1、第三節(jié)用樣本估計總體1. 了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉 圖，理解它們各自的特點.2 理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3 能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理解釋.4 會用樣本的頻率分布估計總體的分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字 特征，理解用樣本估計總體的思想.5 會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.主干知漢整合07_課前拍才槌固棍基知識點一用樣本的頻率分布估計總體分布i通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計總體的頻率 分布，另一種是用樣

2、本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征.2._ 在頻率分布直方圖中，縱軸表示,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用_表示，各小長方形的面積總和等于 _ .3 .連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.隨著樣本容量的增加，作圖時所分的 _增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為 _ ，它能夠更加精細(xì)的反映出總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比.4 當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且 可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便.答案頻率2.組距各小長方形的面積13 .組數(shù)總體密度曲線-2 -對點快練1.判斷正誤（1）在頻率

3、分布直方圖中，小矩形的高表示頻率.（）-3 -(2)頻率分布直方圖中各個長方形的面積之和為1.()答案：XV2 . (2016 山東卷)某高校調(diào)查了 200 名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖 所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5) , 22.5,25) , 25,27.5) , 27.5,30.根據(jù)直方圖，這 200 名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于 22.5 小時的人數(shù)是()C. 120D. 140解析：由頻率分布直方圖可知，這200 名學(xué)生每周的自習(xí)時間不少于22.5 小時的頻率為(0.16 + 0.08 + 0

4、.04)X2.5 = 0.7，故這 200 名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5 小時的人數(shù)為 200X0.7 = 140.故選 D.答案：D3甲、乙兩個班各隨機選出15 名同學(xué)進(jìn)行測驗，所得成績的莖葉圖如圖從圖中看_班的平均成績較高.A. 5694 187 6 42 174 46乙45762 5972 578 981 447 992-4 -解析：結(jié)合莖葉圖中成績的情況可知，乙班平均成績較高.答案：乙知識點二用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1) 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2) 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個

5、數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3) 平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即 7 =_ .在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積 _2 .樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 s =_ .其中 xn是樣本數(shù)據(jù)的第 n 項，n 是樣本容量， 匚是平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方通常用樣本方差估計總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體 容量時，樣本方差很接近總體方差.答案1左1 (3)n(X1+X2+ +Xn)相等/1 -2 - 2 - 22.-X1X+X2X+XnX.n-對點快練4 .某廠 10 名工人在一個小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是15,17,14,10,1

6、5,17,17,16,14,12設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,中位數(shù)為 b，眾數(shù)為 c,則有()A. abcB.bcaC. cab解析：把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均數(shù)115+ 15a= 10X(10 + 12+ 14+ 14+ 15+ 15+ 16+ 17 + 17+ 17) = 14.7，中位數(shù) b= = 15,眾數(shù) c=17,則 abba-5 -(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_.解析：(1) x =7 + 8+ 7 + 9+ 5 + 4+ 9+ 10+ 7 + 410212 2 2 2 2 2 2(2)s =而(7 7) + (8

7、7) + (7 7) + (9 7) + (5 7) + (4 7) + (9 7) + (10 7)2 2+ (7 7) + (4 7) = 4,二 s= 2.答案：(1)7(2 )202熱點一頻率分布直方圖及應(yīng)用考向 1 求頻率與概率【例 1】某電子商務(wù)公司對 10 000 名網(wǎng)絡(luò)購物者 2014 年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間0.3,0.9內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.(1) 直方圖中的 a=_.(2) 在這些購物者中，消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為 _ .【解析】 由頻率分布直方圖及頻率和等于1 可得 0.2X0.1 + 0.8X0.1 +

8、1.5X0.1 +2X0.1 + 2.5X0.1 + ax0.1 = 1,解得 a= 3,消費金額在區(qū)間0.5,0.9 內(nèi)的頻率為 0.2X0.1 + 0.8X0.1 +2X0.1 + 3X0.1 =0.6，所以消費金額在區(qū)間0.5,0.9內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6X10 000=6 000.【答案】 (1)3(2)6 000考向 2 求樣本的數(shù)字特征-6 -頻率0.035緲0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005o 405060708090100分?jǐn)?shù)【例 2】某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機抽出60 名學(xué)生，將其物理成績（均為整數(shù)）分成六段40,50） ,

9、50,60），90,100后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察 圖形的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在70,80）內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計本次考試中的平 均分.【解】（1）設(shè)分?jǐn)?shù)在70,80）內(nèi)的頻率為X,根據(jù)頻率分布直方圖，有（0.010 + 0.015X2+ 0.025+ 0.005）X10+x= 1,可得x= 0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示.頻率(2)平均分：45X0.1 + 55X0.15 + 65X0.15 + 75X0.3 + 85X0.25 + 95X0.05 =【總結(jié)反思】頻率分布直方圖直觀形象

