1、 在生產(chǎn)和科學實驗中，自變量在生產(chǎn)和科學實驗中，自變量x與因變量與因變量y之間的函之間的函數(shù)關系式有時不能直接寫出表達式，而只能得到函數(shù)在數(shù)關系式有時不能直接寫出表達式，而只能得到函數(shù)在若干個點的函數(shù)值或?qū)?shù)值若干個點的函數(shù)值或?qū)?shù)值. 當要求知道觀測點之外的當要求知道觀測點之外的函數(shù)值時，需要估計函數(shù)在該點的數(shù)值函數(shù)值時，需要估計函數(shù)在該點的數(shù)值. 這就要根據(jù)觀這就要根據(jù)觀測點的值，構(gòu)造一個比較簡單的函數(shù)測點的值，構(gòu)造一個比較簡單的函數(shù)y=(x)，使函數(shù)在，使函數(shù)在觀測點的值等于已知的數(shù)值或?qū)?shù)值，尋找這樣的函數(shù)觀測點的值等于已知的數(shù)值或?qū)?shù)值，尋找這樣的函數(shù)(x)，辦法是很多的，辦法是很多

2、的. 根據(jù)測量數(shù)據(jù)的類型有如下兩種處理觀測數(shù)據(jù)的方法：根據(jù)測量數(shù)據(jù)的類型有如下兩種處理觀測數(shù)據(jù)的方法： 測量值是準確的，沒有誤差，一般用插值測量值是準確的，沒有誤差，一般用插值. 測量值與真實值有誤差，一般用曲線擬合測量值與真實值有誤差，一般用曲線擬合. 第六講第六講 曲線擬合曲線擬合一一. 曲線擬合曲線擬合 已知離散點上的數(shù)據(jù)集已知離散點上的數(shù)據(jù)集 求得一解析函數(shù)求得一解析函數(shù)y=f(x)，使，使f(x)在原離散點在原離散點xi上盡可能接上盡可能接近給定近給定yi的值，這一過程叫曲線擬合的值，這一過程叫曲線擬合. 最常用的曲線擬合最常用的曲線擬合是最小二乘法曲線擬合，擬合結(jié)果可使誤差的平方和

3、最是最小二乘法曲線擬合，擬合結(jié)果可使誤差的平方和最小，即找出使下式最小的小，即找出使下式最小的f(x) :)y,x( ,),y,x(),y,x(nn22112n1iii|y)x( f |min 通常，在解決實際問題時先將已知數(shù)據(jù)的散點圖通常，在解決實際問題時先將已知數(shù)據(jù)的散點圖畫出，然后設計擬合的曲線類型，最后根據(jù)某種準則畫出，然后設計擬合的曲線類型，最后根據(jù)某種準則選定最佳的曲線選定最佳的曲線.1.多項式擬合多項式擬合 多項式擬合就是選擇適當?shù)亩囗検綄?shù)據(jù)集進行擬合，多項式擬合就是選擇適當?shù)亩囗検綄?shù)據(jù)集進行擬合，其命令為：格式：其命令為：格式：p=polyfit(X,Y,n). 說明：求出

4、已知數(shù)據(jù)說明：求出已知數(shù)據(jù)(X,Y)的的n階擬合多項式階擬合多項式f(x)按按降冪排列的系數(shù)降冪排列的系數(shù)p，X必須是單調(diào)的必須是單調(diào)的. 例例1.對以下數(shù)據(jù)對以下數(shù)據(jù)作出散點圖，然后用多項式擬合：作出散點圖，然后用多項式擬合：(0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6)解：解：x = 0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0; y = 1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60; plot(x,y)發(fā)現(xiàn)：這些點大致地位于某條發(fā)現(xiàn)：這些點大致地位于某條直線附近，故可考慮線性擬合：直線附近，故可考慮線性擬合：p

