1、1考點測試 13 函數(shù)模型及其應用咼考概覽高考在本考點的?？碱}型多為選擇題、填空題，分值5 分，中等難度考綱研讀1. 了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2 了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用 的函數(shù)模型）的廣泛應用第7步彳狂刷小題-基礎(chǔ)練卜、基礎(chǔ)小題1.甲、乙兩人在一次賽跑中, 則下列說法正確的是（）A. 甲比乙先出發(fā)B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙兩人的速度相同D. 甲比乙先到達終點答案 D解析由題圖知，甲和乙所走的路程相同且同時出發(fā)，但甲用時間少，即甲的速度比乙快.如圖是張

2、大爺晨練時離家的距離（y）與行走時間（x）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.若用黑點表從同一地點出發(fā)，路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,2示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是（）3答案 D解析 根據(jù)圖象可得，張大爺先是離家越來越遠，后離家距離保持不變，最后慢慢回家， 符合的只有 D.3.國家相繼出臺多項政策控制房地產(chǎn)行業(yè)， 現(xiàn)在規(guī)定房地產(chǎn)行業(yè)收入稅如下：年收入 在 280 萬元及以下的稅率為p%超過 280 萬元的部分按(p+ 2)%征稅，有一公司的實際繳稅 比例為(p+ 0.25)%，則該公司的年收入是( )A. 560 萬元 B . 420 萬元 C . 350 萬元 D . 320 萬元答

3、案 D解析 設(shè)該公司的年收入為a萬元，則 280p% (a 280) (p+ 2)%=a(p+ 0.25)%，解280X2得a= 320.故選 D.2 0.254.某種動物的種群數(shù)量y(單位：只)與時間x(單位：年)的關(guān)系式為y=alog2(x+1),若這種動物第一年有 100 只，則到第 7 年它們發(fā)展到()A. 300 只 B . 400 只 C . 500 只 D . 600 只答案 A解析由題意，得 100 =alog2(1 + 1)，解得a= 100,所以y= 100log2(x+ 1)，當x= 7時，y= 100log2(7 + 1) = 300,故到第 7 年它們發(fā)展到 300

4、只.5.設(shè)甲、乙兩地的距離為地休息 10 min 后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了 經(jīng)過的路程y與其所用的時間x的函數(shù)的圖象為(答案 D20 mi n,在乙30 min，則小王從出發(fā)到返回原地所)a(a0)，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了4解析 由題意知小王在 020 min , 3060 min 這兩段時間運動的路程都在不斷增加, 在 2030min 時，運動的路程不變.故選 D.2x_.6.f(x) =x,g(x) = 2 ,h(x) = log2X，當x (4 ,+)時，對三個函數(shù)的增長速度進 行比較，下列選項中正確的是()A.f(x)g(x)h(x) B .g(x)f(x)h(x)

5、C.g(x)h(x)f(x) D .f(x)h(x)g(x)答案 B解析畫出三個函數(shù)的圖象，如下圖所示，當x (4 ,+)時，指數(shù)函數(shù)的圖象位于二次函數(shù)的圖象的上方，二次函數(shù)的圖象位于對數(shù)函數(shù)圖象的上方，故g(x)f(x)h(x).7.某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，表格是某公司前5 天監(jiān)測到的數(shù)據(jù):第x天12345被感染的計算機數(shù)量y/臺12244995190貝U下列函數(shù)模型中能較好地反映在第x天被感染的數(shù)量y與x之間的關(guān)系的是()A.y= 12xB .y= 6x2 6x+ 12C.y=6 2xD.y=12log2X+12答案 C解析由表格可知，每一天的計算機被感染臺數(shù)大約是前一天的

6、2 倍，故增長速度符合指數(shù)型函數(shù)，故選 C.&已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示假設(shè)某商人持有資金120 萬元，他可以在ti至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計).如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是()56A. 40 萬元 B . 60 萬元C. 120 萬元 D . 140 萬元答案 C解析 甲 6 元時該商人全部買入甲商品，可以買 120+ 6= 20（萬份），在t2時刻全部賣 出，此時獲利 20X2= 40（萬兀），乙 4 兀時該商人買入乙商品， 可以買（120 + 40） + 4= 40（萬 份），在t4時刻

7、全部賣出，此時獲利 40X2= 80（萬元），共獲利 40+ 80= 120（萬元）.故選 C.9. 某公司為了實現(xiàn) 1000 萬元銷售利潤的目標，準備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到 10 萬元時，按照銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x的增加而增加，但獎金不超過5 萬元，同時獎金不超過銷售利潤的25%則下列函數(shù)最符合要求的是（）1A.y= 4XB .y= lgx+ 13xC.y= 2 D .y=,X答案 B解析 由題意知，x 10 , 1000,符合公司要求的模型需同時滿足：函數(shù)為增函數(shù)；1函數(shù)的最大值不超過 5;y20 時，y5,不33滿足要求；對于y=，易

