1、一、知識(shí)概要1、熱力學(xué)第一定律對(duì)于理想氣體等值過(guò)程的應(yīng)用mimRTCVTM2MR8.31J/(molK).等壓過(guò)程等壓過(guò)程的特征是氣體壓強(qiáng)保持不變,由熱力學(xué)第一定律可得,在等壓變化過(guò)程中氣體與外界交換的熱量為5一;而雙原子分子氣體,37一；多原子分子氣體那么有58.CV、Cp及均6只與氣體分子的自由度有關(guān)而與氣體溫度無(wú)關(guān).于溫度,故E0,由熱力學(xué)第一定律可知在等溫變化過(guò)程中氣體與外界交換的熱量為專題 16 熱力學(xué)根底miVRTM2i2RT2mCpMpCp稱做定壓摩爾比熱容,CpCV,CpR,而CV稱為比熱容比.對(duì)于單原子分等容過(guò)程等容過(guò)程的特征是氣體體積保持不變,V0,故W0,由熱力學(xué)第定律可

2、知,在等容過(guò)程中,氣體與外界交換的熱量等于氣體內(nèi)能的增量:CV稱做定容摩爾比熱容,CVi為分子的自由度,對(duì)于單原子分子氣體,i3；對(duì)于雙原子分子氣體,而對(duì)于多原子分子氣體i6.R為摩爾氣體常數(shù),子氣體,等溫過(guò)程等溫過(guò)程的特征是氣體溫度保持不變,T0,由于理想氣體的內(nèi)能取決W.理想氣體在等溫變化中,pVCTRT,設(shè)氣體體積從V1膨脹到V2,壓p1減小到P2,所做的功為W,將這個(gè)功n(n)等分,每份元功CTVT (Vi1V1ViW,、小,兩邊取n次萬(wàn)得nCT時(shí),lim(1絲0OCTWOCTV2V1OCT(10CTnCTW)WCT一V2WCTln2V1mV2RTln一MV1mRTln%Mp2mV2m

3、p1那么QRTlnRTln1oMV1Mp2絕熱過(guò)程氣體在不與外界發(fā)生熱交換的條件下所發(fā)生的狀態(tài)變化稱做絕熱過(guò)程,而此元過(guò)程氣體做元功為量,此稱泊松方程.通過(guò)pVmRT消去泊松方程中的p或V,可彳導(dǎo)VM常量.絕熱過(guò)程的這三個(gè)方程中,常量各不相同,大小與氣體的質(zhì)量及初始狀態(tài)相關(guān),絕熱過(guò)程中P、V、其特點(diǎn)是Q0,由熱力學(xué)第一定律可得WECVToM絕熱過(guò)程中氣體方程為pV那么對(duì)某一元過(guò)程有piV1pVipi1(Vi1Vi)Vi(pi1pi)mMR(T-TJ；那么有pi1(Vi1Vi)Vi(pi即有V1VVipi1pi假設(shè)令Vi1ViViV1VI(1同理可得AInpi1(Vi1Vi)mMCV(TTiPi

4、)0.pi1(Vi1CVSR(1A為一定值那么有Vi1n)(1A)np1,可知在絕熱過(guò)程中氣體的壓強(qiáng)與體積有關(guān)系p2)Pi1(Vi1lnV21P1V1Vi),pV1T恒量；1T均改變,我們可根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì),適當(dāng)?shù)剡x取較方便的來(lái)應(yīng)用.理翔氣體管等值過(guò)程和務(wù)方過(guò)程有關(guān)規(guī)律一Jfi過(guò)舀越胄方程內(nèi)理醉容0貴-野樂(lè)苧XVi-ViXTi) )IM!-CvTl-T|!粵風(fēng)京RTIn需*皿音奇夫Th%需無(wú)TM專0建培VTTT事pr-1T-v01-既BvTiTV*明二整7士,一1昔 3-mn-l-Cv多方過(guò)程我們可用pVn常量(n為一常量,稱多方指數(shù))來(lái)表示氣體發(fā)生狀態(tài)變化的實(shí)際過(guò)程,n1時(shí)為等溫過(guò)程；n時(shí)為絕