10、地表示了樣本的頻率分布，從這個直方圖上可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個組的頻率分布根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本（或者總體）的平均值時，一般是采取每組中值乘以各組的頻率的方法.71(分).-7 -（2016 四川卷）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年100 位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5）, 0.5,1），4,4.5分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.頻率組距0.50.0,42.（I）求直方圖中a的值；（n）設(shè)該市有 30 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)，說明理由；（川）估計居民月均用

11、水量的中位數(shù).解：（I）由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在 0,0.5）的頻率為 0.08X0.5 = 0.04.同理，在0.5,1）, 1.5,2） , 2,2.5） , 3,3.5） , 3.5,4） , 4,4.5）組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由 1 （0.04 + 0.08 + 0.21 + 0.25 + 0.06 + 0.04 + 0.02） = 0.5Xa+ 0.5Xa,解得 a= 0.30.（n）由（I） , 100 位居民月均用水量不低于 3 噸的頻率為 0.06 + 0.04 + 0.02 = 0.12.由以上樣本的頻率分布，可

12、以估計30 萬居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)為 300000X0.12=36 000.（川）設(shè)中位數(shù)為 x 噸.因為前 5 組的頻率之和為 0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.21 + 0.25 = 0.730.5 ,而前 4 組的頻率之和為 0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.21 = 0.480.5 ,所以 2 x2.5.由 0.50X（x 2） = 0.5 0.48，解得 x = 2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04 噸.熱點二莖葉圖及應(yīng)用【例 3】（2017 福州模擬）某大學(xué)為調(diào)查來自南方和北方的大學(xué)生的身高差異， 從 2013 級的年齡在 181

13、9 歲之間的大學(xué)生中隨機抽取了來自南方和北方的大學(xué)生各10 名，測量得O.AAO.620045二O.1_-1 1-522.5 3 3.54 4.5月均用水量（噸）-8 -他們的身高（單位：cm）如下：南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166.畫出題中兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對來自南方和北方的大學(xué)生的身高進(jìn)行比較, 寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論.【解】 題中兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示:南方北方0183651017135 8996321636 98157統(tǒng)計結(jié)論：北方大學(xué)生的平

14、均身高大于南方大學(xué)生的平均身高；南方大學(xué)生的身高比北方大學(xué)生的身高更整齊；南方大學(xué)生的身高的中位數(shù)是169.5 ,北方大學(xué)生的身高的中位數(shù)是 172 :南方大學(xué)生的身高基本上是對稱的，而且大多數(shù)集中在均值附近，北方大學(xué)生的身高分布較分散【總結(jié)反思】（1）莖葉圖保留了全部的樣本數(shù)據(jù)；（2）從莖葉圖上可以發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的分散與集中程度，從而對樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差作出定性判斷（1）某中學(xué)從甲、乙兩個藝術(shù)班中各選出 7 名學(xué)生參加市級才藝比賽， 他們?nèi)〉玫某煽儯M 分100 分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績的眾數(shù)是85,乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是 83,則x+y的值為（）A.6B. 8C. 9D.

15、11甲乙甲乙86979 8 2 7 85 x0811 y6 5 8 6 8 86291 1 629131 題圖2 題圖（2）為了從甲、乙兩人中選一人參加數(shù)學(xué)競賽，老師將二人最近6 次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)進(jìn)行-9 -統(tǒng)計，甲、乙兩人的平均成績分別是7甲、7乙，則下列說法正確的是（）A.7甲X乙，乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽-10 -B. x甲x乙，甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)選甲參加比賽C. 7甲X乙，甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)選甲參加比賽D. 7甲X乙，乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽解析：（1）由莖葉圖可知，莖為 8 時，甲班學(xué)生成績對應(yīng)數(shù)據(jù)只能是80,80 +x,85，因為甲班學(xué)生成績眾數(shù)是 85，所以 85 出

16、現(xiàn)的次數(shù)最多，可知x= 5.由莖葉圖可知，乙班學(xué)生成績?yōu)?76,81,81,80 + y,91,91,96 ，由乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，可知 y= 3.所以x+y= 8.故選 B.-87.33.所以x甲x乙，又由乙的莖集中在8,而甲較分散，即乙比甲成績穩(wěn)定故選D.答案：B（2）D熱點三樣本的數(shù)字特征甲乙6 4 2 2 58 6 3 33 2 3 49 7 3414 51 51 3【例 4】（必修P79 練習(xí)第 3 題改編）將甲、乙兩個籃球隊 10 場比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)整理 成如圖所示的莖葉圖，由圖可知（）A.甲、乙兩隊得分的中位數(shù)相等B.甲、乙兩隊得分的平均數(shù)相等C.甲、乙兩隊得分的極差相等D

