1、而向量PA在n上的投影的大小等于線段AA的,所以點(diǎn)A到平面6 距離的計(jì)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離的概念2 掌握點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算3體會(huì)空間向量解決立體幾何問(wèn)題的三步曲EI知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離i點(diǎn)到直線的距離因?yàn)橹本€和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題就是空間中某一平面內(nèi) 點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題如圖，設(shè)I是過(guò)點(diǎn)P平行于向量s的直線，A是直線I外一定點(diǎn).2點(diǎn)到直線的距離的算法框圖空間一點(diǎn)A到直線I的距離的算法框圖，如圖知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離1.求點(diǎn)到平面的距離如圖，設(shè)n是過(guò)點(diǎn)P垂直于向量n的平面，A是平面n外一定點(diǎn).作AA丄I，垂足為

2、A,則點(diǎn)A到直線I的距離d等于線段AA的長(zhǎng)度，而向量PA在s上的投影的大小等于線段PA的長(zhǎng)度,所以根據(jù)勾股定理有點(diǎn)A到直線I的距離而向量PA在n上的投影的大小等于線段AA的,所以點(diǎn)A到平面作AA丄n,垂足為A，則點(diǎn)A到平面n的距離d等于線段AA的長(zhǎng)度3n的距離d=_.2點(diǎn)到平面的距離的算法框圖空間一點(diǎn)A到平面n的距離的算法框圖，如圖所示知識(shí)點(diǎn)三直線到與它平行的平面的距離如果一條直線平行于平面a，那么直線上的各點(diǎn)向平面a所作的垂線段均相等，即直線上各點(diǎn)到平面a的距離均_ .一條直線上的任一點(diǎn)到與該直線平行的平面的距離，叫作直線與平面的距離知識(shí)點(diǎn)四 兩個(gè)平行平面的距離和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，

3、叫作兩個(gè)平面的 _ 公垂線夾在兩個(gè)平行平面之間的部分，叫作兩個(gè)平面的 _ 兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫作兩個(gè)平行平面的 _ 題型探究類型一 求點(diǎn)到直線的距離例 i 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)為DA的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線EF的距離.反思與感悟已知一點(diǎn)P和一個(gè)向量s確定的直線I，那么空間一點(diǎn)A到直線l的距離的算法步驟(1)計(jì)算斜向量PA計(jì)算PA向量s上的投影PA-SO；(3)根據(jù)勾股定理，計(jì)算d= 寸|函2_眉.SO|22 的正方體ABCBABCD,E F分別是棱CC和4點(diǎn)A到直線I的距離公式也可以寫成d=|PA2-PA-|S|2.求平行直線間的距離通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離跟蹤訓(xùn)練 1 如

4、圖，在直三棱柱ABC-ABC中，過(guò)Al,B,G三點(diǎn)的平面和平面ABC勺交線為I.甬_c,ffi判斷直線AG和I的位置關(guān)系，并加以證明；如果AA= 1,AB=4,BC=3，/ABC=90，求點(diǎn)A到直線I的距離類型二求點(diǎn)到平面的距離例 2 已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為 4 的正方形，E,F分別是AB AD的中點(diǎn)，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離反思與感悟利用向量求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟(1) 求出該平面的一個(gè)法向量；(2) 求出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離跟蹤訓(xùn)

5、練 2 已知點(diǎn)A 1,1，- 1)，平面a經(jīng)過(guò)原點(diǎn)Q且垂直于向量n= (1 , - 1,1), 求點(diǎn)A到平面a的距離5類型三 求直線到與它平行的平面的距離例 3 在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA B C D中，E,F分別是BB,CC的中點(diǎn)(1)求證：AD/平面A EFD;求直線AD到平面A EFD的距離反思與感悟 求線面距離常轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到平面的距離跟蹤訓(xùn)練 3 在直棱柱ABCBABCD中，底面為直角梯形，AB/ CD且/ADC=90,AD=1,CD=y/3,BC=2,AA= 2,E是CC的中點(diǎn)求直線AB與平面ABE的距離類型四 求兩平行平面間的距離例 4 如圖，正方體ABCDAiB C D的

6、棱長(zhǎng)為 4,M N, E, F分別為AiD,AB,C D,B C的中點(diǎn)，求平面AMN平面EFBD間的距離反思與感悟 求平行平面之間的距離常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離跟蹤訓(xùn)練 4 已知正方體ABCDA B CD的棱長(zhǎng)為 1，求平面AiBD與平面B CD間的距離61 在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDAiB C D中，M是AA的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面MBD勺距離是()當(dāng)堂訓(xùn)練71,0,1)，則兩平面間的距離是()B #C. 3D.3 23.已知平面a的一個(gè)法向量為n= ( 2, 2,1)，點(diǎn)A 1,3,0)在a內(nèi)，則P( 2,1,4)到a的距離為4.在長(zhǎng)方體ABCD ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為 2 的正方形

7、，高AA為 4,則點(diǎn)A到截面ABD的距離是5.如圖，多面體是由底面為ABCD勺長(zhǎng)方體被截面AECF所截而得到的，其中AB=4,BC= 2,CG= 3,BE=1 .(1)求BF的長(zhǎng);求點(diǎn)C到平面AEGF的距離.廠規(guī)律與方法-1.由直線到平面的距離的定義可知，直線與平面的距離，實(shí)質(zhì)上就是直線上一點(diǎn)到平面的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求2.兩個(gè)平行平面的公垂線段就是在一個(gè)平面內(nèi)取一點(diǎn)向另一個(gè)平面作垂線段，所以兩個(gè)平行 平面間的距離可轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離，即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離 求解.提醒：完成作業(yè) 第二章6合案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一A.B.2.兩平行平面(X、B分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