5、熱過(guò)程；n0時(shí)為等壓過(guò)程；當(dāng)n時(shí)為等容過(guò)程.凡可滿足pVn常量關(guān)系的過(guò)程均稱為多方過(guò)程.通常的氣體變化過(guò)程均為多方過(guò)程,而等值過(guò)程只是多方過(guò)程的特例.在多方過(guò)程中氣體從狀態(tài)p1VV1進(jìn)入斗犬態(tài)p2、V2,所做的功為W體內(nèi)能的增量為ECV(T2T1),由熱力學(xué)第一定律知MQEW詈CV(T2T1)pMp2V2詈CV(T2T1)Mn1M假設(shè)以C表示多方過(guò)程的摩爾比熱容,那么有QC(T2T1),M(1)CV,可得八八R(n)RCCV-.Vn1(n1)(1)2、熱力學(xué)第二定律循環(huán)過(guò)程假設(shè)一系統(tǒng)由某一狀態(tài)出發(fā),經(jīng)過(guò)任意的一系列的過(guò)程,最后又回到原來(lái)的狀態(tài),這樣的過(guò)程稱為循環(huán)過(guò)程.川循環(huán)過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外所做的

6、功如下圖為某一系統(tǒng)的準(zhǔn)靜、弓廠pVlp2V2n1R(TI丁2).n1由上兩式并注意到態(tài)循環(huán)過(guò)程.在膨脹過(guò)程AC1B段,系統(tǒng)對(duì)外所做的功W1是正的,其數(shù)值與面積ACiBNMA相等；在壓縮過(guò)程BC2A段,系統(tǒng)對(duì)外做功岫為負(fù),其數(shù)值與面積BC2AMNB相等.在一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功W就是這兩段功的代數(shù)和上述兩個(gè)“面積的差,即W皿W2面積ACiBNMA面積BC2AMNB面積AC1BC2A.可見(jiàn),在一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功,數(shù)值上等于圖所示pV圖中閉合曲線的“面積.假設(shè)循環(huán)沿順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行,這個(gè)功是正的,相應(yīng)的循環(huán)稱為正循環(huán)；假設(shè)循環(huán)沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行,一個(gè)循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功為負(fù),數(shù)值仍等于閉合曲線

7、所包圍的面積,相應(yīng)的循環(huán)稱為負(fù)循環(huán).設(shè)Ei表示在狀態(tài)A時(shí)系統(tǒng)的內(nèi)能,E2表示在狀態(tài)B時(shí)系統(tǒng)的內(nèi)能,并設(shè)在ACiB膨脹過(guò)程中吸收了Qi的熱量,由熱力學(xué)第一定律可知：E2EiQi皿；同理,設(shè)在BC2A段壓縮過(guò)程,系統(tǒng)放出了Q2熱量,由熱力學(xué)第一定律可知：EiE2Q2W2,可知QiQ2WiW2W.此式表示,一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功,等于一循環(huán)中系統(tǒng)吸收的凈熱量一即吸收熱量Qi與放出熱量Q2的差.熱機(jī)及其效率設(shè)一系統(tǒng)做正循環(huán),那么,系統(tǒng)在膨脹階段所吸收的熱量、大于在壓縮階段放出熱量Q2,其差值QiQ2轉(zhuǎn)變?yōu)橐谎h(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功W,能完成這種轉(zhuǎn)變的機(jī)械稱為熱機(jī),熱機(jī)的物理本質(zhì)就是系統(tǒng)做正循環(huán).熱機(jī)的

8、主要局部是：一個(gè)高溫?zé)嵩窗l(fā)熱器,用來(lái)供應(yīng)Qi的熱量；一個(gè)低溫?zé)嵩蠢鋮s器,用來(lái)吸取Q2的熱量；一種工作物質(zhì)如水、空氣或水蒸氣等,以及盛工作物質(zhì)的氣缸、活塞等.對(duì)于熱機(jī),最重要的問(wèn)題在于由高溫?zé)嵩次〉臒崃縌1中,究竟有多少可以轉(zhuǎn)變?yōu)楣,至于低溫?zé)嵩此盏臒崃縌2的多少,并不重要.因此定義了熱機(jī)的效率為：一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的功W與由高溫?zé)嵩次〉臒崃俊?的比值,WQiQ2iQ2.iQ1Q1Q1熱機(jī)效率的大小,由循環(huán)的具體結(jié)構(gòu)、性質(zhì)而定.制冷機(jī)及其效率設(shè)一系統(tǒng)做負(fù)循環(huán),那么Wi為負(fù),W2為正,且W；W2,WWiW2為負(fù),即一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外做了W的負(fù)功；又系統(tǒng)從低溫?zé)嵩次樟溯^少的熱量Q2,而在

