1、第9章 組合變形組合變形的概念9.1拉伸（壓縮）與彎曲的組合9.2斜彎曲9.3扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合9.49.1 組合變形的概念工程實際中的受力桿件所發(fā)生的變形，經(jīng)常是兩種或兩種以上基本變形的組合，這種變形稱為組合變形。工程中常見的組合變形有下面三種形式：拉伸（壓縮）與彎曲的組合斜彎曲扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合9.1 組合變形的概念在線彈性和小變形的條件下，組合變形可按桿件的原始形狀和尺寸，通過疊加原理求解。即把桿件上的荷載分解為若干個獨立荷載，使每一種荷載只產(chǎn)生一種基本變形，計算桿件在每種基本變形時的某量值（內(nèi)力、應(yīng)力或變形等），將各基本變形時的該量值疊加，可得桿件在原荷載作用下的該量值。9.2 拉伸（壓縮

2、）與彎曲的組合9.2.1 在軸向力和橫向力共同作用下的桿件在軸向力作用下，桿件將發(fā)生軸向拉伸（壓縮）變形；在橫向力作用下，桿件將發(fā)生平面彎曲變形。在軸向力和橫向力共同作用下，桿件將發(fā)生拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形。求解組合變形問題可分為四個步驟：外力分析 通過對外力的簡化和分解，將組合變形分解為幾種基 本變形；內(nèi)力分析 作各基本變形時桿件的內(nèi)力圖，確定危險截面。確定 危險截面時，應(yīng)特別注意彎矩值最大的截面；應(yīng)力分析 分析危險截面在各基本變形時的應(yīng)力，確定危險點；強度計算 根據(jù)危險點的應(yīng)力狀態(tài)，建立強度條件進行強度計算。9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合外力分析 在軸向拉力F作用下桿件發(fā)生軸向拉伸

3、變形，在橫向均布力q作用下桿件發(fā)生平面彎曲變形，在軸向拉力F和在橫向均布力q的共同作用下桿件將發(fā)生拉伸與彎曲的組合變形。內(nèi)力分析 在軸向拉力F作用下，桿件各橫截面上的軸力為FN，在橫向均布力q作用下，桿件跨中截面彎矩最大為Mmax，因此危險截面在跨中。應(yīng)力分析 在軸向力作用下桿件各截面任一點處的正應(yīng)力均相等，如圖所示，其值為NNFA9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合在橫向均布力作用下，桿件跨中截面上的最大正應(yīng)力位于截面上、下邊緣處，如圖所示。其值為maxmax,MzMW 當(dāng)桿件的抗彎剛度EI較大時，橫向力引起的撓度很小，由軸向拉力F引起的附加彎矩可忽略不計。按疊加原理，如圖所示桿件跨中截面上的最

4、大應(yīng)力位于截面的下邊緣處，為拉應(yīng)力，故截面的下邊緣處為危險點，有NmaxmaxNmax,MzFMAW9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合強度計算 桿件危險點處為單向應(yīng)力狀態(tài)，對于抗拉、抗壓能力相同的材料，其強度條件為 NmaxmaxzFMAW9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合【例9.1】三角形托架如圖所示，橫梁AB采用16號工字鋼。已知作用在B點的集中荷載F=10kN，材料的許用應(yīng)力=90MPa，試校核AB梁的強度。【解】：外力分析由橫梁AB的受力圖列出平衡方程0AM0sin302m3m0CFF003m10kN 3m30kNsin302msin302mCFF再由Fx=0和Fy=0求得支座A處的反力2

5、6kNAxF5kNAyF在軸向力FAx和FCx作用下，橫梁AB的AC段發(fā)生拉伸變形；在橫向力FAy、FCy和F作用下，橫梁AB的AC段發(fā)生彎曲變形。所以AC段發(fā)生拉伸與彎曲的組合變形。9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合內(nèi)力分析由AB桿的軸力圖和彎矩圖可知，危險截面為C稍左的截面，其內(nèi)力值為26kNNCF10kN mCM應(yīng)力分析在軸力FNC和彎矩MC單獨作用下，危險截面上的應(yīng)力分布分別如圖所示。根據(jù)疊加后危險截面上的應(yīng)力分布可知，上邊緣各點處的應(yīng)力最大（拉應(yīng)力）。故危險截面上邊緣各點為危險點。9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合強度校核由型鋼表可查得16號工字鋼的截面面積A=26.1cm2，彎曲截面系

