1、張量分析(Tensor Analysis)1）熟練運(yùn)用符號(hào)與求和約定；Objectives2）熟練掌握張量以及包括基矢量、度量張量等基本張量的定義；3）熟練掌握張量的運(yùn)算法則；4）熟練運(yùn)用張量表示力學(xué)的基本方程。1 張量的概念 在三維空間，一個(gè)矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某參考坐標(biāo)系中，有三個(gè)分量；這三個(gè)分量的集合，規(guī)定了這個(gè)矢量；當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，這些分量按一定的變換法則變換。zzzyzxyzyyyxxzxyxxij在力學(xué)中還有一些更復(fù)雜的量。例如受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，有9個(gè)應(yīng)力分量，如以直角坐標(biāo)表示，用矩陣形式列出，則有：這9個(gè)分量的集合，規(guī)定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力張量。當(dāng) 坐標(biāo)變

2、換時(shí)，應(yīng)力張量的分量按一定的變換法則變換。所謂張量是一個(gè)物理量或幾何量，它由在某參考坐標(biāo)系中定數(shù)目的分量的集合所規(guī)定，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，這些分量按一定的變換法則變換。張量有不同的階和結(jié)構(gòu)，這由 它們所遵循的不同的變換法則來(lái)區(qū)分。矢量是一階張量；應(yīng)力張量、應(yīng)變張量是二階張量；還有三階、四階等高階張量。張量是矢量概念的推廣。它是一種不依賴于特定坐標(biāo)系的表達(dá)物理定律的方法。采用張量記法表示的方程，在某一坐標(biāo)系中成立，則在容許變換的其他坐標(biāo)系中也成立，即張量方程具有不變性。張量是佛克脫(WVoigt) 提出（用來(lái)表示晶體的應(yīng)力(張力)狀態(tài)）。一、符號(hào)與求和約定A) 指標(biāo)變量的集合：nxxx,21nixi,

3、 2 , 1,表示為：nyyy,21njyj, 2 , 1,寫在字符右下角的 指標(biāo)，例如xi中的i稱為下標(biāo)。寫在字符右上角的指標(biāo)，例如yj 中的j稱為上標(biāo)；使用上標(biāo)或下標(biāo)的涵義是不同的。用作下標(biāo)或上標(biāo)的拉丁字母或希臘字母，除非作了說(shuō)明，一般取從1到n的所有整數(shù)，其中n稱為指標(biāo)的范圍。B) 求和約定若在一項(xiàng)中，同一個(gè)指標(biāo)字母在上標(biāo)和下標(biāo)中重復(fù)出現(xiàn)，則表示要對(duì)這個(gè)指標(biāo)遍歷其范圍1，2，3，n求和。這是一個(gè)約定，稱為求和約定。pzazaza332211式中 ai, p 是常數(shù)。這個(gè)方程可寫成: pzaiii31應(yīng)用求和約定，則這個(gè)方程可寫成如下形式：pzaii遍歷指標(biāo)的范圍求和的重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)或

4、跑標(biāo)。不求和的指標(biāo)稱為自由指標(biāo)。例：三維空間的平面方程為：B) 求和約定（續(xù)）注：?jiǎn)≈笜?biāo)只是表示求和。在一項(xiàng)中，同一個(gè)指標(biāo)字母的使用不能超過(guò)兩次。niiixa12)(), 2 , 1,(njixaxajjii求和約定可以推廣到微分公式： 設(shè) f(x1,x2,xn) 為n個(gè)獨(dú)立變量 x1,x2,xn 的函數(shù)，則它的微分可寫成 :中 i被認(rèn)為是下標(biāo)。iidxxfdfixC) 克羅內(nèi)克(Kronecker)符號(hào)克羅內(nèi)克符號(hào) 的定義是:ji)(0)(1jijiji13322110323123211312克羅內(nèi)克符號(hào)也可寫成ij或ij 。C) 克羅內(nèi)克符號(hào)(續(xù)）例：空間直角坐標(biāo)系中，線元矢量長(zhǎng)度的平方為

