1、大數(shù)定律大數(shù)定律 與與 中心極限定理中心極限定理第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科。只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗時只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗時, 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性才會呈現(xiàn)出來。也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中尋求必然律性才會呈現(xiàn)出來。也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中尋求必然的法則的法則, 應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象。應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象。 研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象, 極限工具無疑是最有效的方法。極限工具無疑是最有效的方法。這導(dǎo)致了對極限定理的研究。這導(dǎo)致了對極

2、限定理的研究。 極限定理包含的內(nèi)容很廣泛極限定理包含的內(nèi)容很廣泛,其中最重要的有兩類其中最重要的有兩類:大數(shù)定律與中心極限定理要解決的問題大數(shù)定律與中心極限定理要解決的問題 1. 為何能以某事件發(fā)生的頻率為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的作為該事件的 概率的估計？概率的估計？2. 為何能以樣本均值作為總體為何能以樣本均值作為總體 期望的估計？期望的估計？3. 為何正態(tài)分布在概率論中占為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？有極其重要的地位？4. 大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ) 是什么？是什么？大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限定理中心極限定理 大量隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性：由

3、于大量大量隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性：由于大量的隨機(jī)現(xiàn)象中的隨機(jī)現(xiàn)象中, 個別隨機(jī)現(xiàn)象所引起的偏差會相互個別隨機(jī)現(xiàn)象所引起的偏差會相互抵消和補(bǔ)償，致使大量隨機(jī)現(xiàn)象的共同作用的總平抵消和補(bǔ)償，致使大量隨機(jī)現(xiàn)象的共同作用的總平均結(jié)果趨于穩(wěn)定。均結(jié)果趨于穩(wěn)定。 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景一、一、切比雪夫切比雪夫不等式不等式在未知分布的情形下在未知分布的情形下估計估計 P(|(|X- -EX| | ) )，有有，則則對對和和方方差差有有期期望望設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量0 DXEXX221)|(|)|(| DXEXXP DXEXXP或或第一節(jié)第一節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律證證 (僅就連續(xù)的情形給出證明僅

4、就連續(xù)的情形給出證明)，有有，則則對對的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)0 f(x)XdxxfXEXPEXX |)()| (xdxfEXxEXX |22)()(dxxfEXxEXX |22)()(1.2 DX1)(22 EXx 由由切比雪夫切比雪夫不等式可看出不等式可看出：DX 越小越小,則事件則事件|X-EX| | 的的概率越大概率越大，即即隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 集中在期望附近的可能性越大。集中在期望附近的可能性越大。由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度 221)|(|)|(| DXEXXP DXEXXP或或成成立立。并并驗

5、驗證證切切比比雪雪夫夫不不等等式式計計算算實實際際點點數(shù)數(shù)，若若給給定定是是擲擲一一顆顆骰骰子子所所出出現(xiàn)現(xiàn)的的設(shè)設(shè)例例),|(|, 2 , 1 1 EXXPX),6 , 2 , 1(61)( k kXPX 的的分分布布為為因因為為解解：1235,27 DXEX 則則31)6()1()2|27(| XPXPXP314835123541:2321235:122 DXDX時時時時32)1|27(| XP可可得得：滿滿足足切切比比雪雪夫夫不不等等式式?？煽梢娨?， X )|(|2?DXEXXP之之間間的的概概率率。與與數(shù)數(shù)在在立立，估估計計夜夜晚晚同同時時開開燈燈，假假定定開開關(guān)關(guān)時時間間相相互互獨獨

6、為為燈燈的的概概率率盞盞電電燈燈，夜夜晚晚每每盞盞燈燈開開設(shè)設(shè)電電站站供供電電網(wǎng)網(wǎng)有有例例720068007010000 2.的的二二項項分分布布。目目，它它服服從從表表示示夜夜晚晚同同時時開開燈燈的的數(shù)數(shù)令令解解：7 . 0,10000 pnX 719968011000010000)3 . 0()7 . 0()72006800(kkkkCXP 努努利利公公式式若若要要準(zhǔn)準(zhǔn)確確計計算算，可可由由貝貝。則則95. 020021001)200|7000(|)72006800(2 XPXP 21007000 ,DXEX計計，由由若若用用切切比比雪雪夫夫不不等等式式估估21)|(| DXEXXP成成立

