1、第一節(jié)第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分1. 知識回顧知識回顧1. 二重積分： 定積分的積分區(qū)域：數(shù)軸上的a,b2. 三重積分：平面閉區(qū)域空間閉區(qū)域一段曲線??？對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 假設(shè)一曲線形構(gòu)件所處的位置在假設(shè)一曲線形構(gòu)件所處的位置在xOy 平面內(nèi)平面內(nèi)的一條的一條光滑曲線弧光滑曲線弧L上，它的端點是上，它的端點是A、B。若該若該構(gòu)件的線密度為構(gòu)件的線密度為Lyxo圖圖11-12. 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量（曲線形構(gòu)件的質(zhì)量（1）),(yx求該構(gòu)件的求該構(gòu)件的，質(zhì)量質(zhì)量m。如圖。如圖11-1所示。所示。其中其中，AB( , )xy LA2MiM1iM1nMB),(ii1MLyxo

2、圖圖11-12. 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量（曲線形構(gòu)件的質(zhì)量（2）AB(4)(4) 取極限：取極限：niiiism10),(lim12max, ,nsss 其中其中，is(1) 分割：分割： 在在L上取點上取點M1, M2, , Mn-1 , 把把L分分 成成n小段小段, 記第記第i小段的長度為小段的長度為(2)(2)近似：近似：iiiism),(3) (3) 求和：求和：niiiiniismm11),(is定義：設(shè)定義：設(shè)L為為面內(nèi)的一條光滑曲線弧，面內(nèi)的一條光滑曲線弧，xoy函數(shù)函數(shù)),(yxfL在在上有界。上有界。L任意插入一點列任意插入一點列121,nMMM把把L分成分成n小段小段。 設(shè)第設(shè)第

3、i個小個小段段的的is。),(ii為第為第i個小段上任意個小段上任意取定的一點，取定的一點， 作乘積作乘積iiisf),(), 2 , 1(ni，niiiisf1),(),(yxf在曲線弧在曲線弧上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，上上并作和并作和記作記作dsyxfL),(，即，即iniiiLsfdsyxf10),(lim),(。L長度長度又又在在。則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)被積函數(shù)被積函數(shù)3. 對弧長的曲線積分的定義（對弧長的曲線積分的定義（1）積分弧段積分弧段上述和式的極限總存在，上述和式的極限總存在， 時時，如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值如果當(dāng)各小

4、弧段的長度的最大值0積分和式積分和式v思考思考3. 對弧長的曲線積分的定義（對弧長的曲線積分的定義（2）(1) (1) L L能否為空間曲線？能否為空間曲線？(2) (2) 定義的條件能否適當(dāng)減弱？定義的條件能否適當(dāng)減弱？(3) (3) 可積條件？可積條件？(4) (4) 與定積分的區(qū)別與定積分的區(qū)別？3. 對弧長的曲線積分的定義（對弧長的曲線積分的定義（3）(1) 若若L為空間曲線為空間曲線：yo),(iiiLzis 設(shè)設(shè)為定義在空間曲線為定義在空間曲線),(zyxf上的函數(shù)，上的函數(shù)，則函數(shù)則函數(shù)在曲線弧在曲線弧上對弧長的曲上對弧長的曲),(zyxf線積分為：線積分為：iiiisf),(L

5、dszyxf),(ni 1,max21nsss0limLL。注意：為研究方便，默認(rèn)注意：為研究方便，默認(rèn)L L為平面曲線為平面曲線3. 對弧長的曲線積分的定義（對弧長的曲線積分的定義（4）(2) (2) 定義的條件可適當(dāng)減弱：定義的條件可適當(dāng)減弱：對對L的要求可減弱為：的要求可減弱為：L為平面上可求長的曲線段。為平面上可求長的曲線段。對對 ),(yxf的要求可減弱為：的要求可減弱為：),(yxf是定義在是定義在L上的函數(shù)。上的函數(shù)。(3) (3) 可積條件可積條件：),(yxf在光滑曲線在光滑曲線L L上連續(xù)，則上連續(xù)，則),(yxf在在L L上必可積。上必可積。若若強調(diào)：對弧長的曲線積分，默