9、高溫?zé)嵩捶懦隽溯^多的熱量Q|,因而一循環(huán)中放出的凈熱量為|QQ2W.所以系統(tǒng)在一負(fù)循環(huán)中,外界對(duì)系統(tǒng)做了W功的結(jié)果為：系統(tǒng)在低溫?zé)嵩次霟崃縷Q2連同轉(zhuǎn)變而成的熱量,一并成為Qi的熱量放入高溫?zé)嵩?結(jié)果將熱量Q2由低溫?zé)嵩摧斔偷礁邷責(zé)嵩?這就是制冷機(jī)也叫熱泵的原理.對(duì)制冷機(jī),要關(guān)心的問(wèn)題是：一循環(huán)中系統(tǒng)做了W功后,有多少熱量Q2|由低溫?zé)嵩摧斔偷礁邷責(zé)嵩慈チ?因此把囤定義為制冷機(jī)的制冷系數(shù).有時(shí)也把WWQiQ2Q2,一一,一一一-一21叫做制冷機(jī)的效率,可以看出,制冷機(jī)的效率越高,制冷系數(shù)越QiQiQi小,經(jīng)濟(jì)效能越低.在技術(shù)上使用熱機(jī)的種類很多,有蒸汽機(jī)、內(nèi)燃機(jī)和制冷機(jī)等,圖分別表示蒸汽機(jī)和

10、制冷機(jī)的工作過(guò)程框圖.卡諾循環(huán)為方便研究熱機(jī)效率問(wèn)題,i9世紀(jì)20年代,法國(guó)工程師卡諾設(shè)計(jì)了一個(gè)理想循環(huán),即只在兩個(gè)有恒定溫度的高、低溫?zé)嵩次⒎艧?此即卡諾循環(huán),按此種方式工作的熱機(jī)稱為卡諾機(jī).圖給出了卡諾機(jī)模型.卡諾機(jī)中的工作物質(zhì)是理想氣體,被一個(gè)絕熱活塞封閉在氣缸中,缸的四壁是完全絕熱和光滑的,缸底那么是理想導(dǎo)熱的； 絕熱臺(tái)H;一個(gè)溫度為T1的高溫?zé)嵩矗灰粋€(gè)溫度為熱容量極大,溫度幾乎不變.卡諾循環(huán)的過(guò)程可用圖狀態(tài)圖線表示,氣體從初始狀態(tài)pVi,Ti開(kāi)始,沿箭頭方向經(jīng)歷以下過(guò)程：AB：將氣缸移到高溫?zé)嵩瓷?讓它緩慢地做等溫膨脹,體積由Vi膨脹到V2,在等溫過(guò)程中,溫度恒為Ti,共吸收Qi熱

11、量,過(guò)程沿T2的低溫?zé)嵩?兩個(gè)熱源的時(shí)撲世處:裝機(jī)工祚過(guò)程樞圖施電機(jī)工作過(guò)程雁昌等溫線AB進(jìn)行;BC：將氣缸移到絕熱臺(tái)H上,讓它做絕熱膨脹,氣體溫度逐漸下降,到達(dá)狀態(tài)C時(shí),溫度已降為丁2,體積膨脹到V3,過(guò)程沿絕熱線BC進(jìn)行；CD：將氣缸移到低溫?zé)嵩瓷?將氣體壓縮,溫度保持在T2,曷溫荷不壓縮中不斷放出熱量,一直壓縮到狀態(tài)D,共放出熱量Q2,D狀-QLLK_態(tài)的體積為V4,它是過(guò)C點(diǎn)的等溫線和過(guò)A點(diǎn)的絕熱線的交點(diǎn),過(guò)0_低溫?zé)崞?程沿等溫線CD進(jìn)行；DA：將氣缸移到絕熱臺(tái),經(jīng)過(guò)絕熱壓縮,氣體溫度逐漸升高,直到返回原來(lái)狀態(tài)A,過(guò)程沿絕熱線DA進(jìn)行.這樣完成了一個(gè)卡諾循環(huán)過(guò)程,它是由兩個(gè)等溫過(guò)程A

12、B、CD和兩個(gè)絕熱過(guò)程BC、DA組成.卡諾循環(huán)中的能量轉(zhuǎn)化過(guò)程可用圖表示.卡諾循環(huán)的效率為使對(duì)卡諾循環(huán)的討論具有確切的意義,上面四個(gè)過(guò)程都必須是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程,一卡諾循環(huán)的結(jié)果是：工作物質(zhì)恢復(fù)到原來(lái)狀態(tài),高溫?zé)嵩词チ薗1W1的熱量,Wi表示等溫膨脹過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外所做的功；低溫?zé)嵩传@得了Q2|W2|的熱量,W2是等溫壓縮過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)外所做的功,一循環(huán)中系統(tǒng)對(duì)外所做的總功為：WQiQ2WiW2|,其數(shù)值等于閉合曲線ABCDA所包圍的面積,是正值.根據(jù)熱機(jī)效率的定義,卡諾循環(huán)的效率為W.Q21一QiQi在AB過(guò)程中吸收的熱量、1為.RTilnV2,MVi在CD過(guò)程中放出的熱量Q2為Q2RT2InV3o