6、數(shù)Wz=141cm3，所在危險點處有：由軸力引起的拉應(yīng)力為34226 10 N9.96MPa26.1 10 mNCNFA由彎矩引起的最大拉應(yīng)力為36310 10 N m70.92MPa141 10 mCMzMW總的拉應(yīng)力為max9.96MPa70.92MPa80.9MPaNM max80.9MPa90MPa故橫梁AB滿足強度要求。9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合9.2.2 偏心拉伸（壓縮）當(dāng)荷載作用線只與桿軸線平行而不重合時，桿件將產(chǎn)生偏心拉伸（壓縮）。荷載作用線至桿軸線的距離稱為偏心距。如圖所示廠房立柱，將荷載F向立柱軸線簡化，得到一個軸向壓力F和一個作用在立柱縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶Me=Fe。

7、軸向壓力F使立柱產(chǎn)生軸向壓縮變形，力偶Me使立柱產(chǎn)生平面彎曲變形。因此立柱產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。再如圖所示夾具的豎桿，將產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形。廠房立柱夾具9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合現(xiàn)以圖示具有兩個對稱軸的偏心受拉等直桿為例，分析偏心受力構(gòu)件的強度計算。偏心受壓構(gòu)件9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合外力分析 根據(jù)力的平移定理將作用在桿端A點處的偏心拉力F向截面形心O點簡化，得到軸向拉力F和力偶矩Me，其中Me=Fe。Me可分解為對形心軸y軸的力偶矩Mey和對形心軸z軸的力偶矩Mez，其中Mey=FzF，Mez=FyF 。內(nèi)力分析 在桿件任意橫截面m-m上的內(nèi)力分別為應(yīng)力分析 m-m截

8、面上任意一點B(y,z)處的正應(yīng)力分別為在軸向拉力F作用下桿件發(fā)生軸向拉伸變形，在力偶矩Mey作用下桿件發(fā)生在zox平面內(nèi)的純彎曲變形，在力偶矩Mez作用下桿件發(fā)生在yox平面內(nèi)的純彎曲變形，所以桿件的變形是軸向拉伸和兩個相互垂直平面內(nèi)的純彎曲變形的組合。NFFyeyFMMFzzezFMMFy桿件各橫截面上的內(nèi)力均與m-m截面相同，故桿件各橫截面均為危險截面。在軸力作用下NNFFAA9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合在彎矩作用下MyzFFyzyzMzMyFzzFyyIIII當(dāng)桿件的彎曲剛度EI較大時，按疊加原理B點處的正應(yīng)力為22(1)FFFFyzyzFzzFyyz zy yFFAIIAii應(yīng)力

9、分析的目的是確定危險點，即計算出最大應(yīng)力，由正應(yīng)力計算公式可知離中性軸越遠的點應(yīng)力越大，為此需要確定中性軸的位置。中性軸的位置 將=0代入上式求得中性軸方程為2210FFyzz zy yii由上式可知這個方程是一直線方程，并且坐標(biāo)y和z不能同時為零。因此偏心受拉（受壓）構(gòu)件的中性軸是一條不通過截面形心的直線。9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合強度計算 確定中性軸的位置后，可作兩條與中性軸平行的直線與橫截面的周邊相切，兩切點D1和D2是距離中性軸最遠的點，分別為橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的危險點。工程中很多偏心受力構(gòu)件，其橫截面周邊大多具有棱角，如矩形、工字形等，對于這類有棱角的橫截面，無

