1、前面講了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。結(jié)構(gòu)模型描述系統(tǒng)中包含哪些要素、要素之間的關(guān)系是什么。對(duì)一個(gè)系統(tǒng)更深入的研究還應(yīng)該研究系統(tǒng)內(nèi)部各種數(shù)量關(guān)系。例如一個(gè)企業(yè)，其結(jié)構(gòu)模型需要描述這個(gè)企業(yè)由哪些部門(mén)構(gòu)成，哪個(gè)部門(mén)與哪個(gè)部門(mén)通過(guò)業(yè)務(wù)相互關(guān)聯(lián)。同時(shí)還應(yīng)該研究，企業(yè)每年的投入是多少、利潤(rùn)有多少、投入在各個(gè)部門(mén)是怎么分配的、怎樣的投入分配能夠產(chǎn)生更大的利潤(rùn)，等等。這種數(shù)量關(guān)系的基本描述：系統(tǒng)系統(tǒng)輸入輸入X輸出輸出Y環(huán)境環(huán)境根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出的描述，可以從系統(tǒng)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)層面來(lái)考察系統(tǒng)。系統(tǒng)靜態(tài) 系統(tǒng)相對(duì)靜止的狀態(tài)，系統(tǒng)的變量不隨時(shí)間變化。系統(tǒng)靜態(tài)模型反映系統(tǒng)變量在靜態(tài)下關(guān)系的模型。系統(tǒng)靜態(tài)意味著輸入和輸出變量都和時(shí)間

2、無(wú)關(guān)，因此系統(tǒng)靜態(tài)模型一般可以表示為代數(shù)方程或者代數(shù)方程組： y = f(x)其中y為輸出向量，x為輸入向量；在線性情況下，可表示為y=Ax+bn對(duì)于復(fù)雜的大系統(tǒng)，一般是分解成子系統(tǒng)或單元，先寫(xiě)出它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后再進(jìn)行合并，形成整個(gè)系統(tǒng)的模型。n對(duì)于工程科學(xué)，有不少分解和描述的方法，如電力系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等；n在生物學(xué)、生態(tài)學(xué)中，分解出來(lái)的單元稱(chēng)為房室。如研究森林中的食物鏈； n對(duì)工業(yè)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可劃分生產(chǎn)分配單元。n這種單元小到一個(gè)生產(chǎn)裝置，大到一個(gè)車(chē)間、工廠、行業(yè)?？偸怯休斎搿⒂休敵?，先對(duì)它加以描述，再按生產(chǎn)順序加以聯(lián)接，合并出系統(tǒng)的模型方程。1）單元的描述：分析每一個(gè)單元的流入流出的

3、平衡關(guān)系。以一個(gè)由n個(gè)單元構(gòu)成的生產(chǎn)系統(tǒng)為例。研究其中的第i個(gè)單元。以變量xi表示該單元的狀態(tài)；以fij和Ii分別表示來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部第j個(gè)單元以及系統(tǒng)外部的輸入流的流量；分別以fji和foi表示該單元流向系統(tǒng)內(nèi)部的第j個(gè)單元以及流向外部的輸出流流量。對(duì)單元i，根據(jù)物料平衡關(guān)系，有：nijjnijjoijiiijffIf, 1, 10為把單元i的活動(dòng)水平在平衡方程中顯式地表示出來(lái)，令 aij=fij/xj，aji=fji/ xi，aoi=foi/ xi，則上式可變換為： nijjnijjioiijiijijxaxaIxa, 1, 10對(duì)每個(gè)單元的流入流出通過(guò)上述方程進(jìn)行描述。這些方程在整體上構(gòu)成了

4、系統(tǒng)的單元描述。作為整個(gè)系統(tǒng)的描述，進(jìn)而還必須建立起流的平衡關(guān)系。2）流的匹配與平衡： 物質(zhì)生產(chǎn)系統(tǒng)中，各單元的聯(lián)系主要是物流。一個(gè)活動(dòng)的某種輸出，分配給其它單元，同樣也需要來(lái)自其它單元的輸入維持其活動(dòng)。n如果我們把系統(tǒng)的各物流加以分析，可以看到每種物流都應(yīng)保持一種平衡關(guān)系。n如研究系統(tǒng)中某流j的輸入、輸出關(guān)系。n流j的輸入是單元i的產(chǎn)出fji，流j的輸出分別是單元l和單元k的輸入flj和fkj。那么，對(duì)該流來(lái)說(shuō)顯然有n fji-flj-fkj=0，或者 aji xi alj xj akj xk =0n如果在整個(gè)系統(tǒng)中有多個(gè)單元產(chǎn)生物料j， 又有多個(gè)單元需要j物料維持其活動(dòng)，那么對(duì)物流j的平衡

5、關(guān)系為 j=1，naji xi - j=1，naij xj =0n這里所說(shuō)的匹配，是指按物流名建立平衡關(guān)系，每種物流只有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的平衡方程，不同單元的同名輸入、輸出流應(yīng)在同一個(gè)物流平衡方程中。n3）根據(jù)需要，建立描述型模型（仿真模型）或規(guī)范型模型（優(yōu)化模型）。單元模型和流平衡模型綜合起來(lái)構(gòu)成了系統(tǒng)的靜態(tài)模型。任何生產(chǎn)過(guò)程都是一定的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、技術(shù)條件下，一組投入要素轉(zhuǎn)化為產(chǎn)出的過(guò)程的，生產(chǎn)函數(shù)表達(dá)的正是這個(gè)過(guò)程中投入與產(chǎn)出的關(guān)系。一般說(shuō)來(lái)，生產(chǎn)函數(shù)描述多種投入與一種產(chǎn)出的關(guān)系。最初的生產(chǎn)函數(shù)模型：Y=F（K，L） 即產(chǎn)出（Y）與投入的資本（K）及勞力（L）之間的關(guān)系。生產(chǎn)系統(tǒng)資本勞力經(jīng)濟(jì)產(chǎn)

