(shù)值不斷地在兩點之間跳動，所以左、右極限均不存在，因此是函數(shù)的第二類間斷點，可去間端點非本質(zhì)的，補充或修改定義可使其連續(xù)第一類和第二類間斷本質(zhì)的，不能通過修改函數(shù)在該點的值 使其成為連續(xù)的第二類間斷點可能是無窮型的，也可能是振蕩型的3連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性定理3.13 若和都在點連續(xù)，則、()也在點連續(xù)證 由極限的四則運算法則立得。 定理3.13 （復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理）若函數(shù)在點連續(xù)，在連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點連續(xù)證明 由在點連續(xù)，知對任給，

5、存在，當(dāng)時，有 又由在點連續(xù)和，知對上述，存在，當(dāng)時，有 .因此，當(dāng)時，有 這就證明在點連續(xù)。 下面我們證明本章的一個重要定理.定理3.15 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。證明思路：由初等函數(shù)的定義，若基本初等函數(shù)在定義域連續(xù)，且經(jīng)過有限次四則運算、復(fù)合運算后仍連續(xù)，則初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)。實數(shù)連續(xù)性定理連續(xù)函數(shù)定義區(qū)間套定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理連續(xù)函數(shù)的四則運算復(fù)合函數(shù)連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)連續(xù)性 圖表1基本初等函數(shù)連續(xù)性的證明思路和順序見圖表2。其中反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，利用了反函數(shù)的連續(xù)性。為證明反函數(shù)的連續(xù)性，我們用實數(shù)連續(xù)性定理先證明了一個閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要定

6、理介值定理，在這個基礎(chǔ)上證明反函數(shù)的連續(xù)性。 連續(xù)函數(shù)定義 四則運算 反函數(shù)的連續(xù)性 復(fù)合函數(shù)連續(xù)性 圖表2定義3.10 設(shè)一組實數(shù)的閉區(qū)間序列，nl，2，滿足： （i），n1，2，； (ii) ， 則稱構(gòu)成一個區(qū)間套 是一個區(qū)間套，意指每一個區(qū)間都包含下一個區(qū)間(一個套一個)，且區(qū)間長度的極限為0 定理3.16 (區(qū)間套定理) 設(shè)是一個區(qū)間套，則必存在唯一的實數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間里，即 證明 用單調(diào)有界序列有極限存在的定理來證明事實上，已知是單調(diào)上升有上界，是單調(diào)下降有下界，即任意有 ，因此，均有極限存在，記 由于 ，知 . 下證。對任意，由于，令取極限，得.同理，在不等式中令取極限

7、，得.這就證明了對任意，有，即.最后證明唯一性若有滿足，則 故.即這樣的是唯一的定理3.16證完定理的證明表明，區(qū)間套“套出”的這一個點，它同時是，的極限 .這一點以后用區(qū)間套定理時會經(jīng)常用到注：區(qū)間套中閉區(qū)間不能改為開區(qū)間，否則定理未必成立。例如，取，則.定理3.17 （連續(xù)函數(shù)介值定理）若在連續(xù)，不妨設(shè)，則對任意，存在，使得c證明 用區(qū)間套定理只要證：若在連續(xù)，且，則存在，使得否則，只要令即可記，則，二等分，分點為，若，則定理證完。否則，若，則取，若，則?。粍t，二等分，分點為，如此繼續(xù)下去，或者經(jīng)有限步后，某使得，則定理證完；或者得一區(qū)間套，對任意，根據(jù)區(qū)間套定理，知存在唯一的實數(shù)，這時有

8、由，而在連續(xù)，知， 故，定理3.17證完證法2 用戴得金實數(shù)連續(xù)性定理。 令，則在連續(xù)，且0，0，只要證存在,使0。當(dāng)0或0時，取a或b即可，現(xiàn)設(shè)0。先將延拓為整個實軸上的連續(xù)函數(shù)再令 滿足 則是實數(shù)R的一個分劃。事實上且，即不空；由的構(gòu)造顯然不漏；任意，我們來證明，用反證法，如果不然，設(shè)，由知，滿足，這時且，因此，這與的構(gòu)造矛盾，故必有，即不亂，可見的確是R的一個分劃。由實數(shù)基本定理，存在，對任意，有。 注意到，知。下面證明 0，令 ， ， 則 0且。由的連續(xù)性得 0又由，知且0，顯然此時有，因為，故，由的連續(xù)性得 0故0，從而0，定理3.16證完。定理表明，若函數(shù)連續(xù)，則當(dāng)自變量從連續(xù)地變

9、到時，因變量從連續(xù)地變到，其中經(jīng)過與之間的一切中介值，因此把這個定理稱為介值定理，這顯然符合我們對連續(xù)函數(shù)的直觀認(rèn)識。 定理3.17(反函數(shù)連續(xù)性) 若在連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)上升，記，則的反函數(shù)在嚴(yán)格單調(diào)上升且連續(xù)證明 設(shè)在嚴(yán)格單調(diào)上升，則反函數(shù)存在，且嚴(yán)格單調(diào)上升由在嚴(yán)格單調(diào)上升，則 ， 又在連續(xù)及介值定理知，對任意，存在，使因此的定義域是。 現(xiàn)在來證明在連續(xù)，要使 記，且不妨設(shè)(，)，則上式可寫為 注意到是嚴(yán)格單調(diào)上升的，故只要 或 令(,)，則當(dāng)時， 且 |0且1先設(shè)1由于在 單調(diào)上升，由單調(diào)有界原理，知 和 都存在又1，由海涅定理 1 1這就證明了在0點連續(xù)對任意0，由 0知，這就證明了在l

10、的條件下，在連續(xù)。再設(shè)01，這時 這就證明了在00時，=，因為和在定義域內(nèi)連續(xù)，由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性知，在連續(xù)。當(dāng)0時，只有是正有理數(shù)時函數(shù)才有意義，易證 0因此，在0連續(xù)當(dāng)0時，只有是有理數(shù)，且是奇數(shù)時函數(shù)才有意義，由冪函數(shù)的奇偶性知函數(shù)在連續(xù)特別，當(dāng)是正有理數(shù)時，函數(shù)在0左連續(xù)故在定義域內(nèi)是連續(xù)的 綜上所述，一切基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的再根據(jù)連續(xù)函數(shù)的四則運算與復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，便知一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，至此定理3.15全部證完根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性，若函數(shù)在定義域內(nèi)有間斷點，則該函數(shù)必不是初等函數(shù)例如 在0有定義，但在該點不連續(xù)，因此它不是初等函數(shù)同理知狄利克雷函數(shù)和取整函數(shù)都不是初等函數(shù)此外，利用連續(xù)