8、0和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量為n=(3A.2Ci81.| 觸so| 寸崗2_1PA. S0|知識(shí)點(diǎn)二1.|PA no| 長(zhǎng)度 |PA n|知識(shí)點(diǎn)三相等知識(shí)點(diǎn)四公垂線公垂線段距離題型探究例 1 解如圖，連接AF正方體ABCBABCD的棱長(zhǎng)為 2,二A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2).直線EF的方向向量為EF= (1 , - 2, 1),取直線EF上一點(diǎn)F(1,0,2),點(diǎn) A2,0,0)到直線EF上一點(diǎn)F(1,0,2)的向量為辰 (-1,0,2),AF在匠上的投影為AF=士i 曲V6點(diǎn)A到直線EF的距離為跟蹤訓(xùn)練 1 解(1)AC/I.證明如下：/AQ/AC A

9、1C?平面ABC AC平面ABC-AQ/ 平面ABC9又平面ACBQ平面ABG= I,I/AG.(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可知G(0,0,2) ,E(4 , - 2,0) ,F(2 , - 4,0),巳 4,0,0), &E=(4，-2, -2),GF=(2, -4, -2),BE= (0, - 2,0).設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n= (x,y,z).琵n= 0 , 由丫n= 0 ,x=-y,則B(4,0,0),G(4,3,0) , A(0,0,1),Ci(4,3,1).AiB= (4,0 , - 1) ,AG= (4,3,0).過(guò)點(diǎn)B作BHLAG,垂足為點(diǎn)H由(1)知，

10、I/AiG，BH即為點(diǎn)Ai到直線I的距離.TAiBAG16, iAH=ABAG|AiG|16T，IBH= .|両2-|AiH2=罟即點(diǎn)A到直線1的距離為孑例 2 解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系2x-y-z= 0 ,得x-2y-z= 0 ,10z=- 3y.11令y= 1，貝y n= ( 1,1 , - 3), 故點(diǎn)B到平面EFG的距離為跟蹤訓(xùn)練 2 解/OA( 1,1， 1),n= (1 , 1,1),|OA* n| 1 1 1| l點(diǎn)A到平面a的距離為d=3.丨n| 述例 3 (1)證明 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖由題意得5A=

11、(a,0,0),DA= (a,0,0),DA/ D A./ DzA平面A EFD,AD?平面A EFD,AD/平面AEFD.a解 由題意得D (0,0 ,a),F(0 ,a,p，不妨令z= 1，貝U n= (0 , 2，1).DF在n上的投影的大小為.|DF- n|2 ,;5d= a.|BEn|n|=2 2；11貝n*DF=0,In*D= 0,1ayaz= 0,ax= 0.設(shè)平面A EFD的一個(gè)法向量為n= (x,y,z),12In|513直線AD到平面A EFD的距離為跟蹤訓(xùn)練 3 解 如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0

12、,2) ，A(1,0,0) ，E(0，3，1)，QO,3，0).過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)F,易得BF=. 3,- B(1,23,0), XB=(0,2 .3,0),BE=(-1,-.3,1).設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n= (x,y,z),y=0,令z= 1, 得n= (1,0,1).x=z.- AA= (0,0,2),直線AB與平面ABE的距離為空間直角坐標(biāo)系，貝 y Q0,0,0),M(2,0,4),A(4,0,0),B(4,4,0),曰 0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4), EF=(2,2,0), MN=(2,2,0),nAB=0,nBE=咎y= 0,x護(hù)y+z= 0

13、,|AAn|In|22=2.例 4 解如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸建立14XM=(2,0,4), BF=(2,0,4),EF=MN,AM=BF,15 EF/ MN AIM/ BF,平面AMN平面EFBD設(shè)n= (x,y,z)是平面AMIN勺一個(gè)法向量,x=2z解得尸-次令Z=1，得x=2，y=-2,則n=(2, -2,1).又T XB= (0,4,0),8 8-.,4 + 4+13跟蹤訓(xùn)練 4 解 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立 如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,1),設(shè)

14、平面ABD的一個(gè)法向量為n= (x,y,z),令z= 1,得y= 1,x=- 1 , n= ( 1,1,1).點(diǎn)D到平面ABD的距離為n| 1至d=_3=寧nMN=2x+ 2y=0,則In XM=-2x+4z=0,Ate n上的投影為nABTnr平面AMN與平面EFBD可的距離為d=|nAB|nl0000 - - 3 3AiB= (0,1,1),AD=(1,0,-1),AD=(1,0,0).nAB=0 , 則nAD=0 ,V-z=0 ,xz=0.16平面ABD與平面BCD間的距離等于點(diǎn)D到平面ABD的距離,17平面ABD與平面BCD間的距離為 當(dāng)堂訓(xùn)練1041.A2.B3. 4. 3335.解(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0) ，Q0,4,0) ，E(2,4,1) ，C(0,4,3).設(shè)點(diǎn) ”0,0，z).截面AECF為平行四