13、MV4又BC、DA為絕熱過(guò)程,有TVi常量,即_i_i_i_TV2T2V3,T2V4TiVi吟i拳,所咤拳爆V4.從結(jié)果可看出,卡諾循環(huán)的效率只由兩個(gè)熱源的溫度而定,熱力學(xué)第二定律熱力學(xué)第二定律的克勞修斯表述：在低溫?zé)嵩次崃?把它全部放人高溫?zé)嵩?而不引起其他變化是不可能的.這是從熱傳導(dǎo)的方向性來(lái)表述的,也就是說(shuō),熱傳導(dǎo)只能是從高溫?zé)嵩聪虻蜏責(zé)嵩捶较蜻M(jìn)行的.熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文表述：從單一熱源吸取熱量,把它完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣Χ灰鹌渌兓遣豢赡艿?這是從機(jī)械能與內(nèi)能轉(zhuǎn)化過(guò)程的方向來(lái)表述的,也就是說(shuō),當(dāng)將內(nèi)能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)械能時(shí),假設(shè)不輔以其他手段是不可能的.上述兩種表述是完全等效的,假設(shè)成認(rèn)其中

14、一種表述,可以推出另一種表述.熱力學(xué)第二定律也使人們熟悉到,自然界中進(jìn)行的涉及熱現(xiàn)象的宏觀過(guò)程都具有方向.熱力學(xué)第二定律與熱力學(xué)第一定律相比,后者說(shuō)明能量在轉(zhuǎn)換中所遵從的數(shù)量守恒關(guān)系,指出第一類永動(dòng)機(jī)是不可能造成的； 而前者那么指明了能量轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行的方向,指出了第二類永動(dòng)機(jī)是不能制成的.二者是不抵觸的,也不互相包容,是兩條獨(dú)立的定律.熱力學(xué)第二定律的適用對(duì)象是與周圍環(huán)境沒(méi)有任何相互作用的、統(tǒng),研究孤立系統(tǒng)中大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總體所反映出采的物理性質(zhì)及各種宏觀物理過(guò)程.3、可逆過(guò)程與不可逆過(guò)程可逆過(guò)程與不可逆過(guò)程如下圖,假設(shè)一系統(tǒng)的狀態(tài)由A起,經(jīng)B、C、M等到達(dá)狀態(tài)N,就說(shuō)系統(tǒng)經(jīng)歷了過(guò)程A

15、N.假設(shè)系統(tǒng)能沿相反方向、經(jīng)相反次序,由N起,經(jīng)MC、B而返回狀態(tài)A,且返回A后,四周物質(zhì)并無(wú)任何變化如做多少功,吸放多少熱等就說(shuō)過(guò)程AN或NA是一個(gè)可逆過(guò)程.凡不滿足上述要求的過(guò)程,稱為不可逆過(guò)程.如設(shè)圖的氣缸中有一定量的理想氣體,把它放在溫度為T的熱源上.設(shè)活塞是光滑的,在它的上面放有很多個(gè)質(zhì)量極小的祛碼,由于它們的重力,使氣體受到一定的壓力.假設(shè)將這些小祛碼一個(gè)一個(gè)地依次橫移到一系列與祛碼等高的平臺(tái)上,那么氣體將逐漸膨脹,一點(diǎn)一點(diǎn)地從熱源吸收熱量,轉(zhuǎn)變?yōu)榉纯轨畲a重力所做的功,這些功又轉(zhuǎn)變?yōu)楦黛畲a的重力勢(shì)能.這因此卡諾循環(huán)的效率為1Q21QimV3RT2lnMV41mV2RT|ln-M1V

16、1同時(shí)也可推導(dǎo)出1T2Q112,即丫1T1T1T1越高,T2越低,效率越大量粒子組成的孤立系個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行到活塞到達(dá)一定的位置,這就是一個(gè)等溫膨脹過(guò)程.然后將平臺(tái)上的祛碼一個(gè)一個(gè)橫移回到活塞上,氣體將逐漸地壓縮,祛碼的重力勢(shì)能減少,轉(zhuǎn)變?yōu)閴嚎s氣體所做的功,這些功又轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃?一點(diǎn)一點(diǎn)地傳回到熱源中去,祛碼全部放回,活塞回到了原位,逆的,嚴(yán)格地說(shuō),只有可逆過(guò)程才能畫(huà)在pV圖上.如膨脹過(guò)程是迅速的,氣缸中的氣體上疏下密,但反向進(jìn)行,即迅速壓縮時(shí)上密下疏,過(guò)程就不能沿相同狀態(tài)依相反次序進(jìn)行,所以是不可逆的,這種過(guò)程由非平衡態(tài)組成,是不平衡地進(jìn)行的.可以說(shuō),一切不平衡地進(jìn)行的過(guò)程都是不可逆的.一切實(shí)際