10、需確定中性軸的位置，其危險點必定在截面的棱角處，可根據(jù)桿件的變形情況確定危險點。maxmaxmaxmaxtyFFzcyzyzMFzzFyyMFFAIIAWW，對于一般實體梁而言，切應(yīng)力數(shù)值較小，可以不考慮。桿件危險點處仍為單向應(yīng)力狀態(tài)，可按正應(yīng)力強度條件進行強度計算。9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合【例9.2】矩形截面受壓柱，如圖所示。其中F1的作用線與下柱軸線重合，F(xiàn)2的作用線在y軸上，已知F1=F2=80kN，h=300mm，如要求下柱的截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力，求F2的偏心距e的大小?！窘狻浚和饬Ψ治鲇捎贔1的作用線與下柱軸線重合，使下柱產(chǎn)生軸向壓縮變形；F2的作用線不通過下柱截面形心，將其向

11、截面形心簡化后，產(chǎn)生軸向壓力F2和繞z軸的力偶Me=F2e。下柱在原荷載F1、F2共同作用下將產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。內(nèi)力分析下柱橫截面上的內(nèi)力有軸力：1280kN80kN160kNNFFF 彎矩：2eMMF e9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合【例9.2】矩形截面受壓柱，如圖所示。其中F1的作用線與下柱軸線重合，偏的作用線在y軸上，已知F1=F2=80kN，h=300mm，如要求下柱的截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力，求F2的偏心距e的大小?！窘狻浚簯?yīng)力分析下柱橫截面上，在軸力FN和彎矩Me單獨作用下的應(yīng)力分布分別如圖所示，疊加后的最大拉應(yīng)力會出現(xiàn)在AD邊緣上。其值為2,max216NNtzFFF eMA

12、Wbhbh求偏心距e2,max2016NtFF ebhbh2( 160KN) 300mm100mm66 80KNNF heF 當(dāng)偏心壓力作用在y軸上，只要偏心矩e100mm，截面就不會出現(xiàn)拉應(yīng)力。9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合9.2.3 截面核心2210FFyzz zy yii分別取z=0和y=0可計算出中性軸在y、z兩坐標(biāo)軸上的截距ay和az為22,yzyzFFiiaayz 由上式可知：ay、az與yF、zF正負號相反，即中性軸與外力作用點分別在截面形心兩側(cè)；ay、az與yF、zF成反比，即外力偏心距（yF、zF ）越小，ay、az越大，中性軸可能不與橫截面相交，這時橫截面上就只有一種符號

13、的應(yīng)力（與軸力同號的應(yīng)力）。因此，當(dāng)偏心力作用點位于截面形心周圍的某個小區(qū)域內(nèi)時，截面上只出現(xiàn)一種符號的應(yīng)力，截面形心周圍的這個小區(qū)域稱為截面核心。9.2 拉伸（壓縮）與彎曲的組合當(dāng)偏心壓力的偏心距較小時，桿的橫截面上可能只出現(xiàn)壓應(yīng)力，不出現(xiàn)拉應(yīng)力。對混凝土、磚石材料制成的構(gòu)件，由于其抗拉強度遠低于抗壓強度，當(dāng)構(gòu)件偏心受壓時，如果偏心壓力作用在截面核心內(nèi)，就可避免在截面上引起拉應(yīng)力。當(dāng)中性軸與截面周邊相切時，外力作用點在截面核心的邊界上，利用這一關(guān)系可以確定截面核心的邊界。矩形和圓形截面的截面核心，如圖中陰影線所示。9.3 斜彎曲梁在兩個相互垂直的平面內(nèi)產(chǎn)生的平面彎曲的組合稱為斜彎曲。如圖所示

14、矩形截面懸臂梁，梁端作用一集中力F ，F(xiàn)力不在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，而是偏離縱向?qū)ΨQ軸一個角度。9.3 斜彎曲外力分析 將F力沿矩形截面對稱軸y軸和z軸方向分解為內(nèi)力分析 Fy、Fz單獨作用下，在梁任一橫截面m-m上產(chǎn)生的彎矩分別為應(yīng)力分析 Mz、My單獨作用下，在m-m截面上任意點a處產(chǎn)生的正應(yīng)力分別為在Fy、Fz單獨作用下，梁將分別產(chǎn)生繞z軸和y軸的平面彎曲。因此，在Fy 和 Fz共同作用下，梁將產(chǎn)生斜彎曲變形。顯然固定端截面彎矩最大，為危險截面。cosyFFsinzFFsinyzMF xFxcoszyMF xFxzzM yI yyM zI 9.3 斜彎曲由疊加原理，在F力作用下a點處的正應(yīng)

