1、2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（二）總體的數(shù)字特征（二） 知識(shí)回顧知識(shí)回顧1.1.如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？（1 1）眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)）眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo). .（2 2）中位數(shù)：直方圖面積平分線(xiàn)與橫軸）中位數(shù)：直方圖面積平分線(xiàn)與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)交點(diǎn)的橫坐標(biāo). .（3 3）平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積與小矩）平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和. . 知識(shí)探究：標(biāo)準(zhǔn)差知識(shí)探究：標(biāo)準(zhǔn)差 樣本

2、的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的“中心值中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息據(jù)中的少量信息. 平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)

3、生較大的誤差，難以反映樣本可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度. 數(shù)據(jù)的離散程度可以用數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述。來(lái)描述。 為了表示樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)為了表示樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動(dòng)幅度，通常要求出幅度，通常要求出樣本方差樣本方差或者它的或者它的算算術(shù)平方根術(shù)平方根.（1）方差方差：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，x1，x2，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的差的平的差的平方分別是方分別是22212(

4、) ,() ,()nxxxxxx2222121()()() nsxxxxxxn 來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的叫做這組數(shù)據(jù)的方差方差，一組數(shù)據(jù)方差越，一組數(shù)據(jù)方差越大，則這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。大，則這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。 那么我們用它們的平均數(shù)，即那么我們用它們的平均數(shù)，即（2）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)：我們把數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的個(gè)用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量。量。222121()()() nsxxxxxxn計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的算法：計(jì)算標(biāo)

5、準(zhǔn)差的算法： S2 算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差 （i=1，2，n）；）；ixxS1 算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x；S3 算出算出 （i=1，2，n）；）；2()ixxS4 算出算出 （i=1，2，n）這）這n個(gè)個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2；2()ixxS5 算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差s。的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，12,nax axaxax（2）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)方差為方差為 22a s，方差仍為，方差仍為 12,nxb xbxbxb2s（1）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為，

6、方差為，方差為 12,naxb axbaxbaxb22a s的平均數(shù)為的平均數(shù)為（3）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)12,nx xxx2s如果數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，方差為方差為，則，則（3）方差的運(yùn)算性質(zhì)：）方差的運(yùn)算性質(zhì)：例例1. 計(jì)算數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差.解：解：S1 x= =85+7+7+8+10+116數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) xiS1 xS2 xixS3 (xix)258397811781188001082411839S4 s2= =4；9+1+1+0+4+96S5 .24 s所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是2.例例2.計(jì)算數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)89，93，88，9

7、1，94，90，88，87的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。（標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。（標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果精確到精確到0.1） 解：解： 190( 1 32 14023)908x . 所以這組數(shù)據(jù)的方差為所以這組數(shù)據(jù)的方差為5.5，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為2.3 .例例3. 從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人乘積射從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人乘積射擊比賽，對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行測(cè)試，兩擊比賽，對(duì)他們的射擊水平進(jìn)行測(cè)試，兩人在相同的條件下各射擊人在相同的條件下各射擊10次，命中環(huán)數(shù)次，命中環(huán)數(shù)如下如下甲甲7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙乙9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. （1）計(jì)算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平）計(jì)算甲、

8、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）比較兩人的成績(jī)，然后決定選擇哪）比較兩人的成績(jī)，然后決定選擇哪一人參賽一人參賽. 解解：（：（1）計(jì)算得）計(jì)算得x甲甲=7，x乙乙=7； s甲甲=1.73，s乙乙=1.10.（2）由（）由（1）知，甲、乙兩人平均成績(jī)相）知，甲、乙兩人平均成績(jī)相等，但等，但s乙乙0.02， 所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。 練習(xí)練習(xí)2為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換。已知日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換。已知某校使用的某校使用的100只日光燈