17、過(guò)程都是不可逆的,可逆過(guò)程只是為了簡(jiǎn)化問(wèn)題設(shè)想的理想情況.對(duì)于循環(huán)過(guò)程,如果循環(huán)過(guò)程中的每一步都是可逆的,那么循環(huán)過(guò)程稱為可逆循環(huán).如果循環(huán)過(guò)程中有一步是不可逆的,便是不可逆循環(huán).從可逆與不可逆過(guò)程的角度來(lái)說(shuō),熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文表述說(shuō)明功變熱是一個(gè)不可逆的過(guò)程；克勞修斯表述說(shuō)明熱傳導(dǎo)也是一個(gè)不可逆過(guò)程.熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)意義對(duì)大數(shù)事件,如在N次實(shí)驗(yàn)中,某一事件出現(xiàn)的次數(shù)設(shè)為m,那么該事件的幾率可定義為plimo幾率只能近似地預(yù)言實(shí)驗(yàn)結(jié)果,不能十分精NN確地和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.為了更好地理解熱力學(xué)現(xiàn)象中的幾率問(wèn)題,下面以氣體在真空中的膨脹來(lái)說(shuō)明.如下圖,設(shè)一隔板將容器分成體積相等的A、B兩局部

18、,最初A局部中有4個(gè)分子,設(shè)為a、b、c、d;B局部真空.抽去隔板后,有的分子就可能進(jìn)入B中,從宏觀角度說(shuō),就是氣體膨脹進(jìn)入真空.由于分子運(yùn)動(dòng)的雜亂性,某一時(shí)刻可能A、B中各有2個(gè)分子；也有可能A中有3個(gè),B中有1個(gè)；也可能A中1個(gè),B中有3個(gè)分子；也有可能四個(gè)分子同時(shí)回到了A中,如果這時(shí)把隔板加上,系統(tǒng)就回到了原來(lái)的狀態(tài)了,此時(shí)外界也沒(méi)有發(fā)生什么變化,所以對(duì)4個(gè)分子來(lái)說(shuō),氣體在真空中的膨脹現(xiàn)象是可逆的.那么這4個(gè)分子同時(shí)回到A局部的幾率是多大呢即這種可逆過(guò)程的存在幾率有多大呢不難11.一理解應(yīng)為po那么當(dāng)A中氣體的分子個(gè)數(shù)很多時(shí)事實(shí)也往往如此,設(shè)為n個(gè),2161那么如上所述的幾率應(yīng)為p=.假

19、設(shè)n以10個(gè)計(jì)的話,可見(jiàn)其幾率是非常小的,小到了2n已沒(méi)有實(shí)際意義.即事實(shí)上,這種可逆過(guò)程的存在的幾率是極小的,所以該過(guò)程實(shí)為一不可逆過(guò)程.又如摩擦生熱現(xiàn)象,根據(jù)熱力學(xué)第二定律,也是不可逆的,從統(tǒng)計(jì)的角度來(lái)看將摩擦所產(chǎn)生的熱全部自動(dòng)收集起來(lái),全部轉(zhuǎn)化為機(jī)械功,這種自發(fā)現(xiàn)象的存在幾率也是極小的,因此是一不可逆過(guò)程.二、熱力學(xué)典型問(wèn)題例析這樣就說(shuō)明了無(wú)摩擦的等溫膨脹過(guò)程是一個(gè)可逆過(guò)程.可以說(shuō),無(wú)摩擦的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程都是可4【例 1】定容摩爾熱容量CV為常量的某理想氣體,經(jīng)歷如下圖的pV平面上的兩個(gè)循環(huán)過(guò)程A1B1C1A1和A2B2c24,相應(yīng)的效率分別為1和2,試比擬1和2的大小.【分析與解】循環(huán)過(guò)程