7、立？此此時時是是否否有有頻頻率率逐逐漸漸穩(wěn)穩(wěn)定定到到概概率率增增大大時時當(dāng)當(dāng)為為次次試試驗驗中中的的出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻率率在在則則事事件件次次共共發(fā)發(fā)生生事事件件次次貝貝努努利利試試驗驗，現(xiàn)現(xiàn)做做率率為為在在一一次次試試驗驗中中發(fā)發(fā)生生的的概概若若事事件件pnXnnXnAXAnpAn lim ,).( , 0 n不成立不成立npnXPnXP )(1如如.)( 0,lim成成立立而而是是成成立立概概率率并并不不意意味味接接近近頻頻率率 npnXPpnXn二、大數(shù)定律二、大數(shù)定律. 1lim , 0),10( , :) ( pnXPppAAnXn有有則則對對率率為為在在每每次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)的

8、的概概又又出出現(xiàn)現(xiàn)的的次次數(shù)數(shù)重重貝貝努努利利試試驗驗中中事事件件是是設(shè)設(shè)貝貝努努利利大大數(shù)數(shù)定定律律定定理理,1, 0;, 1niAiAiXi 不不出出現(xiàn)現(xiàn)次次試試驗驗中中第第出出現(xiàn)現(xiàn)次次試試驗驗中中第第令令,. 兩點分布兩點分布且且diiXi., 2 , 1 , ,nipqDXpEXii ,1 niiXX則則.)(11nXEXpnXniinii 則由切比雪夫不等式，有則由切比雪夫不等式，有:證證明明|)(|11 nXEXPpnXPniinii. 0)(2221 nniinpqnXD 定理表明：在定理表明：在 n 重貝重貝努利獨立試驗努利獨立試驗中，當(dāng)試驗次數(shù)中，當(dāng)試驗次數(shù) n 時，事時，事

9、件件 A 的的頻率依概率收斂于頻率依概率收斂于事件事件 A 的的概率概率。貝。貝努利努利大數(shù)大數(shù)定律提供定律提供了通過試驗來確定事件概率方法的理論依據(jù)，了通過試驗來確定事件概率方法的理論依據(jù)，即用頻率估計概即用頻率估計概率是合理的。率是合理的。有有由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式 ,. 111lim , 0, 2 , 1,0,:)(1121 niiniiniEXnXnPiCDXCXX有有則則對對使使得得即即存存在在常常數(shù)數(shù)又又設(shè)設(shè)它它們們的的方方差差有有界界機(jī)機(jī)變變量量是是一一列列兩兩兩兩不不相相關(guān)關(guān)的的隨隨設(shè)設(shè)切切比比雪雪夫夫大大數(shù)數(shù)定定律律定定理理:證證明明2111111 niiniini

10、iXnDEXnXnP221 nDXnii).( 02 nnC.)E(,)(.,11附附近近的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望將將比比較較密密集集的的聚聚集集在在它它到到的的即即經(jīng)經(jīng)過過算算術(shù)術(shù)平平均均以以后后得得的的離離散散程程度度很很小小的的平平均均數(shù)數(shù)這這個個新新的的個個獨獨立立充充分分大大時時當(dāng)當(dāng)在在定定理理條條件件下下nXnXr.v.r.v.vrnnniinii 定理定理說明：說明：(1) . 11lim , 0, 2 , 1,:)(121 aXnPiaEXXXniini有有則則對對且且數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望存存在在機(jī)機(jī)變變量量是是一一列列獨獨立立同同分分布布的的隨隨設(shè)設(shè)辛辛欽欽大大數(shù)數(shù)定定律律定定理理