5、=polyfit(x,y,1)ans: p =2.7937 -0.1540即擬合函數(shù)為：即擬合函數(shù)為：y=2.7937x-0.154(圖圖6.1)上述函數(shù)的擬合效果如何？我們可以通過計算誤差上述函數(shù)的擬合效果如何？我們可以通過計算誤差平方和的大小進行考察（兩種方法）：平方和的大小進行考察（兩種方法）： (1)sum(2.7937*x-0.154-y).2)=0.9136如果用二次函數(shù)進行擬合，則有：如果用二次函數(shù)進行擬合，則有： p=polyfit(x,y,2)p = 0.5614 0.8287 1.1560即擬合函數(shù)為：即擬合函數(shù)為：1.1568287x. 05614x. 0y2 此時誤差平

6、方和為：此時誤差平方和為： sum(polyval(p,x)-y).2) =0.1781根據(jù)誤差平方和最小原則：二次函數(shù)優(yōu)于線性函數(shù)根據(jù)誤差平方和最小原則：二次函數(shù)優(yōu)于線性函數(shù)(2)sum(polyval(p,x)-y).2) )=0.9136是否有誤差等于零的多項式？有，那就是該數(shù)據(jù)點是否有誤差等于零的多項式？有，那就是該數(shù)據(jù)點的插值多項式（五次多項式）的插值多項式（五次多項式） 通常，給出兩點的坐標，我們可以得到一條直線；通常，給出兩點的坐標，我們可以得到一條直線；若給出三點的坐標，我們可以得到一條拋物線；若給出三點的坐標，我們可以得到一條拋物線；，給，給出出n個點的坐標，我們可以得到一個

7、個點的坐標，我們可以得到一個n-1階的多項式階的多項式. 是否多項式的階數(shù)越高越好呢？非也！在解決實際問是否多項式的階數(shù)越高越好呢？非也！在解決實際問題時，只要達到所需的精度，應盡量選擇簡單的函數(shù)題時，只要達到所需的精度，應盡量選擇簡單的函數(shù).p = -1.6000 13.7400 -44.0733 65.6650 -42.6317 11.350011.3542.6317x-65.665x 44.0733x-13.74x -1.6xy2345 此時多項式在此時多項式在x處的函數(shù)值為：處的函數(shù)值為： polyval(p,x) ans =1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.

8、0000 8.6000例例2. 某種合金中的主要成分為某種合金中的主要成分為A,B兩種金屬，經(jīng)過試兩種金屬，經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)：這兩種金屬成分之和驗發(fā)現(xiàn)：這兩種金屬成分之和x與合金的膨脹系數(shù)與合金的膨脹系數(shù)y有有如下關系，建立描述這種關系的數(shù)學表達式如下關系，建立描述這種關系的數(shù)學表達式.x3737.53838.53939.54040.54141.54242.543y3.4332.272.11.831.531.71.81.92.352.542.9解：首先作出散點圖解：首先作出散點圖: x=37:0.5:43; y=3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35

9、,2.54,2.9; plot(x,y,*)發(fā)現(xiàn)：有點像拋物線，故選發(fā)現(xiàn)：有點像拋物線，故選二次函數(shù)擬合二次函數(shù)擬合.p=polyfit(x,y,2)p = 0.1660 -13.3866 271.6231271.623113.3866x- 0.166xy2 即為所求擬合曲線即為所求擬合曲線誤差平方和：誤差平方和：R=sum(polyval(p,x)-y).2)= 0.2523(圖圖6.2)設有實驗數(shù)據(jù)設有實驗數(shù)據(jù) ,尋找函數(shù)尋找函數(shù)使得函數(shù)在點使得函數(shù)在點 處的函數(shù)值與觀測數(shù)據(jù)偏差處的函數(shù)值與觀測數(shù)據(jù)偏差的平方和達到最小的平方和達到最小.即求滿足如下條件的函數(shù)即求滿足如下條件的函數(shù) 使得使得