20、的效率為W,其中W是氣體經(jīng)循環(huán)過(guò)程外所做的功,Q為氣Q體從外界吸收的熱量.此題A1B1C1A與A2B2c2A2兩個(gè)循環(huán)過(guò)程的功,可從圖中的直角三角形面積所得.在A1B1C1A循環(huán)過(guò)程中,AB階段氣體對(duì)外做功,內(nèi)能增大,吸收熱量；B1C1為等容降壓過(guò)程,溫度降低,放出的熱量為nCVT(n為氣體的摩爾數(shù))；弓人為等壓過(guò)程,溫度降低,放出的熱量為nCpT.因此循環(huán)過(guò)程中的吸熱量就是AB1過(guò)程的吸熱量.循環(huán)過(guò)程A2B2c2A2的情形也類似.先計(jì)算循環(huán)過(guò)程A1B1C1A1效率,設(shè)氣體白摩爾數(shù)為n.循環(huán)過(guò)程AB1C1A對(duì)外所做的功即為圖中三角形AB1cl的面積,為11皿鼻“玲PC1)(V2V1)-(PB1

21、PA)(V2V1).式中PB1和Pc1分別是理想氣體在狀態(tài)B1和C1時(shí)的壓強(qiáng).又A1B1過(guò)程是通過(guò)原點(diǎn)的直線,過(guò)程的方程可寫(xiě)為PkV.因此12,-r1-、,PB1PAk(V2M),代入Wi表達(dá)式,得W,-k(V2V1)0又直線AB1過(guò)程是多方過(guò)1n程,指數(shù)為n1,過(guò)程萬(wàn)程式為PV常數(shù),此多方過(guò)程的摩爾熱容量為CCV1n1一-(1)CV,式中是氣體的絕熱指數(shù).2設(shè)兒和B1狀態(tài)的溫度分別為T1和T2,那么有PA1V1nRF；P4V2nRT2,相減得1k22T2T1二(PB1V2PA1V1)(V2V1),nRnR所以A1B1C1A1循環(huán)過(guò)程中所吸收的熱量為_(kāi)k22Q1nC(T2T1)一(V22V12

22、).nR可知,AiB1C1A1循環(huán)過(guò)程的效率為同理,A2B2c2A2循環(huán)過(guò)程的效率為以上兩式說(shuō)明,兩循環(huán)過(guò)程的效率與直線人81或AB2的斜率大小無(wú)關(guān),而只與C及V1、V2有關(guān),其中C也與直線的斜率無(wú)關(guān),因此只要相應(yīng)的V1和V2相同,效率就相同,所以,兩循環(huán)過(guò)程的效率相同,即12【例 2】在兩端開(kāi)口的豎直U形管中注入水銀,水銀柱的全長(zhǎng)為h.將一邊管中的水銀下壓,靜止后撒去所加壓力,水銀便會(huì)振蕩起來(lái),其振動(dòng)周期為T12Lh-;假設(shè)把管的右端封閉,.2g被封閉的空氣柱長(zhǎng)L,然后使水銀柱做微小的振蕩,設(shè)空氣為理想氣體,且認(rèn)為水銀振蕩時(shí)右管內(nèi)封閉氣體經(jīng)歷的是準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程,大氣壓強(qiáng)相當(dāng)h0水銀柱產(chǎn)生的壓

23、強(qiáng).空氣的絕熱指數(shù)為.試求水銀振動(dòng)的周期T2;求出與T1、T2的關(guān)系式.【分析與解】右端封閉后,隨著水銀柱的振蕩,被封閉的空氣經(jīng)歷絕熱膨脹或絕熱壓縮過(guò)程;封閉端的空氣與外界空氣對(duì)水銀柱壓力差提供水銀柱做微小振動(dòng)的回復(fù)力,此題關(guān)注回復(fù)力的構(gòu)成及所循規(guī)律.如下圖,A、B、C分別表示水銀柱處于平衡位置、到達(dá)振幅位置時(shí)和有一任意小位移y時(shí)的三個(gè)狀態(tài).建立如圖坐標(biāo),設(shè)水銀柱位移為y時(shí),封閉氣體的壓強(qiáng)為Py,U形管橫截面積為S,水銀柱總質(zhì)量為m,水銀密度為.對(duì)被封閉氣體的A、C狀態(tài)由泊松方程可知Po(LS)Py(Ly)S122kMV1)2、CM2V12)RR(V2V1).2c(V2M)R(V2V1)o22