6、出知識(shí)生產(chǎn)函數(shù)一般是自變量的連續(xù)函數(shù)，通常滿足的假設(shè)條件對(duì)于生產(chǎn)函數(shù) y=f(x1,x2,xn)1）任何一種資源缺乏都會(huì)使產(chǎn)出為零，即當(dāng)任意xi=0 (i=1,2,n), f(x1,x2,xn)=02） 任何資源增加都不會(huì)使產(chǎn)出減少，即：nixfi,.2 , 1, 03） 邊際效益遞減，即隨著資源投入的增加，產(chǎn)出增長(zhǎng)率逐步降低：4） 規(guī)模報(bào)酬可以是任意的。nixfxii,.2 , 1, 0)(規(guī)模報(bào)酬：生產(chǎn)的投入要素成比例增加時(shí)，產(chǎn)出變化的大致趨勢(shì)。有三種情況：若 規(guī)模報(bào)酬不變?nèi)?規(guī)模報(bào)酬遞增若 規(guī)模報(bào)酬遞減),(),(LKFLKF),(),(LKFLKF),(),(LKFLKFn投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)

7、模型通過(guò)編制投入產(chǎn)出表，運(yùn)用線性代數(shù)工具建立數(shù)學(xué)模型，從而揭示國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門(mén)、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并據(jù)此進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析、預(yù)測(cè)和安排預(yù)算計(jì)劃。n按計(jì)量單位不同，該模型可分為價(jià)值型和實(shí)物型。n投入產(chǎn)出模型應(yīng)用生產(chǎn)與分配互相平衡的原理，來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)一定期限內(nèi)國(guó)民經(jīng)濟(jì)對(duì)各種產(chǎn)品的需要量及其發(fā)展速度和比例關(guān)系。n其基本模型如表51所示。 投入產(chǎn)出表描述了各經(jīng)濟(jì)部門(mén)在某個(gè)時(shí)期投入產(chǎn)出表描述了各經(jīng)濟(jì)部門(mén)在某個(gè)時(shí)期的投入產(chǎn)出情況。它的的投入產(chǎn)出情況。它的行表示某部門(mén)的產(chǎn)出；表示某部門(mén)的產(chǎn)出；列表示某部門(mén)的投入。如表表示某部門(mén)的投入。如表5.1中第一行中第一行x1表表示部門(mén)示部門(mén)1的總產(chǎn)出水平，的總產(chǎn)出水平

8、，x11為本部門(mén)的使用為本部門(mén)的使用量，量，x1j (j=1,2,n)為部門(mén)為部門(mén)1提供給部門(mén)提供給部門(mén)j的使用的使用量，各部門(mén)的供給最終需求（指積累和消費(fèi)的總和量，各部門(mén)的供給最終需求（指積累和消費(fèi)的總和,包括包括居民消耗、政府使用、出口和社會(huì)儲(chǔ)備等）為居民消耗、政府使用、出口和社會(huì)儲(chǔ)備等）為yj(j=1,2,n)。這幾個(gè)方面投入的總和代表了這這幾個(gè)方面投入的總和代表了這個(gè)時(shí)期的總產(chǎn)出水平。個(gè)時(shí)期的總產(chǎn)出水平。新增價(jià)值指國(guó)民收入的價(jià)值構(gòu)成，包括勞動(dòng)報(bào)酬和社會(huì)新增價(jià)值指國(guó)民收入的價(jià)值構(gòu)成，包括勞動(dòng)報(bào)酬和社會(huì)純收入純收入(V十十M)兩個(gè)部分。兩個(gè)部分。n21n21nyyy21nxxx21nnnn

9、nnxxxxxxxxx212222111211nnnzzzmmmvvv212121nxxx21 消耗部門(mén)外界需求總產(chǎn)出煤 礦電 廠鐵 路生產(chǎn)部門(mén)煤礦0365061558250000102088電廠25522280828332500056163鐵路2552228080028330新創(chuàng)造價(jià)值51044140419915 總投入1020885616328330nnnnnnnnxyxxxxyxxxxyxxx2122222211111211nixyxiinjij, 2 , 11以生產(chǎn)函數(shù)模型為例，通常需要分析投入要素的改變對(duì)于產(chǎn)出要素的影響。邊際分析用于分析單位投入的變化對(duì)于產(chǎn)出的意義。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，用單

10、變量生產(chǎn)函數(shù)作說(shuō)明。假設(shè)在某一點(diǎn)(x,y), 投入增加x，相應(yīng)的產(chǎn)出變化為y。y/ x 稱(chēng)為邊際產(chǎn)出稱(chēng)為邊際產(chǎn)出M，當(dāng)x0，這個(gè)比值成為y對(duì)于x的導(dǎo)數(shù)：M=df(x)/dx。根據(jù)這一導(dǎo)數(shù)大于、等于或小于0，可以分析生產(chǎn)函數(shù)的邊際效益。yxyx在多種投入的生產(chǎn)函數(shù)中，有時(shí)需要分析資源的替代性。為了達(dá)到同樣的產(chǎn)出，可以有不同的投入組合。資源可以替換?？紤]二元的情況，假設(shè)系統(tǒng)為y=f(x1,x2)。這樣，對(duì)應(yīng)于y為常數(shù)的情況，可以在x1,x2平面上畫(huà)出x1與x2的關(guān)系曲線，即等y值線。x2x1211d2ddxxyxxyy在等y值線中，dy=0,因此：211d2dxxyxxy令：2211,mxxymxxy