11、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值, 提供了一條實際提供了一條實際可行的途徑可行的途徑: 若視若視 X i 為重復(fù)試驗中對隨機(jī)變量為重復(fù)試驗中對隨機(jī)變量 X 的第的第 i 次觀察次觀察, . ,1,理理論論保保證證的的較較為為精精確確的的估估計計提提供供作作為為均均值值算算術(shù)術(shù)平平下下，取取多多次次重重復(fù)復(fù)觀觀測測的的這這為為在在未未知知分分布布的的情情形形到到收收斂斂以以概概率率值值次次觀觀察察結(jié)結(jié)果果的的算算術(shù)術(shù)平平均均的的對對時時則則當(dāng)當(dāng)EXXEXXnXn 例如例如, 有一批產(chǎn)品有一批產(chǎn)品,不知其壽命不知其壽命X 的分布的分布,為評價其質(zhì)量，需為評價其質(zhì)

12、量，需確定其平均壽命確定其平均壽命X ,隨機(jī)的從中抽取隨機(jī)的從中抽取n件產(chǎn)品并測得其壽命分別件產(chǎn)品并測得其壽命分別 .,1,121越精確越精確越大越大且且的估計值的估計值作為作為則可用則可用為為nEXxnxxxniin 例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，可收割某些有代表可收割某些有代表性的地塊，計算其平均畝產(chǎn)量，當(dāng)性的地塊，計算其平均畝產(chǎn)量，當(dāng) n 較大時，可用它作為較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個近似整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個近似. ,)1(, 等術(shù)語等術(shù)語極限極限類似微積分中的類似微積分中的極限極限中的中的而是而是并非極限關(guān)系并非極限關(guān)系靠近靠近這種近似和

13、這種近似和前面已經(jīng)說過前面已經(jīng)說過).( , npnXP貝努利大數(shù)定律說明貝努利大數(shù)定律說明按照上述說法按照上述說法)(11lim 11 naXnaXnPniiPniin或或. 1,1aXnnii依概率收斂于依概率收斂于稱稱此時此時 (1)所表示的關(guān)系記為所表示的關(guān)系記為我們把我們把.lim, 2 , 1,1)|(|lim , 0,:21aXPaXaiXaXPaXXnnPninn 或或記記作作依依概概率率收收斂斂于于則則稱稱序序列列有有對對使使得得如如果果存存在在一一個個常常數(shù)數(shù)是是一一個個隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列設(shè)設(shè)定定義義 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式

14、表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn)大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的具體表現(xiàn). .大數(shù)定大數(shù)定律在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用。律在理論和實際中都有廣泛的應(yīng)用。 . ; ; , 矩矩方方法法等等的的近近似似得得到到參參數(shù)數(shù)估估計計的的利利用用樣樣本本矩矩作作為為總總體體矩矩還還可可以以計計隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布進(jìn)進(jìn)行行估估定定性性來來對對事事件件的的概概率率和和還還可可以以利利用用頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)的的較較精精確確估估計計作作為為算算術(shù)術(shù)平平均均值值重重復(fù)復(fù)觀觀測測的的就就依依據(jù)據(jù)大大數(shù)數(shù)定定律律去去多多次次如如在在

15、數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計計中中EXX. 1)|(|lim, pnXPApn則則發(fā)生的概率發(fā)生的概率是事件是事件, XAn發(fā)生的次數(shù)為發(fā)生的次數(shù)為重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件.1| )1(1| lim11 niniiinXnEXnP)(aXPnXn 依概率收斂依概率收斂于于a . 1)| (lim aXPnnXn 服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律 ,1)| (lim nnaXP0依概率收斂于依概率收斂于服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律aXXn 貝努利大數(shù)定律貝努利大數(shù)定律小結(jié)小結(jié) 切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律. 1)|1(|lim1 aXnPniin則則存存在在且且期期望望獨獨立立同同分分布布,aEXXin

16、辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律則則方差存在且有公共上界方差存在且有公共上界相互獨立相互獨立 , ,nXpnXPaXnPnii 11 niniiPiXEnXn1111中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實際問題中在實際問題中, 常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響影響. 例如例如, 炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差, 就受著許多隨機(jī)就受著許多隨機(jī)因素的影響因素的影響. 如瞄準(zhǔn)時的誤差如瞄準(zhǔn)時的誤差, 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差空氣阻力所產(chǎn)生的誤差, 炮彈炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.重要的是重要的是隨機(jī)因素的總影響隨

