1、WORD格式不等式知識點總結(jié)1、不等式的根本性質(zhì) 對 稱 性 abba 傳 遞 性 ab,bcac可加性aba cbc 同 向 可 加 性 a b, cda c b d異向可減性ab, cdacbd可積性 ab, c0acbcab, c0acbc同向正數(shù) 可乘性ab0, c d0acbd異向正數(shù) 可除性abab0,0 cddc平方法那么ab0a nbn (nN, 且n1)開方法那么a b 0n an b(n N ,且 n 1)倒數(shù)法那么 ab011 ; ab011abab2、幾個重要不等式 a2b22ab a，bR ,當(dāng)且僅當(dāng)ab 時取 "" 號.變形公式： aba2b2.

2、2根本不等式ababa， bR當(dāng)且僅當(dāng)ab 時取到等號.2,ab2aba b2變形公式：.用根本不等式求最值時積定和最小，和定積ab2最大，要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等 .三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式abc3abc(a、b、cR )c3當(dāng)且僅當(dāng) a b時取到等號 . a2b2c2abbccaa， bR 當(dāng)且僅當(dāng)abc 時取到等號. a3b3c33abc( a0,b0,c0) 當(dāng)且僅當(dāng)abc 時取到等號.假設(shè) ab0, 那么ba2 當(dāng)僅當(dāng)a=b 時取等號假設(shè)ab0, 那么ba2 當(dāng)僅當(dāng)a=babab時取等號 bbm1ana其中 (ab0， m0， n0) 規(guī)律：小于1同加那么變大， 大

3、于1aambnb同加那么變小 .當(dāng) a0時，x ax2a2xa或x a;x ax2a2a x a.專業(yè)資料整理WORD格式絕對值三角不等式ababab .專業(yè)資料整理WORD格式3、幾個著名不等式平均不等式：2ababa2b2,當(dāng)且僅a 1b 122a， b R當(dāng) ab 時取 "" 號.即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均 .ab2a 2b2(ab) 2變形公式： ab;a2b2.222冪平均不等式：a12a22.an21 ( a1a2.an ) 2.n二維形式的三角不等式：x12y12x22y22( x1x2 )2( y1y2 )2(x1, y1, x2, y2R).二維形

4、式的柯西不等式( a2b2 )(c2d 2 )( acbd )2 (a,b, c, dR). 當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，等號成立 .三維形式的柯西不等式：( a12a22a32 )(b12b22b32 )(a1b1a2 b2 a3b3 )2 .一般形式的柯西不等式：(a12a22 .an2 )(b12b22.bn2 )(a1b1 a2b2.anbn ) 2 .向量形式的柯西不等式：設(shè),是兩個向量， 那么, 當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實數(shù) k ，使k時，等號成立 .排序不等式排序原理 ：設(shè) a1 a2.an ,b1b2.bn為兩組實數(shù). c1 , c2 ,., cn是 b1 ,b2 ,., bn的任一排

5、列，那么a1bna2bn 1.an b1a1c1a2c2.an cna1b1a2b2. anbn .反序和亂序和順序和 當(dāng)且僅當(dāng) a1a2.an或 b1b2.bn時，反序和等于順序和.琴生不等式 : 特例 : 凸函數(shù)、凹函數(shù)假設(shè)定義在某區(qū)間上的函數(shù)f ( x) ,對于定義域中任意兩點 x1 , x2 ( x1x2 ), 有f (x1x2)f ( x1 )f ( x2 ) 或f ( x1x2)f ( x1 )2f ( x2 ).那么稱f(x)為凸或222凹函數(shù) .4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有： 比較法作差， 作商法、綜合法、 分析法； 其它方法有： 換元法、 反證法、放縮法、構(gòu)造法，函

6、數(shù)單調(diào)性法， 數(shù)學(xué)歸納法 等 .常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項，如 ( a1)23(a1 )2;242專業(yè)資料整理WORD格式將分子或分母放大縮小，如專業(yè)資料整理WORD格式11,k2k( k1)11,k2k( k1)( 2k2) 1k2,12( k N * , k 1)2 kkkk 1kkk 1專業(yè)資料整理WORD格式等 .5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0) (a0,b24ac0) 解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù). 二判：判斷對應(yīng)方程的根. 三求：求對應(yīng)方程的根. 四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象. 五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為

7、正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿奇穿偶切，結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.f ( x)0f ( x)g( x)07、分式不等式的解法： 先移項通分 標(biāo)準(zhǔn)化， 那么g( x)f (x)g (x) 0“或時f ( x)0g( x)g( x)0同理規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 f ( x)a(a0)f ( x)0f (x)a(a 0)f (x)0f ( x)f (x)a2a2f (x)0f ( x)0 f ( x)0f ( x)g(x)g(x)0或f ( x)

8、g (x)g (x)0g( x)0f (x) g(x)2f ( x) g ( x) 2f ( x)0f ( x)g( x)g (x)0f ( x)g( x)規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a 1時,af ( x)ag ( x)f ( x) g ( x) 當(dāng)0 a 1時,a f ( x)ag ( x)f (x)g ( x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對數(shù)不等式的解法當(dāng) a 1時 ,f ( x)0當(dāng) 0 a 1時,logaf (x) log a g (x)g( x)0f ( x)g( x)專業(yè)資料整理WORD格式f (x)0l

9、og a f ( x)log a g( x)g (x)0 .f (x)g (x)規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.a (a0)11 、 含 絕 對 值 不 等 式 的 解 法 ：定 義 法 ：a.平方法：a (a0)f (x)g (x)f 2 ( x) g 2 ( x).同解變形法，其同解定理有： xaaxa(a0); xaxa或 xa(a 0); f (x)g( x)g(x)f ( x)g( x) ( g (x)0) f ( x)g (x )f ( x)g( x) 或 f ( x)g ( x) ( g ( x)0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個或兩個以上絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如 ax2bxc0 且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)展分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論 a 與0的大??；討論與 0 的大?。挥懻搩筛拇笮?.14、恒成立問題不等式 ax2bxc0 的解集是全體實數(shù)或恒成立的條件是：當(dāng) a 0 時b0, c 0; 當(dāng) a 0 時a 00.