5、：2322212)()()(dxdxdxds利用克羅內(nèi)克符號(hào)，上式可寫成：jiijdxdxds2jijixx jiijxxjkikji克羅內(nèi)克符號(hào)的一些常用性質(zhì)：D) 置換符號(hào)置換符號(hào)eijk=eijk定義為:011ijkijkeei,j,k的這些排列分別叫做循環(huán)排列、逆循環(huán)排列和非循環(huán)排列。 當(dāng)i,j,k是1，2，3的偶置換(123,231,312)當(dāng)i,j,k是1，2，3的奇置換(213,132,321)當(dāng)i,j,k的任意二個(gè)指標(biāo)相同D) 置換符號(hào)（續(xù)）置換符號(hào)主要可用來(lái)展開(kāi)三階行列式：2312313312212332112312311332213322113332312322211312

6、11aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaakjiijkjiaaaeaa321若以 表示行列式中的普遍項(xiàng)，以 表示行列式，則上述行列式可寫成：jiajiaknjmilijkilmaaaeaeE) 克羅內(nèi)克符號(hào)與置換符號(hào)的關(guān)系1100010001333231232221131211jiknjlimkljnimkljminkmjlinkmjnilknjmillmnijkknkmkljnjmjlinimileekmjnknjmimnijkeeknknknkjjnknjjijnijkee2362kkijkijkee二、基矢量在曲線坐標(biāo)系中，空間一點(diǎn)P的位置矢量r是曲線坐標(biāo) xi 的函數(shù)

7、，則：iidxxdrr空間一點(diǎn)P的位置矢量可用直角坐標(biāo)表示為：jjz ir 式中 ij 為沿坐標(biāo)軸 zj 方向的單位矢量。jijijjixzxzzxirr上式表明， 是單位矢量 ij 的線性組合，因此也是矢量。ixr基矢量（續(xù)） 表征當(dāng) xi 變化時(shí)位置矢量r的變化，因此 的方向是沿坐標(biāo)曲線 xi 的切線方向。矢量 可以取作曲線坐標(biāo)系的基矢量（協(xié)變基矢量）：ixrixrixrjijiixzxirg注意：對(duì)于在曲線坐標(biāo)系中的每一點(diǎn)，都有三個(gè)基 矢量。 基矢量一般不是單位矢量，彼此也不正交； 基矢量可以有量綱，但一點(diǎn)的三個(gè)基矢量的量綱可以不同； 基矢量不是常矢量，它們的大小和方向依賴于它們所在點(diǎn)的

8、坐標(biāo)。作用在一點(diǎn)的任意矢量V，可以沿gi的方向按平行四邊形法則分解：jjv gV基矢量（續(xù)2）可知：若坐標(biāo)系由xi 變換為yi ，則基矢量gi按上述變換法則變換?；噶縢i也稱為協(xié)變基矢量。若坐標(biāo)系xi變換成另一新坐標(biāo)系yi)3 ,2, 1(),(321jxxxyyjj逆變換為：)3 , 2, 1(),(321jyyyxxjj則在新坐標(biāo)系 yi 中的基矢量為ijjijjiiyxyxxygrrg坐標(biāo)變換時(shí)，個(gè)量的分量的變換法則是該量的重要性質(zhì)。三、基本度量張量jijijjiidxdxdxdxdddsggggrr2jiijggg 對(duì)于任何坐標(biāo)系，首先必須知道在該坐標(biāo)系中如何度量長(zhǎng)度。在曲線坐標(biāo)系中

9、，線元矢量dr長(zhǎng)度的平方為下式。 稱為坐標(biāo)系xi的基本度量張量。在三維空間，基本度量張量gij有9個(gè)分量。定義:jlikkljliklkljlkikijxzxzxzxzxzxzgiiii續(xù)1若坐標(biāo)系xi變換成另一新坐標(biāo)系yi)3 ,2, 1(),(321jxxxyyjj逆變換為：)3 , 2 , 1(),(321jyyyxxjj則在新坐標(biāo)系 yi 中的基矢量為jjiidyyxdxlkljkiijjiijdydyyxyxgdxdxgdddsrr2ljkiijklyxyxgglkkldydygds 2續(xù)2gij的特性：1） 度量空間線元的長(zhǎng)度(稱為度量)；2）當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，它按照一特定的變換法則變