8、知滿足，因為 才5，故當x4 時，不滿足要求；對于y=x, 易知滿足，但當x25 時，y5,不滿足要求；對于y= lgx+ 1,易知滿足，當x10 , 1000時，2y 4,滿足，再證明 lgx+ Kx 25% 即 4lgx+ 4-x 0,設(shè)F（x） = 4lg4x+ 4 x,貝 UF（x）=如10 10,x 10 , 1000，所以F（x）為減函數(shù)，F(xiàn)（x）max=F（10）=4lg 10 + 4 10= 2 15,故至少經(jīng)過 4 小時他才可以駕駛機動車.12.已知某房地產(chǎn)公司計劃出租 70 套相同的公寓房當每套房月租金定為3000 元時，這 70 套公寓房能全部租出去；當月租金每增加50

9、元時(設(shè)月租金均為 50 元的整數(shù)倍)，就會多一套房子不能出租.設(shè)已出租的每套房子每月需要公司花費100 元的日常維修等費用(設(shè)沒有出租的房子不需要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應定為_元.答案 3300解析 設(shè)利潤為y元，租金定為 3000+ 50 x(0 x 70,x N)元.貝 Uy= (3000 + 50 x)(7058 +x+ 70 x2x) 100(70 x) = (2900 + 50 x)(70 x) = 50(58 +x)(70 x) 200,則 lg 130(1+ 12%)n1lg 200 ,二 lg 130 + (n 1) lg 1.12lg 2” f

10、24+ 2, 2 + lg 1.3 + (n 1)lg 1.12lg 2+ 2，二 0.11 + (n 1)X0.050.30，解得n .5又 N , n5 , 該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200 萬元的年份是 20198年.故選 B.14.(2015 北京高考)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1 升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()9A.消耗 1 升汽油，乙車最多可行駛5 千米B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C.甲車以 80 千米/小時的速度行駛 1 小時，消耗 10 升汽油D.某城市機動車最高限速80 千

11、米/小時相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 答案 D解析 對于 A 選項，從圖中可以看出當乙車的行駛速度大于40 km/h 時的燃油效率大于5 km/L，故乙車消耗 1 升汽油的行駛路程可大于5 千米，所以 A 錯誤對于 B 選項，由圖可知甲車消耗汽油最少.對于C 選項，甲車以 80 km/h 的速度行駛時的燃油效率為10 km/L ,故行駛 1 小時的路程為 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 錯誤對于 D 選項，當最高限速為 80 km/h 且速度相同時丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油，所 以 D 正確.15. （2015 四川高考）某食品的保鮮時間y（單

12、位：小時）與儲藏溫度x（單位：C）滿足 函數(shù)關(guān)系y= ekx+b（e = 2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k,b為常數(shù)）.若該食品在 0C的保鮮 時間是 192小時，在 22C的保鮮時間是 48 小時，則該食品在 33C的保鮮時間是（）A. 16 小時 B . 20 小時 C . 24 小時 D . 28 小時答案 C-be = 192,解析由題意得2冰+be= 48,33k+b11k 3 b13=e+= (e )e=192= 24(小時).16. （2014 湖南高考）某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為（）A也 B(P+1g+1尸1.

13、2 . 2解析設(shè)兩年前的年底該市的生產(chǎn)總值為a,則第二年年底的生產(chǎn)總值為eb=192,即S 11k1f=2,所以該食品在 33C的保鮮時間是yP,第二年a(1 +P)(1 +102q).設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,貝 ya(l +x) =a(l +p)(l +q)，由于連續(xù)兩年持續(xù)增加，所以x0，因此x=寸,-1 +p1 +q 1，故選 D.17. (2018 浙江高考)我國古代數(shù)學著作 張邱建算經(jīng) 中記載百雞問題：“今有雞翁 一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾100當且僅當v=即v=10時取“=最大車流量比(1)中的最大車流量增加 2000

14、 1900 = 100 輛/小時.三、模擬小題何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個數(shù)分別為x,y,乙則x+y+z= 100,；15x+ 3y+ 3Z= 100,當z= 81 時,x=_,y=_答案 811x+y= 19,解析 把z= 81 代入方程組，化簡得*解得x= 8,y= 11.5x+ 3y= 73,18. (2014 湖北高考)某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長1(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F_76000V=v2+ 18v+ 20l.(1) 如果不限定車型，I= 6