17、.甲、乙兩隊得分的方差相等1故選項A錯誤；由平均數(shù)定義得x甲=后(24 + 26 + 33 + 33 + 36 + 38 + 43 + 47 + 49 + 51) = 38, 1x乙=10(22 + 25+ 32 + 33 + 34 + 41 + 44 + 45 + 51 + 53) = 38,故選項B正確；由極差定義得,甲的極差為 51 -24= 27,乙的極差為 53 22= 31,故選項C錯誤；由方差定義知，s*=彳 0（24由莖葉圖知x甲72+ 78+ 79+ 85+ 86+ 926=82.78+ 86+ 88 + 88 + 91 + 936【解由中位數(shù)定義知，甲的中位數(shù)為36+ 38

18、2=37,乙的中位數(shù)為34+412=37.5-11 -2 2 2 212 2 238) + (26 38) + (51 38) = 79, s乙=亦(22 38) + (25 38) + (53 38)=-12 -99,故選項D錯誤故選 B.【答案】B【總結(jié)反思】平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小對于一組數(shù)據(jù)x（i = 1,2,3，n），如果將它們改變?yōu)閤 +C（i= 1,2,3，n）,其中CM0,則下列結(jié)論正確的是（）0 x91則 7 個剩余分?jǐn)?shù)的方差為（36B-7A.平

19、均數(shù)與方差均不變B.平均數(shù)變，方差保持不變C.平均數(shù)不變，方差變D.平均數(shù)與方差均發(fā)生變化（2）將某選手的 9 個得分去掉1 個最高分，去掉 1 個最低分，7 個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91,現(xiàn)場作的 9 個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1 個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x 表示:解析：（1）依題意，記原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為 s2，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為X1+C+X2+C+ +Xn+Cx+C即新數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變；新數(shù)據(jù)的方差1161 用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用.在計數(shù)和計 算時一定要準(zhǔn)確，在繪制小

20、矩形時，寬窄要一致.通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對 總體作出估計.2 .莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的.莖葉圖 由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直 方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作.3 .若取值X1,X2,，Xn的頻率分別為pi,P2,，pn，則其平均值為Xipi+X2P2+ +Xnpn；若Xi,X2，Xn的平均數(shù)為x,方差為 s，貝Uaxi+b, ax2+b,，axn+b的平均數(shù) 為 aX+b,方差為a2s2.彈嘗 6頻率分布直方圖易誤點梳理利用頻率分布直方圖估計總體的基本數(shù)字特征，簡

21、單地說，就是能“制圖”，會“用圖”，而我們在應(yīng)用中產(chǎn)生的錯誤也主要發(fā)生在這兩個過程中.錯誤一、制圖一一分組不對，頻數(shù)統(tǒng)計錯誤【例 u某校在開學(xué)之初，以班級為單位，對學(xué)生自行購買保險的情況進(jìn)行了抽樣統(tǒng)計，得到了如下 20 個班級購買保險人數(shù)情況：i2,9,5,ii,i0,22,28,6,30,i4,i5,i2,i6,26,i8,27,22,i4,i2,5試作出該樣本的一個頻率分布直方圖.【錯解】 這組數(shù)據(jù)的極差為 30- 5 = 25,將組距定為 5，組數(shù)定為 5,則可將 20 個數(shù)據(jù)分為5,i0, i0,i5, i5,20, 20,25, 25,30這 5 組，得到 每組的 頻數(shù)分別 為-io

22、 -5,8,3,2,4.（ 剩余解答略）-14 -【正解】 在上述解答中，各小組頻數(shù)之和為22，大于樣本容量，顯然是錯誤的原因是分組區(qū)間全是雙閉區(qū)間，則數(shù)據(jù)“ 10”在第一組和第二組均被計入頻數(shù)，數(shù)據(jù)“15”也是如此.在分組時，應(yīng)將 20 個數(shù)據(jù)分為5,10） , 10,15） , 15,20） , 20,25） , 25,30這 5 組， 得到每組的頻數(shù)分別為4,7,3,2,4.（剩余解答略）【易錯總結(jié)】分組時，每組所在區(qū)間一般是選擇“左閉右開”，而不是“雙閉”或“雙開”，防止某些數(shù)據(jù)漏選或被多次計入不同小組，從而導(dǎo)致頻數(shù)統(tǒng)計失誤規(guī)避這種失誤， 可以檢查各組頻數(shù)之和是否等于樣本容量.頻率錯誤

23、二、用圖一一將頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)“頻距”誤認(rèn)為是“頻率”【例 2】某校高一年級有 400 名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分 100 分，成績均為不低于 40 分的整數(shù)）分成六段：40,50） , 50,60），90,100后得到如圖的頻率分 布直方圖求該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80 分的人數(shù).頻率【錯解】 根據(jù)頻率分布直方圖知，成績不低于80 分的頻率為 0.025 + 0.01 = 0.035. /該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80 分的人數(shù)為 400X0.035 = 14.【正解】 根據(jù)頻率分布直方圖知，成績不低于80 分的頻率為（0.025 + 0.01）X10=0.35. 該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80 分的人數(shù)為 400X0.35 = 140