10、換，這是張量的基本特性;因此gij稱為度量張量，這是一個(gè)非常重要的基本張量，又稱為基本度量張量。 四、對(duì)偶基矢量、相伴度量張量ijjiggjijig gg A) 指標(biāo)對(duì)偶基矢量 （逆變基矢量 ）gi 由下式定義：在三維空間中， g1 、 g2 、 g3 分別垂直于（g2，g3）、 （g1，g3） 及（g1，g2）所在的平面。B) 相伴（共軛）度量張量式中 gij 是對(duì)偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9個(gè),稱為相伴度量張量，或共軛度量張量將對(duì)偶基矢量 gi 沿基矢量 gj 的方向分解:B) 相伴（共軛）度量張量ijjkikjkikigggjggggjiijggg ijjiggijjkikggg

11、ijkjikggjijig gg 類似jijiggjijigggg協(xié)變基矢量和逆變基矢量之間可以通過(guò)度量張量和相伴度量張量變換，提升或下降指標(biāo)。C) 矢量的逆變分量和協(xié)變分量任何一個(gè)矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：iiiivvggVjijijijivgvvgv表明矢量V也可以用它沿逆變基矢量 gi 方向的分量表示。 vi稱為矢量V的協(xié)變分量； vi是矢量V的逆變分量。iiiivvgVgV表示矢量的逆變分量和協(xié)變分量的大小等于矢量和相應(yīng)的基矢量的點(diǎn)積。D) 對(duì)偶基矢量、相伴度量張量的變換法則若坐標(biāo)系xi變換成另一新坐標(biāo)系yi)3 ,2, 1(),(321jxxxyyjj逆變換為：)3 ,

12、2 , 1(),(321jyyyxxjjjjiidxxydyiidxdgrikikdxdggg rikikdxdy)(gg ikixykggikiikkxyiggggg)(逆變基矢量的變換法則:nkmimnnkmiiijxyxygxyxygnmjgggg相伴度量張量的變換法則：五、張量設(shè)一個(gè)量的分量在曲線坐標(biāo)系 xi （i=1,2,3）中定義，它們是坐標(biāo)x1 、 x2 、 x3 的函數(shù)。若坐標(biāo)系 xi作容許變換成另一新坐系標(biāo) yi （i=1,2,3） ，則可以定義該量在新坐標(biāo)系 yi 中的分量，并根據(jù)該量的分量在坐標(biāo)變換時(shí)所遵循的不同變換法則，給予該量以不同的名稱。 在物理量或幾何量中，有一些

13、量與參考坐標(biāo)無(wú)關(guān)，例如質(zhì)量、溫度、長(zhǎng)度等；另有一些量，它們的分量卻與參考坐標(biāo)的選擇有關(guān),例如位移、速度等。前者稱為標(biāo)量，后者稱為矢量。當(dāng)坐標(biāo)作容許變換時(shí)，矢量的分量根據(jù)相應(yīng)的 變換法則進(jìn)行變換。 A)標(biāo)量、逆變矢量、協(xié)變矢量(1)標(biāo)量 一個(gè)量被稱為標(biāo)量或絕對(duì)標(biāo)量，若它在坐標(biāo)系xi 中只有一個(gè)分量，在新坐標(biāo)系yi中也只有一個(gè)分量 ，并且在兩個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上， 與的數(shù)值相等。)()(321321xxxyyy,(2) 逆變矢量(一階逆變張量) 一個(gè)量被稱為逆變矢量或一階逆變張量，若它在坐標(biāo)系 xi 中有三個(gè)分量 Ai ，在坐標(biāo)系yi中有三個(gè)分量 i ，它們由以下的變換法則相聯(lián)系； jijixyx

