1、新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國(guó)最大型、最專(zhuān)業(yè)的中小學(xué)教育資源門(mén)戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)角的平分線【基礎(chǔ)知識(shí)精講】角平分線是過(guò)角的頂點(diǎn)，且在角的內(nèi)部的一條射線，它把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，它與角的兩邊三線共點(diǎn).（角的頂點(diǎn)）角平分線是到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合關(guān)于這一點(diǎn)需從兩個(gè)方面去說(shuō)明：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上進(jìn)而推廣到一般，若要證明某一圖形 B 是滿足條件 A 的點(diǎn)的集合，要說(shuō)明兩點(diǎn)：圖形B 上的所有點(diǎn)滿足條件 A.滿足條件 A 的所有點(diǎn)都在圖形 B 上.關(guān)于命題“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等”的證明，先要分清題目

2、的題設(shè)部分及結(jié)論部分依照命題準(zhǔn)確作出圖形，寫(xiě)出已知、求證，再利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明，這也是證明 一個(gè)命題（定理）的幾個(gè)基本步驟角平分線性質(zhì)定理及其逆定理（判定定理）的證明分別利用了全等三角形中“AAS ”定理及“ HL”公理本節(jié)還介紹了互逆命題及互逆定理，兩個(gè)命題若條件（題設(shè)）與結(jié)論位置互換，即一個(gè) 命題條件是另一個(gè)命題的結(jié)論，同時(shí)它的結(jié)論是另一命題的條件，則兩命題互為逆命題.若一個(gè)定理的逆命題是真命題，則稱(chēng)逆命題為該定理的逆定理這兩個(gè)定理互為逆定理.應(yīng)當(dāng)注意，每個(gè)命題都有逆命題，每個(gè)定理也有逆命題，但不一定有逆定理，只有當(dāng)逆 命題正確而成為定理時(shí)，才是原定理的逆定理一個(gè)命題的正確與否與它的逆命

3、題正確與否無(wú)關(guān)難點(diǎn)：是“角平分線是到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合”這一結(jié)論的理解及運(yùn)用例 1 ABC 中，/ C=90, AD 為角平分線，BC=64, BD : DC=9 : 7,求 D 到 AB 的 距離（圖3.9-1）圖 3.9-1分析 設(shè) DE 為 D 到 AB 的距離，由角平分線性質(zhì) CD=DE，再由已知可求 CD、DE. 解 作 DE 丄AB 于 E,vZC=90 ,DC 丄 AC，又 AD 為/ BAC 平分線，二 DC=DE,BC=64 , BD : DC=9 : 7 DC= X64=28 DE=2816例 2 求證：三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn).分析 此類(lèi)命題證明需先作圖，寫(xiě)出已

4、知、求證，再根據(jù)條件進(jìn)行證明證明三直線共點(diǎn)，常用方法之一為二直線的交點(diǎn)必在第三條直線上，此題中，可考慮如圖 3.9-2，設(shè)/ ABC 與/ ACB 的平分線交于 0,再證 AO 平分/ BAC.新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國(guó)最大型、最專(zhuān)業(yè)的中小學(xué)教育資源門(mén)戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)圖 3.9-2已知： ABC 中，AA BB CC為角平分線，求證 AA BB CC交于一 占八、-證 設(shè) BB , CC 交于 0,過(guò) O 分另吐乍 OD 丄 BC 于 D, DE 丄 AC 于 E, OF 丄 AB 于 F, / 0 在/ ABC 平分線上， OD=OF.0 在/ A

5、CB 平分線上， OE=OD OE=OF. O 在/ BAC 平分線上，即 O 在 AA 上， AA , BB , CC 交于一點(diǎn) 注：該點(diǎn)稱(chēng)為三角形內(nèi)心例 3 定理“末位數(shù)字為 0 的整數(shù)能被 5 整除”是否存在逆定理？請(qǐng)說(shuō)明理由 .分析 先寫(xiě)出逆命題：“能被 5 整除的整數(shù)末位數(shù)字是 0 ”，再說(shuō)明逆命題的真假，顯然這是一個(gè)假命題，我們只需舉一反倒即可，例如15 能被 5 整除，但末位數(shù)字為 5,故逆命題為假命題，因此原定理沒(méi)有逆定理例 4 判斷命題“兩整數(shù)相加，和為整數(shù)”的逆命題的真假111 5解 逆命題為“和為整數(shù)，則兩加數(shù)必為整數(shù)”，它是一個(gè)假命題，女“-+-=1,1+- =2”2

