1、證明三角形全等的常見思路全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，全等三角形的學(xué)習(xí)是幾何入門最關(guān)鍵的一步，這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的好壞直接影響著今后的學(xué)習(xí).而一些初學(xué)的同學(xué)，雖然學(xué)習(xí)了幾種判定三角形全等的公理和推論，但往往仍不知如何根據(jù)已知條件證明兩個(gè)三角形全等.通過對(duì)以下幾種證明三角形全的分析，體會(huì)常見思路。知識(shí)點(diǎn)睛全等三角形 的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，(對(duì)應(yīng)線段相等)對(duì)應(yīng)邊上的中線相 等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等.尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1) 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.(2) 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾

2、的角是對(duì)應(yīng)角.(3) 有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊.(4) 有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角.(5) 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角.(6) 兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角).要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵.全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(2) 角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等 的兩個(gè)三角形全等.(3) 邊邊邊定理(SSS):三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(4) 角角邊定理(AAS):兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角

3、形全等.(5) 斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.2.證題的思路: 2找夾角（SASSAS）已知兩邊彳找直角（HLHL） 找第三邊（SSSSSS若邊為角的對(duì)邊，則找任意角（AASAAS） “厶我已知角的另一邊（SASSAS）已知一邊一角 j j 邊為角的鄰邊彳找已知邊的對(duì)角（AASAAS） 找夾已知邊的另一角（ASAASA）斤*禺找兩角的夾邊（ASAASA）已知兩角丿找任意一邊（AASAAS）全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題,在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線.一、已知一邊與其一鄰角對(duì)應(yīng)相等1.證已 知角的另一邊

4、對(duì)應(yīng)相等，再用 SAS 證全等.例 1 已知：如圖 1，點(diǎn) E、F 在 BC 上，BE=CF AB=DC/ B=ZC .求證:AF=DE證明/ BE=CF 已知)， BE+ EF=CF+EF 即 BF=CE.在厶 ABF 和厶 DCE 中,ZB=CD己知）t=ZC（已知）,EF =CE已證)ABFA DCE(SAS). A F=DE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.2.證已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng) 相等，再用 ASA 證全等.例 2 已知：如圖 2, D 是厶 ABC 的邊 AB 上一點(diǎn)，DF 交 AC 于點(diǎn)E, DE=FE FC/ AB.求證：AE=CE證明 FC / AB（已知），/ ADENCFE（兩

5、直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.在厶 ADED CFE 中，rZADE = ZCFE（己證），* DE二FE（己知）ZAED=ZCEF（對(duì)頂角相等）B 4 ADEACFE（ASA）. AE=CE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）3.證已知邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，再用 AAS 證全等.例 3 （同例 2）.證明/ FC / AB（已知），/ A=ZECF（兩直線平 行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.在厶 ADEDACFE 中，ZAZECF己證），斗ZAED = ZCEF對(duì)頂角相等）,DE = FE（已知）ADEACFE（AAS）.AE=CE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.二、已知兩邊對(duì)應(yīng)相等1.證兩已知邊的夾角對(duì)應(yīng)相等，再 用 SAS 證等

6、.例 4 已知：如圖 3, AD=AE 點(diǎn) D E 在 BC 上，BD=CE /仁/2 .求證： ABDAACE證明/仁/2（已知），/ ADB=180 - / 1,/ AEC=180 - / 2（鄰補(bǔ)角定義）, / ADB = / AEC在厶 ABDDAACE 中，（AD=AE（已知），ZADB= ZAEC（己證），BD = CE（己知）， ABDAACESAS）.2.證第三邊 對(duì)應(yīng)相等，再用 SSS 證全等.例 5 已知：如圖 4,點(diǎn) A、C B D 在同一直線上， AC=BD AM=CN BM=DN 求證：AM/ CN, BM/ DN證明/ AC=BD（已知）B 4 AC+BC=BD+B

7、C 即卩 AB=CD.在厶 ABMm CDN 中,rAM = CN（己知）BM = DN（己知）AB-CD（己證） ABMACDN（SSS） /A=ZNCD / ABM2D（全等三角應(yīng)角相等）, AM/ CN BM/ DN（同位角相等，兩直線平行）. 三、已知兩角對(duì)應(yīng)相等1.證兩已知角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，再用ASA 證全等.例 6 已知：如圖 5，點(diǎn) B、F、C E 在同一條直線上,/B=ZE,ZACB=ZDFE.求證：AB=DE, AC=DF.證明/ F B=CE（已知） FB+FC=CE+FC 即 BC=EF,FB=CE2B=ZE（已知）在AABCZXDEF中丄BC = EF（已證），ZACB

8、 = /DFE（已知） ,ABCADEF（ASA）. AB=DE AC=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）2.證一已知角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，再用AAS 證全等.例 7 已知：女口圖 6, AB CD 交于點(diǎn) 0,E、F 為 AB 上兩點(diǎn)，0A=0B 0E=0FZA=ZB,證： ACEABDF.證明/ 0A=0B 0E=0F 已知）， 0A-0E=0B-0JF 即 AE=BF,在厶 ACE BDF 中,ZA=ZB（己知），ZACE = ZBDF（己知）fAE = BF己證LACEABDF （AAS） .四、已知一邊與其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則可證另一角對(duì)應(yīng)相等，再利用 AAS 證全等例 8 已知：如圖 7,在厶 ABC 中，B、D、E、C 在一條直線上， AD=AE / B=ZC.求證: ABD ACE.證明 AD=AE（已知）/仁/ 2（