24、c(V2V1)其中Pogh0,得PyPo(-TL-)1P.Ly由于y?L,上式可近似為PyPo(1)1Po(1i)Pohgy.對(duì)LLL可知水銀柱的微小振蕩為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其周期為(TATB),每個(gè)物體的質(zhì)量為m、比熱容恒定,均為S.設(shè)兩個(gè)物體的壓強(qiáng)保持不變,且不發(fā)生相變.假定熱機(jī)能從系統(tǒng)獲得理論上允許的最大機(jī)械能,求出兩物體A和B最終到達(dá)的溫度To的表達(dá)式,給出解題的全部過(guò)程.由此得出允許獲得的最大功的表達(dá)式.假定熱機(jī)工作于兩箱水之間,每箱水的體積為2.50m3,一箱水的溫度為35oK,另C狀態(tài),研究水銀柱受到的回復(fù)力,回復(fù)力F即由高度差為2y的水銀柱的重力、內(nèi)外氣體壓力的合力提供,以位移y方向

25、為正,即為FPySPoS2(m)g(PyP)S2ySg令k-o-gS2Sg得FkyhgyS2ySg(tgS2Sg)yT22hShogS2SghhoL)g由上述 1 和丁2,得(J)22(2h2ghho、為ho【例 3】一熱機(jī)工作于兩個(gè)相同材料的物體A和B之間,兩物體的溫度分別為TA和TB一箱水的溫度為300K.計(jì)算可獲得的最大機(jī)械能.311水的比熱容4.1910JkgK,水的密度【分析與解】為獲得最大的機(jī)械能,可設(shè)熱機(jī)工作的全過(guò)程由n(n)個(gè)元卡諾循環(huán)組成,第i次卡諾循環(huán)中,卡諾熱機(jī)從高溫?zé)嵩?溫度設(shè)為Ti)處吸收的熱量為Q1,后,溫度降為Ti1;在低溫?zé)嵩?溫度設(shè)為Tj)處放出的熱量為Q2后

26、,溫度升高為Tj1滿足Q1Q2TT斤TTj1TjTjT.T.T1TA令-一,(n,A為常數(shù))TTjn即(L_L)n(1與A；(T_L)n(1個(gè),TnTjn得AlnAlnTOTB所以TOTX.由卡諾熱機(jī)的循環(huán)過(guò)程可知：WQIQ2ms(TATO)ms(ToTB)根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)即可得:W2.0107Jo【例4】n(mol)的某理想氣體在T容C1nR,在T2T0時(shí)的定容熱容CV2均為大于1的常量,該氣體經(jīng)歷的循環(huán)過(guò)程331.0010kgm.Q1ms(TT1),Q2ms(Tj1Tj),可知ms(TATB2/TATB)ms(5.2T0時(shí)的定容熱C1,其中、ABCDA是如圖所示的矩形.試求狀態(tài)D的溫度TD

27、,并畫(huà)出循環(huán)過(guò)程中系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度丁變化的圖線;試計(jì)算循環(huán)過(guò)程的效率.【分析與解】此題中理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過(guò)程曲線呈矩形,其中：AB為等容升壓；BC為等壓膨脹；CD為等容降壓；DA為等壓壓縮.設(shè)A狀態(tài)參量為R、Vi、To；B狀態(tài)參量為P2、M、2T0；C狀態(tài)參量為P2、V2、3T0；D狀態(tài)參量為p1、V2.由理想氣體狀態(tài)方程,可知2oPiToPiTDm_3_得TDT0.2由此也可知,在CD過(guò)程中存在狀態(tài)F,該狀態(tài)時(shí)的溫度為2T0.此題中理想氣體內(nèi)能為UCVT,A狀態(tài)內(nèi)能UACV1TonRT0；其他狀態(tài)內(nèi)能依次為UBCV12T02nRT0,UCCV23T03nRT.,UFCV22T02nRT.,

28、又在B、F溫度均為2T狀態(tài)時(shí),定容熱容量發(fā)生了突變,這意味著該理想氣體分子的某一運(yùn)動(dòng)自由度剛好在2T0時(shí)被激發(fā),因此,系統(tǒng)在B狀態(tài)時(shí)會(huì)出現(xiàn)不升溫的吸熱,內(nèi)能變?yōu)閁BCV22T02nRT0；在F狀態(tài)時(shí),會(huì)出現(xiàn)不降溫的放熱,內(nèi)能變?yōu)閁FCv12T02nRT.所以U和T的關(guān)系應(yīng)完整地表達(dá)為UC1TnRT,T2TJ,UCV2TnRT,T2T0,nRTUnRT.T2T0.循環(huán)過(guò)程中系統(tǒng)內(nèi)能U隨溫度T變化的圖線如下圖.注意,圖線中從A狀態(tài)到B狀態(tài)的等容過(guò)程并不經(jīng)過(guò)D狀態(tài),從B態(tài)到C態(tài)的等壓過(guò)程并不經(jīng)過(guò)F狀態(tài),同樣從C態(tài)到D態(tài)的等容過(guò)程中不經(jīng)過(guò)B態(tài),但經(jīng)過(guò)F狀態(tài).又B、F狀態(tài)由于溫度相同,所以內(nèi)能也相同,圖