10、 最小最小)(),(n,1,2,iyxii),( yxf),( ,n21ixi)x,( yf n1i2ii)y),x(yf解決此類問題有以下幾個步驟：（解決此類問題有以下幾個步驟：（1）首先作出散點）首先作出散點圖，確定函數(shù)的類別；（圖，確定函數(shù)的類別；（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定待定）根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定待定參數(shù)的初始值，利用參數(shù)的初始值，利用Matlab軟件計算最佳參數(shù)；（軟件計算最佳參數(shù)；（3）根據(jù)可決系數(shù)，比較擬合效果。根據(jù)可決系數(shù)，比較擬合效果。2.非線性擬合非線性擬合 n1i2in1i2ii2)yy()y (1Ry n1iiyn1y其中R2越趨近于越趨近于1表明擬合效果越好表明擬合效果越好.

11、 如果是多項式函數(shù)，則稱為多項式回歸，此時如果是多項式函數(shù)，則稱為多項式回歸，此時的參數(shù)即多項式的系數(shù)；如果為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函的參數(shù)即多項式的系數(shù)；如果為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或三角函數(shù)等，則稱為非線性擬合數(shù)、冪函數(shù)或三角函數(shù)等，則稱為非線性擬合.下面下面的圖形給出了常見曲線與方程的對應關系：的圖形給出了常見曲線與方程的對應關系：在在Matlab中實現(xiàn)可決系數(shù)的命令：中實現(xiàn)可決系數(shù)的命令：R2=1-sum(y-y1).2)/sum(y-mean(y).2)可決系數(shù)的計算公式為可決系數(shù)的計算公式為baxy 冪函數(shù)冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) bxaey 雙曲線函數(shù)雙曲線函數(shù) baxxy對數(shù)函數(shù)對

12、數(shù)函數(shù) xbayln指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) xbaey S形曲線形曲線 xbeay1具有具有S形曲線的常見方程有：形曲線的常見方程有：羅杰斯蒂（羅杰斯蒂（logistic）模型）模型：xey1 龔帕茲（龔帕茲（Gomperty）模型：）模型：)exp(xkey理查德（理查德（Richards）模型：）模型：/1)exp(1/xy 威布爾威布爾(Weibull)模型：模型：)exp(ty 為了實現(xiàn)非線性擬合，首先要定義函數(shù)為了實現(xiàn)非線性擬合，首先要定義函數(shù)1. inline 定義的函數(shù)：用于曲線擬合、數(shù)值計算定義的函數(shù)：用于曲線擬合、數(shù)值計算步驟：步驟：(1)建立建立M文件；文件；(2)fun=inl

13、ine(f(x) , 參變量參變量，x)例例1. 建立函數(shù)：建立函數(shù)： a,b,c為待定的參數(shù)為待定的參數(shù))be1(aycx fun=inline(b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x),b,x);此處，將此處，將b看成參變量，看成參變量，b(1),b(2),b(3)為其分量為其分量.若計算函數(shù)在若計算函數(shù)在x=0:0.1:1上的函數(shù)值，由于此時上的函數(shù)值，由于此時x為矩陣，為矩陣，只需將函數(shù)表達式中的某些量表示成向量有些只需將函數(shù)表達式中的某些量表示成向量有些*改成改成.*即可即可.在實際問題中，有時散點圖作出后未必是多項式的在實際問題中，有時散點圖作出后未必是多項式的圖形，可能

14、像其他的曲線，這時可以猜測曲線類型，圖形，可能像其他的曲線，這時可以猜測曲線類型，然后利用如下命令：然后利用如下命令：beta,r,J = nlinfit(x,y,fun,beta0)其中，其中，x,y為原始數(shù)據(jù)，為原始數(shù)據(jù)，fun是在是在M文件中定義的函數(shù)，文件中定義的函數(shù)，beta0是函數(shù)中參數(shù)的初始值；是函數(shù)中參數(shù)的初始值；beta為參數(shù)的最優(yōu)值，為參數(shù)的最優(yōu)值，r是各點處的擬合殘差，是各點處的擬合殘差，J為雅克比矩陣的數(shù)值為雅克比矩陣的數(shù)值.例例2. 已知如下數(shù)據(jù)，求擬合曲線已知如下數(shù)據(jù)，求擬合曲線k= 0,47,93,140,186,279,372,465,558,651; y=18