17、機(jī)因素的總影響. . 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后, 人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布在自然界中極為常見正態(tài)分布在自然界中極為常見. 觀察表明觀察表明, 如果一個量是如果一個量是由大量由大量相互獨立的隨機(jī)因素的影響所造成相互獨立的隨機(jī)因素的影響所造成, 而每一個別因而每一個別因素在總影響中所起的作用不大素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都則這種量一般都服從或近服從或近似服從正態(tài)分布似服從正態(tài)分布.第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理當(dāng)當(dāng) n 無限增大時無限增大時, 這個和的極限分布是什么呢這個和的極限分布是什么呢? 在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢

18、？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？ 在一般情況下在一般情況下, 很難求出很難求出 X1 + X2 + + Xn 分布的確切形式分布的確切形式, 但當(dāng)?shù)?dāng) n 很大時很大時, 可以求出這個和的近似分布可以求出這個和的近似分布.下面來研究獨立下面來研究獨立隨機(jī)變量之和隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題所特有的規(guī)律性問題: 研究研究 n 個隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量個隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函數(shù)的極限的分布函數(shù)的極限. 中心極限定理中心極限定理把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理中心極限

19、定理.).(lim ,.10,)(1n21xxnpqnpXPvrpXXXLDniin 序序列列分分布布的的的的參參數(shù)數(shù)為為為為獨獨立立同同：設(shè)設(shè)中中心心極極限限定定理理定定理理.),(, 為為極極限限分分布布布布二二項項分分布布就就可可用用正正態(tài)態(tài)分分比比較較大大只只要要該該定定理理說說明明npqnpNn.5 . 05 . 0 )5 . 05 . 0()()1( npqnpmnpqnpmmXmPmXP.)()2( npqnpanpqnpbbXaP.1 pnXPpnXP. 12 )|(| pqnpqnnpqnpXPnnpXPpnXP.12)3( pqnpnXP之之間間的的概概率率。與與數(shù)數(shù)在在立

20、立，計計算算夜夜晚晚同同時時開開燈燈，假假定定開開關(guān)關(guān)時時間間相相互互獨獨為為燈燈的的概概率率盞盞電電燈燈，夜夜晚晚每每盞盞燈燈開開、設(shè)設(shè)電電站站供供電電網(wǎng)網(wǎng)有有例例7200680070100001.2100,70000)7 . 0 ,10000( DXEXBXX。且且目目，表表示示夜夜晚晚同同時時開開燈燈的的數(shù)數(shù)令令解解：.99999. 01)36. 4(2 36. 483.457000 )200|7000(|)72006800( XPXPXP則則應(yīng)用中的概率解釋：應(yīng)用中的概率解釋： 盡管該電網(wǎng)負(fù)責(zé)供應(yīng)一萬盞燈所需的電力盡管該電網(wǎng)負(fù)責(zé)供應(yīng)一萬盞燈所需的電力, , 但提供但提供 7200 盞燈

21、所需的電力就能以盞燈所需的電力就能以 99.99 % % 的概率保證需求的概率保證需求. . .%90,%5,2002的的話話需需用用外外線線是是可可以以接接通通以以上上的的概概率率保保證證每每部部電電才才能能以以線線問問總總機(jī)機(jī)至至少少要要裝裝多多少少外外互互獨獨立立的的電電話話是是否否使使用用外外線線是是相相設(shè)設(shè)每每部部的的時時間間使使用用外外線線每每部部電電話話約約有有部部電電話話、某某單單位位有有例例解解 .200, 2 , 1, 0, 1 iiiXi部部電電話話不不使使用用外外線線通通話話第第部部電電話話使使用用外外線線通通話話第第令令, 01,05. 0)1( npXPpi.200

22、1電電話話總總數(shù)數(shù)是是同同時時使使用用外外線線通通話話的的 iiXX即要即要求最小的求最小的 k, 使得使得 P(0 X k) 0. 90 .由由D-L中心極限定理：中心極限定理：)0(2001kXPii )5. 9105. 9105. 9100(2001 kXPii90. 0)5. 910()5. 910( k)282. 1( ,282. 15. 910即即可可只只要要 k95.13 k解得解得故至少應(yīng)安裝故至少應(yīng)安裝 14 條外線條外線.40000)()2(;)1(,1000 ,12,06.00 ,100003元元的的概概率率不不少少于于不不計計管管理理費費保保險險公公司司獲獲得得利利潤潤