14、AyA逆變矢量用上標(biāo)表示；因此上標(biāo)也稱為逆變指標(biāo)。(3)協(xié)變矢量(一階協(xié)變張量)一個(gè)量被稱為協(xié)變矢量或一階協(xié)變張量，若它在坐標(biāo)系 xi 中有三個(gè)分量 Ai ，在坐標(biāo)系yi中有三個(gè)分量 i ，其變換法則相為；協(xié)變矢量用下標(biāo)表示，下標(biāo)也稱為協(xié)變指標(biāo) ijyxxAyAjiB) 高階張量(1) 二階協(xié)變張量(2)二階逆變張量(3)二階混合張量 jnimyxyxxAyAmnij njmixyxyxAyAmnij njimnmjixyyxxAyAC) 張量特性1）張量是矢量概念的推廣。 2）張量由它的分量的集合所規(guī)定。3）張量的基本性質(zhì)由坐標(biāo)變換時(shí)張量的分量所遵循的變換法則來(lái)確定，變換法則與張量表示什么物

15、理量無(wú)關(guān)。4）張量可分為零階、一階、二階。張量的階等于變換法則中變換系數(shù)的維度，也等于張量的指標(biāo)的數(shù)目。在三維空間，r階張量的分量總數(shù)為N=3r ，標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量。 5）按照張量的變異(結(jié)構(gòu))，張量可分為逆變、協(xié)變和混合，張量的變異也由張量的指標(biāo)的位置(上標(biāo)、下標(biāo)、或兼有上標(biāo)下標(biāo))來(lái)區(qū)別。注：在曲線坐標(biāo)系中，必須很好地理解逆變張量與協(xié)變張量的意義以及變換法則的區(qū)別。但若采用直角坐標(biāo)系描述，則張量的逆變與協(xié)變的區(qū)別消失，把所有張量的指標(biāo)寫成下標(biāo)。此張量稱為笛卡爾張量或直角坐標(biāo)張量。5.2張量代數(shù)也是張量?？梢宰C明， 相加(減)的結(jié)果是一個(gè)同階同變異的張量。一、張量的加法(減法)

16、兩個(gè)同階、同變異(結(jié)構(gòu)) 的張量可以相加(或相減)。張量相加(或相減)是相加(或相減)其同名的分量。設(shè)是張量，則ijkijkBA ,ijkijkijkBACijkijkijkBAA knjmlilmnijkyxyxxyxAyA knjmlilmnijkyxyxxyxByB xCyxyxxyxAxAyxyxxyyByAyClmnknjmlilmnlmnknjmliijkijkijk二、對(duì)稱張量、斜對(duì)稱張量A) 對(duì)稱張量若張量滿足如下的關(guān)系式：這樣的張量稱為二階對(duì)稱張量。例如，基本度量張量和相伴度量張量 都是對(duì)稱張量。B）斜對(duì)稱張量jiijAA jiijAA若張量 滿足以下關(guān)系式：則稱 為二階斜對(duì)

17、稱張量。斜對(duì)稱張量也稱為反對(duì)稱張量。C) 二階張量的分解任何一個(gè)一般二階張量 都可以分解成一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量之和，即：ijijBACijjijiijACCAij21jiijjiijBCCCCBjiij2121反對(duì)稱張量之對(duì)稱張量D) 高階張量的對(duì)稱和反對(duì)稱高階張量可以是關(guān)于一對(duì)下標(biāo)(或上標(biāo))對(duì)稱或反對(duì)稱。例如置換張量，它關(guān)于任一對(duì)下標(biāo)是反對(duì)稱的：kjiijkikjijkjikijk,三、張量的乘法也是張量。kijkijBAC 兩個(gè)張量的外積是將它們的分量相乘。這樣的運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)新張量，其階數(shù)是相乘兩張量的階數(shù)之和。設(shè) Aij、Bk 是張量，則外積 jnimmnijyxyxxAyA l

18、klkxyxByB xBxAyxyxxyyByAlmnjnimlkkij xCyxyxxyyCkijjnimlkkij張量的乘法（續(xù)）若 Aij、 是對(duì)稱張量， Bij是斜對(duì)稱張量，可以很容易證明，它們的乘積等于0，即: 張量乘法的性質(zhì)：張量的乘法是不可交換的。由幾個(gè)張量連乘的乘積，則乘積張量中指標(biāo)排列的次序由連乘張量的排列次序確定。kijkijBACijkijkABCkijCijkC張量 與張量 不想等。 由于置換張量是關(guān)于任一對(duì)指標(biāo)的反對(duì)稱張 量，因此它與任何一個(gè)二階對(duì)稱張量 的乘積等于0。0ijijBA四、張量的縮并、內(nèi)積jkjikiBA在混合張量中，使一個(gè)上標(biāo)和一個(gè)下標(biāo)相等，然后按求和