15、.05，則最大車流量為 _ 輛/小時；(2) 如果限定車型，l= 5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加 _ 輛/小時.答案 (1)1900(2)100t丄76000v解析(1)當l= 6.05時，F(xiàn)=v2+18v+20X6.05 ,76000v76000F= 2=wv+18v+121121v+一+ 18121=1900，當且僅當v=，即v=121vv+ 187600011 時取“=”最大車流量F為 1900 輛/小時.(2)當I= 5 時，F(xiàn)=v+18v+20X576000100 “,v+ 18vFw=2000,1119.(2018 福建質(zhì)檢)當生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳 14 的含量大

16、約每經(jīng)過 5730 年衰12減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期” 當死亡生物體內(nèi)的碳14 含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了若某死亡生物體內(nèi)的碳14 用一般的放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是（）A. 8 B 9 C 10 D 11答案 C解析 設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳 14 含量為 1，則經(jīng)過n（n N）個“半衰期”后的含量1 1 1為；，由 2n而 0 得n10.所以，若探測不到碳 14 含量，則至少經(jīng)過了 10 個“半衰期”.故選 C.20 （2018 德陽一診）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數(shù)量p（單位：毫克/升）不斷減

17、少，已知p與時間t（單位：小時）滿足p（t） =p2 其中P。為t= 0 時的污染物數(shù)量.又測得當t 0,30時，污染物數(shù)量的變化率是101 n 2,則p（60）=（ ）A. 150 毫克/升 B 300 毫克/升C. 150ln 2 毫克/升 D 3001n 2 毫克/升答案 Ct2所以p。= 6001n 2，因為p(t) =p2 30,所以p(60) = 6001n 2X2= 150ln 2(毫克 /升)21 （2018 湖北武漢質(zhì)檢）某觀察者站在點O觀察練車場上勻速行駛的小車P的運動情 況，小車P從點A出發(fā)的運動軌跡如圖所示設(shè)觀察者從點A開始隨小車P變化的視角為0 =ZAOP練車時間為t

18、,則函數(shù)0=f（t）的圖象大致為（）解析 因為當t 0 ,30時，污染物數(shù)量的變化率是一10ln 2，所以一 101 n 2 =2p0P030 0，13答案 D解析 根據(jù)小車P從點A出發(fā)的運動軌跡可得，視角0 =ZAOP勺值先是勻速增大， 然后又減小，接著基本保持不變，然后又減小，最后又快速增大，故選D.22.（2018 河南洛陽調(diào)研）一名顧客計劃到商場購物，他有三張優(yōu)惠卷，每張優(yōu)惠卷只 能購買一件商品，根據(jù)購買商品的標價，三張優(yōu)惠券優(yōu)惠方式不同，具體如下：優(yōu)惠券 1 :若標價超過 50 元，則付款時減免標價的10%.優(yōu)惠券 2 :若標價超過 100 元，則付款時減免 20 元.優(yōu)惠券 3:若

19、標價超過 100 元，則超過 100 元的部分減免 18%.若該顧客購買某商品使用優(yōu)惠券1 比優(yōu)惠券 2、優(yōu)惠券 3 減免的都多，則他購買的商品的標價可能為（）A. 179 元 B . 199 元 C . 219 元 D . 239 元答案 C解析 因為使用優(yōu)惠券 1 比優(yōu)惠券 2 減免的多，所以他購買的商品的標價超過 200 元.如 果他購買的商品的標價為 219 元，那么使用優(yōu)惠券 1 可以減免 21.9 元，使用優(yōu)惠券 2 可以 減免 20 元，使用優(yōu)惠券 3 可以減免 21.42 元；如果標價為 239 元，那么使用優(yōu)惠券 1 可以 減免 23.9 元，使用優(yōu)惠券 2可以減免 20 元

20、，使用優(yōu)惠券 3 可以減免 25.02 元，不滿足題意.故 選 C.23.（2018 江西 4 月模擬）如圖，在正方體ABCDABGD中，點P是BC的中點，動 點M在其表面上運動，且與平面A DC的距離保持不變，運行軌跡為S,M從P點出發(fā)，繞其 軌跡運行一周的過程中，運動的路程x與I=MA+MC+MD之間滿足函數(shù)關(guān)系I=f（x），則 此函數(shù)圖象大致是（）f)r/U)a14答案 D解析 連接AB,AC由題意可知點M的運行軌跡是BAC,不妨設(shè)M從P點出發(fā)，沿ICTA-BTP運行，設(shè)AC的中點為Q, AB的中點為R.可知M從P運行到C的過程中，MA+MD從小變大，且MC從小變大，即I從小變大，同理可