6、23 3等，都能說(shuō)明逆命題為假命題 .【難題巧解點(diǎn)撥】例 1 ABC 的周長(zhǎng)為 41cm,邊 BC=17cm,角平分線 AD 將厶 ABC 分為面積比為 3 : 5 的兩部分，且 ABvAC，求 AB , AC.(圖 3.9-3)分析 設(shè)AB=x,AC=y,則有 X+y+17=41，而SAABD:SAADC=3 : 5,此條件不好利用，故考 慮 AD 為角平分線，它到兩邊的距離相等，即ABD 中 AB 邊上的高， ADC 中 AC 邊上的高相等，從得求出 x : y,進(jìn)而求出 x,y.解 作 DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F.vAD 為角平分線 DE=DF11 ABvAC，:

7、SABD: SADC=(DEAB)：(一 DFAC)=AB:AC=3:522 x+y+17=41 x:y=3:5 (xvy) x=9,y=15 即 AB=9cm, AC=15cm.例 2“三角形兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊距離相等”這一命題的逆命題是真命新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國(guó)最大型、最專(zhuān)業(yè)的中小學(xué)教育資源門(mén)戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)題還是假命題？新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國(guó)最大型、最專(zhuān)業(yè)的中小學(xué)教育資源門(mén)戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)分析 先要寫(xiě)出逆命題：到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)該命題是一個(gè)假命題例如：圖

8、3.9-4，P ABC 的兩外角/ MBC 和/ NCB 的角平分線交點(diǎn)此時(shí) P 到三邊 AB、AC、BC 的距離 PD=PF=PE.而 P 不為 ABC 的內(nèi)角平分線交點(diǎn).注意：不要誤以為過(guò)點(diǎn)向 ABC 三邊的作垂線那么垂足一定都落在邊上，也可落在邊 延長(zhǎng)線上，從這里入手證明逆命題為一假命題.【同步達(dá)綱練習(xí)】一、判斷(3 分X8=24 分)()1.P 為/ AOB 內(nèi)一點(diǎn)，C 在 OA 上, D 在 0B 上，若 PC=PD 貝U0P 平分/ AOB.()2.到角兩邊距離不相等的一點(diǎn)一定不在角平分線上()3. 因?yàn)椤叭齼?nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是假命題，所以它的逆命題也是假命題()4.三

9、角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等()5.任何命題都有逆命題.()6.任何定理都有逆定理.()7.“三角形三條角平分線交點(diǎn)到三邊距離相等”這個(gè)命題的逆命題是真命題.()8.有命題“若 x=y，則 x2=y2”的逆命題是個(gè)假命題.二、填空(4 分X8=32 分)1.角平分線是到角的兩邊相等的所有點(diǎn)的2._ 三角形三內(nèi)角平分線，該點(diǎn)到三邊的距離_3._ “對(duì)頂角相等”的逆命題是，它是一個(gè)命題.4. P 在/ M0N 勺角平分線上，PA 丄 OM 于 A, PB 丄 0N 于 B, PA+PB=12 貝 U PA=, PB= .5. 一個(gè)定理的 _是正確的時(shí)，我們稱(chēng)它為原定理的.6

10、._ “直角三角形有兩個(gè)角是銳角”這個(gè)命題的逆命題是 _ ，它是一個(gè)命題.7. 定理“同位角相等，兩直線平行”的逆定理是 _ ._三、選擇(5 分X6=3 分)1.下列說(shuō)法正確的是()A.每個(gè)命題都有逆命題B.每個(gè)定理都有逆定理12.P、Q 為/ AOB 內(nèi)兩點(diǎn)，且/ AOP=z POQNQOB= / AOB PML 0A 于 M QNL OB 于 N, PQ!C.真命題的逆命題也是真命題D.假命題的逆命題是假命題新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國(guó)最大型、最專(zhuān)業(yè)的中小學(xué)教育資源門(mén)戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)OP,則下面結(jié)論正確的是()A.P M QMB.P M=QNC.