19、約定求和，這樣的運(yùn)算，稱為縮并。每一縮并，得到一個(gè)新張量，比原張量降兩階。 設(shè) Aijkl 是一個(gè)四階混合張量。作縮并運(yùn)算，則: xAyxyxyxxyyAqrsplskrjqpijkli若令指標(biāo)i與k相等，可得： xAyxyxxAyxyxyxxyyAqrsplsjqrpqrsplsirjqpijili張量的縮并、內(nèi)積（續(xù)）縮并運(yùn)算可以應(yīng)用于任意階混合張量。還可將乘法和縮并結(jié)合起來(lái)形成新張量，這種運(yùn)算稱為兩張量的內(nèi)乘法，得到的張量稱為該兩張量的內(nèi)積。如：ijiijiBAC五、張量指標(biāo)的提升和下降mlmklkAgA運(yùn)用度量張量 gij 或 gij 可以提升或下降高階張量的指標(biāo)。A) 提升指標(biāo)kml

20、mAgAlkjmimmnjnimijAgAggAB)下降指標(biāo)kmlmAgAlkmlkmlkAgAmijmjmAgAgAggAimmnjnimij注：在度量空間，張量可以用它的任一種變異形式的分量的集合來(lái)表示。一個(gè)張量的協(xié)變分量、逆變分量或混合分量是同一個(gè)張量的不同異變形式的分量。5.3 張量演算一、基矢量的偏導(dǎo)數(shù)與克里斯托弗(Christoffel)符號(hào)將偏導(dǎo)數(shù)的概念推廣，建立協(xié)變導(dǎo)數(shù)的概念，使得一個(gè)張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)是另一個(gè)張量，這是張量演算發(fā)展中最重要的里程碑。張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)是本節(jié)討論的重點(diǎn)。求一個(gè)矢量的導(dǎo)數(shù)，必須對(duì)它的各個(gè)分量與基矢量乘積之和求導(dǎo)：jiijiiiijjiiijijiijvvv

21、vvvx,ggggggV,A) 基矢量 gi 的偏導(dǎo)數(shù)kkijkikjjixxzxzxiig,2式中: ijk是 沿 gk方向的分量；稱為第一種克里斯托弗符號(hào)； ijk 是 沿 gk方向的分量; 稱為第二種克里斯托弗符號(hào)。可以看出基矢量 gi對(duì)于坐標(biāo) xj 的偏導(dǎo)數(shù)也是矢量，它也可以分解成沿對(duì)偶基矢量或基矢量方向的分量：kkijkijkjiggg,ijklkijlklijlkjigggg,kijkllijlijjiklkgggg,B) 克里斯托弗符號(hào)的性質(zhì)及其計(jì)算 1) 克里斯托弗符號(hào)它的第三個(gè)指標(biāo)可以象矢量分量的指標(biāo)一樣提升或下降(但不是張量)lkijlkijlklijijkgg2) 克里斯托弗符號(hào)對(duì)前兩個(gè)指標(biāo)是對(duì)稱的kjikijjikijk3) 克里斯托弗符號(hào)de計(jì)算公式若度量張量的分量已知，坐標(biāo)系的克里斯托弗符號(hào)。由此可知，克里斯托弗符號(hào)也是坐標(biāo)系的幾何特性。 由于直角坐標(biāo)系的 是常數(shù)，所以在直角坐標(biāo)系中4) 克里斯托弗符號(hào)不是張量C) 對(duì)偶基矢量 gi 的偏導(dǎo)數(shù)gi,j jijigg0kjijki,ggggjikjkikjigggg,kijkjigg,二、矢量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)A) 矢量的偏導(dǎo)數(shù)kkijiijijvvggV,變換最后一項(xiàng)中兩個(gè)啞指標(biāo)的字符，ijiiijkkijijvvvg|ggV,ijkkji