15、.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22;plot(k,y,*)根據(jù)右圖，我們猜測曲線為：根據(jù)右圖，我們猜測曲線為：)eb-(1bykb-213 現(xiàn)在利用最小二乘法確定最現(xiàn)在利用最小二乘法確定最佳參數(shù)：佳參數(shù)：b1,b2,b3b0=43,0.6,0.1; %初始參數(shù)值初始參數(shù)值fun=inline(b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*k),b,k);b,r,j=nlinfit(k,y,fun,b0);b %最佳參數(shù)最佳參數(shù)R=sum(r.2) %誤差平方和誤差平方和b = 42.6643，0.5483，0.00

16、99即擬合曲線為：即擬合曲線為：-0.0099ky42 6643(1-0.5483e). (圖圖6.3)擬合結(jié)果如右圖擬合結(jié)果如右圖所示，紅色為擬所示，紅色為擬合曲線圖形，合曲線圖形，*為為原始散點圖原始散點圖. y1=42.6643*(1-0.5483*exp(-0.0099*k);plot(k,y,*,k,y1,-or)作圖程序為：作圖程序為：(圖圖6.4)01002003004005006007001520253035404550練習：計算可決系數(shù)練習：計算可決系數(shù) 例例3.煉鋼廠出鋼時所用盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐煉鋼廠出鋼時所用盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕，容積不斷增大，我

17、們希望找出使用次火材料的侵蝕，容積不斷增大，我們希望找出使用次數(shù)與增大容積之間的函數(shù)關系數(shù)與增大容積之間的函數(shù)關系. .實驗數(shù)據(jù)如下：實驗數(shù)據(jù)如下：表表4.2 鋼包使用次數(shù)與增大容積鋼包使用次數(shù)與增大容積使用使用次數(shù)次數(shù)23456789增大增大容積容積6.428.29.589.59.710 9.939.99使用使用次數(shù)次數(shù)101112 13 14 15 16增大增大容積容積10.4910.5910.610.810.610.910.76baxxy)1 (cxbeayxbaey 分別選擇函數(shù)分別選擇函數(shù) 擬合鋼包容積與使用次數(shù)的關系擬合鋼包容積與使用次數(shù)的關系 ,在同一坐標系內(nèi)在同一坐標系內(nèi)作出函

18、數(shù)圖形作出函數(shù)圖形.x1=2:16;y1=6.42,8.2,9.58,9.5,9.7,10,9.93,9.99,10.49,10.59,10.6,10.8,10.6,10.9,10.76;b01=0.1435,0.084; %初始參數(shù)值初始參數(shù)值fun1=inline(x./(b(1)+b(2)*x),b,x); % 定義函數(shù)定義函數(shù)b1,r1,j1=nlinfit(x1,y1,fun1,b01);y=x1./(0.1152+0.0845*x1); %根據(jù)根據(jù)b1寫出具體函數(shù)寫出具體函數(shù) plot(x1,y1,*,x1,y,-or);下面給出分式函數(shù)擬合程序：下面給出分式函數(shù)擬合程序：初始參數(shù)初始參數(shù)b0的計算，的計算， 由于確定兩個參數(shù)值，因此我由于確定兩個參數(shù)值，因此我們選擇已知數(shù)據(jù)中的兩點（們選擇已知數(shù)據(jù)中的兩點（2,6.42）和（）和（16,10.76）代）代入方程，得到方程組：入方程，得到方程組：可決系數(shù)計算：可決系數(shù)計算：b16a167610b2a2426.14350b0840a16b16a76102b2a426.)(.)(.上述方程組