21、知M從C到Q I從大變??；M從Q到A I從小變大；M從A到R I從大變??；M從R到B,I從小變大；M從Bi到P, I從大 變小.故選 D.24.（2018 廣東廣州調(diào)研）某食品的保鮮時間t（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：C）64, x0,日 10 時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示給出以下四個結(jié)論:1該食品在 6C的保鮮時間是 8 小時；2當x 6, 6時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少;3到了此日 13 時，甲所購買的食品還在保鮮時間內(nèi)；4到了此日 14 時，甲所購買的食品已過了保鮮時間.其中，所有正確結(jié)論的序號是 _.答案解析某食品的保鮮時間t

22、（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：C）滿足函數(shù)關(guān)系式t且該食品在 4C時的保鮮時間是 16 小時， 24k+6= 16,即 4k+ 6 = 4,解64, x0,1564,xw0,得k=-1，At=1當x= 6 時，t= 8,故正確；當x 6,222X+6,x0,0時，保鮮時間恒為 64 小時，當x (0 , 6時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少，故錯誤；此日 10 時，溫度為 8C,此時保鮮時間為 4 小時，而隨著時間的推移，1到 11 時，溫度為 11C,此時的保鮮時間t= 2 2X11+ 6= 2 1.414(小時)，至U13 時,甲所購買的食品不在保鮮時間內(nèi)，故錯誤；由可知，到

23、了此日14 時，甲所購買的食品已過了保鮮時間，故正確.故正確結(jié)論的序號為第2步電精做大題能力練*、高考大題本考點在近三年高考中未涉及此題型.二、模擬大題1. (2018 安徽六校聯(lián)考)隨著新能源的發(fā)展，電動汽車在全社會逐漸普及，據(jù)某報記者了解，某市電動汽車國際示范區(qū)運營服務公司逐步建立了全市乃至全國的分時租賃服務體系，為電動汽車分時租賃在全國的推廣提供了可復制的市場化運營模式.現(xiàn)假設(shè)該公司有750 輛電動汽車供租賃使用，管理這些電動汽車的費用是每日1725 元調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每輛電動汽車的日租金不超過90 元，則電動汽車可以全部租出；若超過90 元，則每超過 1 元,租不出的電動汽車就增加3 輛.

24、設(shè)每輛電動汽車的日租金為x(單位：元)(60wxw300,xN*)，用y(單位：元)表示出租電動汽車的日凈收入(日凈收入等于日出租電動汽車的總收入減去日管理費用).(1) 求函數(shù)y=f(x)的解析式；(2) 試問當每輛電動汽車的日租金為多少元時，才能使日凈收入最多？解(1)當 60Wxw90,x N*時，y= 750 x 1725；當 90 xw300,x N 時，y= 750 3(x 90)x 1725 = 3x+ 1020 x 1725.f*750 x1725,60Wxw90,xN,故f(X)= =2*-3x+1020 x1725,90 xw300,xN.(2)對于y= 750 x 172

25、5, 60wxw90,x N,/y在60 , 90(x N)上單調(diào)遞增，當x= 90 時，ymax= 65775.對于y= 3x+ 1020 x 1725= 3(x 170) + 84975, 9065775，故當每輛電動汽車的日租金為170 元時，日凈收入最多.172.(2018 福建廈門質(zhì)檢)食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200 萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20 萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收1入Q

26、與投入a(單位：萬元)滿足P= 80 + 4 2a,Q=4a+ 120,設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元).求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解(1)由題意知甲大棚投入 50 萬元，則乙大棚投入 150 萬元，1 f (50) = 80 + 4 2X50+ 4X150+ 120 = 277.5(萬元).(2)f(x) = 80 + 4 2x+ 寸寸( (200 -x) + 120= + 4 2x+ 250,依題意得20 xw180,1故f(x)=-4X+4 2x+250(20wxw180).1 1令t

27、=x貝 yt 25, 6 5 ,y=-4t2+ 4 2t + 250 =-4(t- 8 2)2+ 282,當t= 8 2，即x= 128 時，f(x)取得最大值，f(x)max= 282.所以甲大棚投入 128 萬元，乙大棚投入 72 萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元.3.(2018 河北衡水中學調(diào)研)已知某手機品牌公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn) 1 萬部還需另投入 16 萬元，設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售400-6x,040.x x(1) 寫出年利潤W萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2) 當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大 利潤.解(1)當 040 時，40000W=xR(