23、保保險險公公司司虧虧本本的的概概率率問問在在該該活活動動中中元元其其家家屬屬可可從從公公司司獲獲賠賠被被保保人人死死亡亡時時元元保保費費每每個個參參保保人人年年初初交交在在一一年年內(nèi)內(nèi)死死亡亡的的概概率率為為已已知知該該類類人人人人壽壽保保險險同同齡齡且且同同階階層層的的人人參參加加、某某保保險險公公司司有有例例解解 設(shè)設(shè) X 為一年內(nèi)總死亡人數(shù)，為一年內(nèi)總死亡人數(shù)， 則則 X B(n,p) 該活動中保險公司每年總收入為該活動中保險公司每年總收入為 10000 12 = 120000, (1) 只有死亡人數(shù)多于只有死亡人數(shù)多于120人時人時, 公司才會賠本公司才會賠本. )499. 006.

24、01000006. 010000120499. 006. 01000006. 010000(1XP)120( XP)7694. 7(1 . 0 (2) 僅僅當(dāng)每年死亡人數(shù)不超過當(dāng)每年死亡人數(shù)不超過 80 人時人時, 公司獲利不少于公司獲利不少于40000元元.)80( XP)64.59608064.5960( XP.9960.0)5886.2( 下面給出下面給出獨立同分布獨立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理隨機(jī)變量序列的中心極限定理, 也也稱稱 LevyLindberg定理定理.).(lim , 2 , 1, 0,.,)(1n2221xxnnaXPiDXaEXvrdiiXXXniiiin 其其

25、中中且且序序列列的的為為：設(shè)設(shè)理理獨獨立立同同分分布布中中心心極極限限定定定定理理).,(,.,., 21 nnaNXXnvrnnii近近似似服服從從即即分分布布標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)總總可可近近似似的的認(rèn)認(rèn)為為是是服服從從其其和和的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化充充分分大大時時當(dāng)當(dāng)不不論論原原來來服服從從什什么么分分布布個個獨獨立立同同分分布布的的該該定定理理說說明明),(21 nnaNXnii) 1 , 0(*NX),(121naNXnnii 可近似認(rèn)為可近似認(rèn)為: : .20500,200,10,100,4克克的的概概率率求求一一箱箱口口服服液液凈凈重重大大于于瓶瓶一一箱箱內(nèi)內(nèi)裝裝克克標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差為為克克期期

26、望望值值為為液液凈凈重重為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量所所以以每每瓶瓶的的口口服服由由于于機(jī)機(jī)器器會會有有誤誤差差、用用機(jī)機(jī)器器把把口口服服液液裝裝瓶瓶例例解解 設(shè)一箱口服液凈重為設(shè)一箱口服液凈重為 X 克克, 箱中第箱中第 i 瓶凈重為瓶凈重為 X i ( i = 1, 200 )顯然顯然X i 獨立且同分布，獨立且同分布， 且且 EX i = 100, DX i = 10 2 (i = 1, , 200).).20500( ,2001 XPXXii則所求概率為則所求概率為記記由獨立同分布中心極限定理知由獨立同分布中心極限定理知)20500(1)20500( XPXP 2100200002050021

27、002000012001iiXP)2001500(1 .0002. 0 斤斤的的概概率率。過過同同型型號號螺螺絲絲釘釘?shù)牡闹刂亓苛砍瑐€個兩兩，求求一一盒盒是是兩兩，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差個個隨隨機(jī)機(jī)變變量量，期期望望值值是是、一一個個螺螺絲絲釘釘重重量量是是一一例例210)100(1015.。獨獨立立同同分分布布，且且則則個個螺螺絲絲釘釘?shù)牡闹刂亓苛繛闉楸肀硎臼疽灰缓泻兄刂亓苛浚泻兄兄械诘诹盍罱饨猓?100211 . 0, 1, iiiDXEX,X,XXXiX。由由中中心心極極限限定定理理，且且則則1DX100EX,XX1001ii 022750. 0977250. 01)2(1)2100(121100)102(0 XPXPXP。顆顆炸炸彈彈命命中中目