9、在必須換掉前的只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差。天數(shù)天數(shù)150180180210210240240270270300300330330360360390燈泡燈泡數(shù)數(shù)1111820251672解：各組中值分別為解：各組中值分別為165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)約為，由此算得平均數(shù)約為1651%+19511%+22518%+25520%+28525%+31516%+3457%+3752%=267.9268(天天)這些組中值的方差為這些組中值的方差為 1(165268

10、)2+11(195268)2+18(225268)2+20(255268)2+25(285268)2+16 (315268)2+7(345268)2+2(375268)2 100=2128.60(天天2).故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約故所求的標(biāo)準(zhǔn)差約 （天）（天）466 .2128答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約答：估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為為268天天,標(biāo)準(zhǔn)差約為標(biāo)準(zhǔn)差約為46天天.3.(2011年高考江蘇卷年高考江蘇卷6)某老師從星期一到星某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則，則該組數(shù)據(jù)的方差（該組數(shù)據(jù)的方差（ ）3.24.（2011年高考遼寧卷文

11、科年高考遼寧卷文科19) (本小題滿(mǎn)分12分)某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱(chēng)為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn)，選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙()假設(shè)n=2，求第一大塊地都種植品種甲的概率：()試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位kghm2)如下：分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種?附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2xa的樣本方差， 其中 為樣本平均數(shù)。2222111nsxxxxxxnx1403397

12、3904043884004124064008x 甲14194034124184084234004134128x乙22222222217906411-121568s 乙由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙。22222222213310412012657.258s 甲5(2011年高考北京卷理科年高考北京卷理科17)本小題共13分以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù)。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示。（）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹(shù)棵樹(shù)的平均數(shù)和方差；（）如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)

13、，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率解：（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為方差為8891035;44x2222213535353511(8)(8)(9)(10) .4444416s 6(2011年高考廣東卷文科年高考廣東卷文科17)（本小題滿(mǎn)分（本小題滿(mǎn)分13分）分）在某次測(cè)驗(yàn)中，有在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)槲煌瑢W(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分用表示編分用表示編號(hào)為的同學(xué)所得成績(jī)，且前號(hào)為的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢何煌瑢W(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢海?）求第）求第6位同學(xué)成績(jī)，及這位同學(xué)成績(jī)，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差；位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差；（2）從

14、前）從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間中的概率位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間中的概率編號(hào)編號(hào)n 1 2 3 45成績(jī)成績(jī) 70 76 72 7072nx6623422222670+76+72+70+72+175=90616(70 75)(76 75)(72 75)(70 75)(72 75)(90 75) 676906.(2)52,76),72 ),70 ),xxsx111從前 位同學(xué)中任意選出位同學(xué)的基本事件個(gè)數(shù)有10解：（）由題得位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差第為同學(xué)的成績(jī)，這 位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)個(gè)，它們是（70（70（70準(zhǔn)差為7（75345343345345,

15、72 ),(76,72 ),(76,70 ),(76,72 ),(72 ,70 ),(72 ,72 ),(70 ,72 )168,75)4,76),(76,72 ),(76,70 ),(76,72 )2. 5110。其中恰有位同學(xué)的成績(jī)?cè)冢ㄖg的基本事件有 個(gè)，它們是（704。所以恰有1個(gè)同學(xué)的成績(jī)?cè)冢?8,75）之間的概率P=106.練習(xí)：練習(xí)：（3）若）若k1,k2, k8的方差為的方差為3，則，則2(k13),2(k23), , 2(k83)的方差為的方差為_(kāi)3, 3, 34,) 1 (2121的方差為，那么的方差為若 nnxxxxxx_42,)2(21后的方差為這組數(shù)據(jù)均乘以，那么的方差為若nxxx 432120D.0 xxC.xxxx .B0A.x0 x,x,x. 6._3X5231. 5.D.C.B.A. 4n21n21n21總體方差一定是）（，則表示的方差為，若樣本是，則這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)是，若它的平均，已知一個(gè)樣本以上都不對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差方差極差）（范圍大小的指標(biāo)是一組數(shù)據(jù)變化在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中，能反映A2B7。在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出。在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：的分?jǐn)?shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)