29、中用同一點(diǎn)表示,另外B、F狀態(tài)的溫度2T0剛好是定容熱容量發(fā)生突變的溫度,出現(xiàn)了不升溫的吸熱或放熱,導(dǎo)致內(nèi)能變化,所以,兩者在圖中是一段等溫線.同樣D狀態(tài)也不是AB過(guò)程中的狀態(tài),但與AB過(guò)程中某狀態(tài)具有相同的內(nèi)能和溫度.一個(gè)循環(huán)過(guò)程中,氣體對(duì)外所做功的大小為圖中矩形面積,即為W(p2Pi)(V2Vi).又四迎2.返亞3PiTo1Vi2T0211所以有Wp1M-nRT0022循環(huán)過(guò)程中屬吸熱過(guò)程的是AB、B造成的吸熱QB,吸收的熱量分別為QAB、QBC、QB：QABCv1(2ToTo)nRT.；那么一循環(huán)中吸收的總熱量為;所以循環(huán)過(guò)程的效率為1-W2nRTo1Qn(31)RT02(31)P0,V

30、.至末狀態(tài)p,V,試證實(shí)在此過(guò)程中氣體所做的功為P0V0pVO1C和在B狀態(tài)時(shí)因定容熱容量發(fā)生突變而QBC(CV2nR)(3To2To)n(1RT.；QB(Cv2Cv1)2To2(1)nRT.QQABQBCQBnRT.n(1)RTo2(1)nRT0n(31RT.,1、理想氣體做絕熱膨脹,由初狀態(tài)5、如下圖為單原于理想氣體的兩個(gè)封閉熱循環(huán):的效率哪個(gè)高高多少倍1234和1564,比擬這兩個(gè)熱循環(huán)過(guò)程Cp、上日一人、上,口、“人),有時(shí)用以下方法：一定量的氣體的初始溫度、壓強(qiáng)和體積CV分別為T0、p0、V0.用一根通有電流的伯絲對(duì)它加熱.設(shè)兩次加熱的電流和時(shí)間都相同.第一次保持氣體體積V.不變,溫

31、度和壓強(qiáng)各變?yōu)門i和pi：第二次保持壓強(qiáng)P0不變,而溫度4、1mol理想氣體在400K300K之間完成一卡諾循環(huán).在400K等溫線上,起始體積為0.0010m3,最后體積為0.0050m3,計(jì)算氣體在此過(guò)程中所做的功,以及從高溫?zé)嵩次盏臒崃亢蛡鹘o低溫?zé)嵩吹臒崃?2、為了測(cè)定氣體的和體積各變?yōu)門2和V1.試證實(shí)(PiP0)V.(ViV0)p03、設(shè)有一以理想氣體為工作物質(zhì)的熱機(jī)循環(huán),如下圖,試證實(shí)其效率為V1(-)1V2盧)16、用N(mol)的理想氣體作為熱機(jī)的工作物質(zhì),隨著熱機(jī)做功,氣體的狀態(tài)變化,完成一個(gè)循環(huán)1231,如下圖,過(guò)程12和23在圖象中是直線段,而過(guò)程31可表達(dá)為T0.5T1

32、(3BV)BV,式中B是一個(gè)未知常量,T1是圖示坐標(biāo)軸上標(biāo)出的給定絕對(duì)溫度.求氣體在一個(gè)循環(huán)中做的功.7、兩個(gè)相同的絕熱容器用帶有活栓的絕熱細(xì)管相連,開(kāi)始時(shí)活栓是關(guān)閉的,如圖,容器1里在質(zhì)量為m的活塞下方有溫度T0、摩爾質(zhì)量M的單原子理想氣體：容器2里質(zhì)量為m/2的活塞位于容器底且沒(méi)有氣體.每個(gè)容器里活塞與上頂之間是抽成真空的.1里的氣體沖向容器2活塞下方,于是此活塞開(kāi)始上升(平衡時(shí)未及上頂),不計(jì)摩擦,計(jì)算當(dāng)活栓翻開(kāi)且建立平衡后氣體的溫度8、一反復(fù)循環(huán)運(yùn)轉(zhuǎn)的裝置在水流速度為u0.1m/s的海洋上將大海的熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能.考慮深度h1km的海水最上層的溫度TI300K,而與水面相鄰的空氣溫度為T2280K.裝置