1、三重積分的計(jì)算方法介紹:三重積分的計(jì)算是化為三次積分進(jìn)行的。其實(shí)質(zhì)是計(jì)算一個(gè)定積分(一重積分)和一個(gè)二重積分。從順序看：Z2如果先做定積分f(x,y,z)dz，再做二重積分F(x,y)d；，就是“投Z1D影法”也即“先一后二”。步驟為：找O及在xoy面投影域D。多D上一點(diǎn)(x,y)“穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步(定積分)；進(jìn)而按二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影域D上的二重積分，完Z2成“后二”這一步。f(x,y,z)dv二f(x,y,z)dzdcQDz；如果先做二重積分11f(x,y,z)d；二再做定積分F(z)dz，就是“截面Dzci法”也即“先二后一”。步驟為：確定。位于平面Z=C

2、|與z=c2之間，即zCi,C2，過(guò)z作平行于xoy面的平面截“，截面Dz。區(qū)域Dz的邊界曲面都是z的函數(shù)。計(jì)算區(qū)域Dz上的二重積分iif(x,y,z)d二，完成DzC2了“先二”這一步(二重積分)；進(jìn)而計(jì)算定積分F(z)dz，完成“后C1C2一”這一步。，丨f(x,y,z)dv=f(x,y,z)d；dzQC；Dz當(dāng)被積函數(shù)f(z)僅為z的函數(shù)(與x,y無(wú)關(guān))，且Dz的面積rz)容易求出時(shí)，“截面法”尤為方便。為了簡(jiǎn)化積分的計(jì)算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算的問(wèn)題?？梢园匆韵聨c(diǎn)考慮：將積分區(qū)域投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平面)(1)D是X型或丫型，可選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算(當(dāng)門(mén)的邊界曲面中有較

3、多的平面時(shí)，常用直角坐標(biāo)系計(jì)算)D是圓域(或其部分)，且被積函數(shù)形如f(x2y2),f()時(shí),x可選擇柱面坐標(biāo)系計(jì)算(當(dāng)為圓柱體或圓錐體時(shí)，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算)門(mén)是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如f(x2y2z2)時(shí)，可選擇球面坐標(biāo)系計(jì)算以上是一般常見(jiàn)的三重積分的計(jì)算方法。對(duì)-向其它坐標(biāo)面投影或門(mén)不易作出的情形不贅述。三重積分的計(jì)算方法小結(jié)：1. 對(duì)三重積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。一般地，投影法(先一后二)：較直觀易掌握；截面法(先二后一)：Dz是門(mén)在z處的截面，其邊界曲線方程易寫(xiě)錯(cuò)，故較難一些。特殊地，對(duì)Dz積分時(shí)，f(x,y,z)與x,y

4、無(wú)關(guān)，可直接計(jì)算Sdz。因而。中只要za,b,且f(x,y,z)僅含z時(shí)，選取“截面法”更佳。2. 對(duì)坐標(biāo)系的選取，當(dāng)門(mén)為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含z或zf(x2y2)時(shí)，可考慮用柱面坐標(biāo)計(jì)算。三重積分的計(jì)算方法例題：補(bǔ)例1:計(jì)算三重積分I二zdxdydz，其中門(mén)為平面xy1與三個(gè)坐標(biāo)面x=0,y=0,z=0圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”1畫(huà)出門(mén)及在xoy面投影域D.2.“穿線”0豈z"-x-y*X型0_x_1:0_y_1-x0_z_1-x-y0蘭X蘭1D:0<y<x3計(jì)算000.2122131xdx二(1-x-y)2dy.

5、(1-x)2y-(1-x)y2匚y3腎dx203113只1323I4J(1-x)dxxxxx062460丄24解2“截面法”1畫(huà)出門(mén)。2.0,1過(guò)點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截得DzDz是兩直角邊為x,y的直角三角形，x=1-z,y=1-zT.3計(jì)算111I=JJJzdxdydz=JJJzdxdydz=JzJJdxdydz=JzSDzdz；0Dz0Dz0z(1xy)dzz；(1-z)(1-z)dz弓020221(z-2z2z3)dz=0124補(bǔ)例2:計(jì)算iiix2y2dv，其中門(mén)是x2y2=z2和z=1圍成的閉區(qū)域解1“投影法”z=x2+2y21.畫(huà)出。及在xoy面投影域D.由、z=1消去z.得x2