6、認(rèn)強調(diào)：對弧長的曲線積分，默認(rèn)),(yxf在光滑曲線在光滑曲線L L上連續(xù)。上連續(xù)。3. 對弧長的曲線積分的定義（對弧長的曲線積分的定義（5）dxds定積分中定積分中 表示弧長微元，是個表示弧長微元，是個正數(shù)正數(shù)。(4) 與定積分的區(qū)別：與定積分的區(qū)別： 定積分是一元函數(shù)在直線區(qū)間上作積分和式、取極限定積分是一元函數(shù)在直線區(qū)間上作積分和式、取極限; 曲線積分是二元函數(shù)在弧段上作積分和式、取極限。曲線積分是二元函數(shù)在弧段上作積分和式、取極限。曲線積分中曲線積分中 表示區(qū)間自變量的增量，表示區(qū)間自變量的增量，可正可負(fù)可正可負(fù)；定積分為有向的定積分為有向的； 曲線積分為無向的。曲線積分為無向的。 4

7、. 對弧長的曲線積分的性質(zhì)（對弧長的曲線積分的性質(zhì)（1）性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè)k k為常數(shù)為常數(shù), ,則則,LLkfx y dskfx y ds性質(zhì)性質(zhì)2 ,LLLfx ygx ydsfx ydsgx yds。4. 對弧長的曲線積分的性質(zhì)（對弧長的曲線積分的性質(zhì)（2）性質(zhì)性質(zhì)3 3 將將L L分成兩段光滑曲線弧分成兩段光滑曲線弧L L1 1與與L L2 2, , 則則12LL,Lfx ydsfx ydsfx yds性質(zhì)性質(zhì)4 f (x, y) g (x, y), 則則 ,LLfxyd sgxyd s特別地，有特別地，有dsyxfdsyxfLL|),(|),(|。4. 對弧長的曲線積分的性質(zhì)（對弧長的

8、曲線積分的性質(zhì)（3） 其中其中L L0 0表示表示L L的長度。的長度。性質(zhì)性質(zhì)5 50,LdsLdsyxfL),(表示表示在閉曲線弧在閉曲線弧),( yxfL上對弧長的曲線積分。上對弧長的曲線積分。特別地：特別地：5. 對弧長的曲線積分的意義對弧長的曲線積分的意義( , )x y( ,)Lmf x y ds物理意義：物理意義： 當(dāng)當(dāng)表示表示L L的線密度時，的線密度時， 所在曲線形構(gòu)件的質(zhì)量所在曲線形構(gòu)件的質(zhì)量L幾何意義：幾何意義：),(yxf表示立于表示立于L L上的柱面在點上的柱面在點),(yxf 當(dāng)當(dāng)處的高時，處的高時，xyz),(yxfz LLdsyxfA),(),(yxfz Lyx

9、),(柱面的面積柱面的面積上方、曲線上方、曲線L由由所圍的所圍的LdsyxfA),(，。 定理定理1 設(shè)設(shè) f (x, y)在曲線在曲線 L上連續(xù)上連續(xù), L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 ( t )其中其中 (t), (t) 在在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且且 2(t) + 2(t) 0, 則曲線積分則曲線積分(1)6. 對弧長的曲線積分的計算（對弧長的曲線積分的計算（1）),(),(tytx 22, ()Lfx y dsftttt dt,Lf x y ds存在，且存在，且注意：積分上限要大于下限注意：積分上限要大于下限設(shè)設(shè)L: y = y ( x ) (a x b), 則有則有設(shè)設(shè)L: r = r ( ) ( ), 則有則有設(shè)設(shè)L: x = x ( y ) (c y d), 則有則有設(shè)設(shè)L: x = (t), y = (t), z = (t) ( t t ), 則有則有 2,1(2)bLaf x y dsf x y xyx dx 2,1(3)dLcf x y dsf x yyxy dy 22,cos ,sin(4)Lf x y dsf rrrrd 222, ,(5)Lf x y z dsftttttt dt6. 對弧長的曲線積分的計算（對弧長的曲線積分的計算（2）7. 練習(xí)練習(xí)例例1 1 計算計算,Lyds例例3 求求其中其中 為螺旋線為螺旋線