15、力為yzzyM zM yII 上式為斜彎曲梁橫截面上任一點處的正應(yīng)力計算公式。其中Iy和Iz分別為橫截面對兩對稱軸y軸和z軸的慣性矩；y、z分別為所求應(yīng)力點到z軸和y軸的距離。應(yīng)力的正負號可根據(jù)Fy、Fz單獨作用下梁的變形情況來判定。梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸最遠處。中性軸的位置 將=0代入上式求得中性軸方程為0yzzyM zM yII由此可知，斜彎曲梁的中性軸是一條通過橫截面形心的直線。對矩形和工字形等具有雙對稱軸和棱角的截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在截面角點處。9.3 斜彎曲強度計算 對于圖示矩形截面梁，固定端截面的右上角點B處和左下角點C處分別為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的危險點，其值

16、為maxmaxmaxmaxtyyzzczyzyMzMMyMIIWW ，由于危險點處為單向應(yīng)力狀態(tài)，可按正應(yīng)力強度條件進行強度計算。變形計算 在Fy、Fz單獨作用下，梁將分別產(chǎn)生沿y軸和z軸的撓度，梁自由端最大撓度為33cos33yyzzF lFlvEIEI33sin33zzyyF lFlvEIEI總撓度為上述兩個相互垂直方向撓度的矢量和，即22yzvvv9.3 斜彎曲【例9.3】一木屋架上的木檁條，為bh=120180mm2的矩形截面，跨度l=4m，簡支在屋架上，承受屋面荷載q=2kN/m（包括檁條自重），如圖所示。已知材料的許用應(yīng)力=10MPa，試校核該檁條的強度。9.3 斜彎曲外力分析內(nèi)力

17、分析【解】：0sin2KN/m sin26 340.89KN/mzqq0cos2KN/m cos26 341.79KN/myqq22110.89KN/m (4m)1.78KN m88yzMq l22111.79KN/m (4m)3.58KN m88zyMq l應(yīng)力分析max223333233211663.58 10 N m1.78 10 N m11120 10 m (180 10 m)180 10 m (120 10 m)669.64MPayyzzzyMMMMWWbhhb強度校核 max9.64MPa10MPa故該檁條滿足強度要求。9.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合如圖所示為一處于水平位置的直角曲拐，將

18、集中力F向AB桿的B截面形心平移，得到一個力F和一個作用面垂直于AB桿軸線的力偶，AB桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形。9.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合由AB桿的彎矩圖和扭矩圖可知，A截面為危險截面，其上必存在彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。由A截面的應(yīng)力分布圖可知，C、D兩點為危險點。C點的應(yīng)力狀態(tài)，如圖所示。對由塑性材料制成的軸，在危險點C、D中只需校核一點的強度即可。C點處于平面應(yīng)力狀態(tài)。對于平面應(yīng)力狀態(tài)，按第三、第四強度理論建立的強度條件為 2234r 2243r對圓截面桿zMWtpMW2pzWW 223trzMMW 2240.75trzMMW9.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合【例9.4】某傳動鋼軸，如圖所示。已知圓

19、軸直徑d=50mm，鋼材的許用應(yīng)力=150MPa，試按第四強度理論校核該軸的強度?！窘狻浚和饬Ψ治鰣A軸在Me作用下受扭，在F1、F2作用下受彎，其變形是扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形。內(nèi)力分析軸的扭矩圖和彎矩圖，如圖所示。由此可知，B截面為危險截面。該截面上的內(nèi)力值為1.2KN mM 1KN mtM 9.4 扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合【例9.4】某傳動鋼軸，如圖所示。已知圓軸直徑d=50mm，鋼材的許用應(yīng)力=150MPa，試按第四強度理論校核該軸的強度?！窘狻浚簭姸刃：?22432323 30.75(1.2 10 )0.75 (1 10 )(50 10 ) /32121MPa150MPatrzMMW故該軸強度滿足要求。p 本章小結(jié) 組合變形問題的求解方法 組合變形由幾種基本變形組合而成。求解組合變形問題的基本方法是“分”與“合”，即外力分解和某量值（內(nèi)