6、y2=1即D:x2y2空12.“穿線”；x2yz1，-1<x<1X型D:.J-Jxly"口"1Ex蘭1O一Ji一x2蘭y蘭1一x2j/x2+y2Ez蘭1111_x1111：X2y2dv=dxdy.x2y2dz=Q丄A口；rxy211_x2dxA_12.X2y2(1_,x2y2)dy=：6注：可用柱坐標(biāo)計(jì)算解2“截面法”Z2.z0,1過(guò)點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截門(mén)得Dz:x2y2乞z20蘭日蘭2兀Dz丿0蘭r蘭z0蘭日蘭2兀用柱坐標(biāo)計(jì)算0:«0蘭r蘭z3計(jì)算、0蘭z蘭11113z23兀2二一r0dzzdz=001113z23兀2二一r0dzzdz=0011

7、2兀zx2y2dv二!、；x2y2dxdydz二dvr2d門(mén)dz二；'.】0Dz000補(bǔ)例3:化三重積分I=f(x,y,z)dxdydz為三次積分，其中門(mén)：Qz=x2，2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域。解：1畫(huà)出門(mén)及在xoy面上的投影域D.z=X22y2Z=2-x2消去z,得x2+y2=1即D:x2y2乞12“穿線”x2642二264126r2zdv二zdzrdrdJ-d：rdrzdz=2二rzrdrDr00r02222“穿線”x2642二264126r2zdv二zdzrdrdJ-d：rdrzdz=2二rzrdrDr00r0222=-r(6-r2)2-r2dr二二(36r-13r20

8、0解2“截面法”1.畫(huà)出門(mén)。如圖：|由z=6-r2及z=r圍成2.z0,6=0,22,6門(mén)-門(mén)22y2汐豈2-x2一1蘭x蘭1X型D:J:一/一x2蘭y蘭1-X2一1蘭x乞10:«x2蘭y蘭時(shí)'1一x2222x+2yEz蘭2x11_x22_x23. 計(jì)算I=f(x,y,z)dxdydz=jdxdyf(x,y,z)dzQ4x2y2注：當(dāng)f(x,y,z)為已知的解析式時(shí)可用柱坐標(biāo)計(jì)算。補(bǔ)例4:計(jì)算Iiizdv，其中|為z=6-x2-y2及x2y2所圍成的閉區(qū)域Q解1“投影法”1.畫(huà)出門(mén)及在xoy面投影域D，用柱坐標(biāo)計(jì)算2.解2.解x=rcos由y=rsinT化0的邊界曲面方程為：

9、z=6-r2,z=rZ=z2z=6_r淚得r=2-D:z=rr蘭2即丿'0蘭日蘭2兀0Er蘭2“穿線”0"<2二0Or蘭22r蘭z蘭6r3.計(jì)算由z=r與z=2圍成；z0,2,Dz:r_z”0蘭日蘭2兀Q1:*0蘭r蘭z0蘭z蘭22由z=2與z=6-r2圍成；2,6,Dz:r6-z0蘭日2n02:OEr蘭J6z2蘭z蘭6263.計(jì)算IIzd=zdvzdv二ziirdrdvdz亠iz11rdrdvdzQQQ0©2©262626=zSD”dzzSd'z二z二(z2)dz亠iz二('一6-z)2dz二z3dz亠i(6z-z2)dz二0202

10、02注：被積函數(shù)z是柱坐標(biāo)中的第三個(gè)變量，不能用第二個(gè)坐標(biāo)r代換。92n3補(bǔ)例5：計(jì)算iii(x2-y2)dv，其中門(mén)由不等式0乞a乞.x2y2z2乞A，z乞0所確定Jx=Qcos71sin解：用球坐標(biāo)計(jì)算。由*y=Psin日sin©得0的邊界曲面的球坐標(biāo)方程:z=Pcos©_3T2二2_3T2二2P'1，連結(jié)OP=t，其與z軸正向的夾角為,OP=。P在xoy面的投影為P，連結(jié)OP，其與x軸正向的夾角為二。.0：a蘭P蘭A，0蘭©蘭工0蘭日蘭2兀(X2yQ(X2yQA)dv二獷d(in2)sind、=2二sin3-?5Ad00a05Ja55JI2-a5).sin3d=02»5524