11、PM3. 下列關(guān)于三角形角平分線的說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.兩角平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)C.兩角平分線交點(diǎn)到三邊距離相等4. 下列命題中，正確的命題有幾個(gè)()3vQND.P M=PQ()B.兩角平分新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國(guó)最大型、最專(zhuān)業(yè)的中小學(xué)教育資源門(mén)戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)對(duì)頂角相等；相等的角是對(duì)頂角；不是對(duì)頂角的兩個(gè)角就不相等：不相等的角不 是對(duì)頂角圖 3.9-62.AABC 的外角/ CBD，/ BCE 的角平分線交于點(diǎn) F,求證 AF 平分/ BAC.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.如圖 3.9-7, AB=AC , AD=AE , BD、CE 交于 O,求證 AO 平分

12、/ BAC.A.1 個(gè)B.2 個(gè)5設(shè) a,b 為實(shí)數(shù)，下面四個(gè)命題.若 a b,則 a2 b2若ab,則 a2b2C.3 個(gè)D.0 個(gè)若 a2b2,貝 y ab若 a2b2則ab其中正確的有（）A.1 個(gè)B.2 個(gè)6.下列命題真命題是（）A.同位角相等C.不相等的角不是內(nèi)錯(cuò)角四、解答題（7 分X2=14 分）1.如圖 3.9-6, P 為/ A0B 內(nèi)一點(diǎn), 求證/ AOP= / BOP.C.3 個(gè)D.4個(gè)B.同旁內(nèi)角相等，兩直線平行D.同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行OA=OB，且 OPA 與厶 OPB 面積相等,新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國(guó)最大型、最專(zhuān)業(yè)的中小學(xué)教

13、育資源門(mén)戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)24 ABC 中，AB=BC=CA ,三內(nèi)角平分線交于 0, 0P 丄 AB 于 P, OM 丄 BC 于 M , 0N 丄 CA 于 N , AH丄 BC 于 H.求證 OP+OM+ON=AH.【生活實(shí)際運(yùn)用】1如圖（3.9-8），某鐵路 MN 和公路 PQ 相交于點(diǎn) 0,且交角為 90 ,某倉(cāng)庫(kù) G 在 A 區(qū)，到公 路、鐵路距離相等（即 G 在/ NOQ 的平分線上），且到公路與鐵路的相交點(diǎn)O 的距離為200m.（1）在圖上標(biāo)出倉(cāng)庫(kù) G 的位置（比例尺 1 ： 10000,用圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）:（2）求出倉(cāng)庫(kù) G 到鐵路的實(shí)際距離.參考

14、答案：【同步達(dá)綱練習(xí)】一、 1.X2.V3.X4.X56.X7.X8二、 1.距離，集合2.交于一點(diǎn)，相等3.相等的角是對(duì)頂角，假4.6 , 65.逆命題，逆定理 6.有兩個(gè)銳角的三角形是直角三角形，假7.兩直線平行，同位角相等三、 1.A2.C3.D4.B5.B6.D四、 1.作 PM 丄 OA 交 OA 延長(zhǎng)線于 M PN 丄 OB 交 OB 延長(zhǎng)線于 N.FM , FP, FN.易證 FM=FP=FN，再利用角平分線性質(zhì)可得結(jié)論.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.作 OM 丄 AB 于 M , ON 丄 CD 于 N. AB=AC / BAD= / CAE. AD=AE S4OPA=S4OPB1PM= 一 OB PN OA=OB2 PM=PNAOP= / BOP2.提示：過(guò) F 分別作三邊的垂線新世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng)新世紀(jì)教育網(wǎng)-中國(guó)最大型、最專(zhuān)業(yè)的中小學(xué)教育資源門(mén)戶網(wǎng)站。版權(quán)所有新世紀(jì)教育網(wǎng) ABD =