1、線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 1第六章第六章 實對稱矩陣與實二次型實對稱矩陣與實二次型6.1 6.1 歐氏空間歐氏空間 6.2 6.2 實對稱矩陣對角化實對稱矩陣對角化6.3 6.3 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示6.4 6.4 化二次型為標準形化二次型為標準形6.5 6.5 正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二

2、次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 2 學習要點學習要點： 1. 了解向量的內(nèi)積、長度及正交等知識了解向量的內(nèi)積、長度及正交等知識. 2. 掌握實對稱矩陣的對角化方法掌握實對稱矩陣的對角化方法. 3. 重點掌握實二次型的標準化方法，主要有正交變換和重點掌握實二次型的標準化方法，主要有正交變換和配方法兩種常用方法：配方法兩種常用方法： 4. 了解正定二次型的性質(zhì)、判定和應用了解正定二次型的性質(zhì)、判定和應用.線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 36.

3、1 6.1 歐氏空間歐氏空間 n 維向量空間是三維向量空間的直接推廣，維向量空間是三維向量空間的直接推廣， 但是只定義但是只定義了線性運算，了線性運算， 而三維空間中有向量夾角和長度的概念，它們而三維空間中有向量夾角和長度的概念，它們構成了三維空間豐富的內(nèi)容構成了三維空間豐富的內(nèi)容.我們希望把這兩個概念推廣到我們希望把這兩個概念推廣到 n 維向量空間中維向量空間中. 在解析幾何中在解析幾何中,我們曾定義了向量的內(nèi)積我們曾定義了向量的內(nèi)積(數(shù)量積數(shù)量積),cos(yxyxyx 建立標準的直角坐標系后建立標準的直角坐標系后, 可用向量的坐標來計算內(nèi)積可用向量的坐標來計算內(nèi)積設設TTyyyyxxxx

4、),(,),(321321 則則332211yxyxyxyx 線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 4TnTnyyyyxxxx),(,),(2121xyyxyxyxyxyxTTnn2211,稱稱x,y為向量為向量x與與y的的內(nèi)積內(nèi)積.令令(內(nèi)積的定義內(nèi)積的定義)設有設有n維向量維向量定義了內(nèi)積的實向量空間稱為定義了內(nèi)積的實向量空間稱為Euclid空間空間.線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對

5、 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 5;,(1)xyyx;,(2)yxyx;,) 3(zyzxzyx. 0,0, 0,(4)xxxxx有時且當(內(nèi)積的性質(zhì)內(nèi)積的性質(zhì)),22221nxxxxxx（向量的長度）（向量的長度）長度長度（或范數(shù)）（或范數(shù)）.稱稱 為為n維向量維向量x的的x線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 6,2yyxxyx(Cauchy-Schwarz不等式不等式)即即niiniiniiiyxyx121221

6、niiiiiiiytyxtxytx122220)()(2)(這由這由的判別式的判別式 易知易知.0(三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易證不等式易證)（向量長度的性質(zhì)）（向量長度的性質(zhì)）(1)非負性非負性 當當 時，時， ；當；當 時，時， 000；0；xx(2)齊次性齊次性.yxyx(3)三角不等式三角不等式線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 7)(0,arccosyxyx（單位向量）（單位向量） 當當 時，稱時，稱 x 為為 n

7、 維單位向量維單位向量.1x（向量的夾角）（向量的夾角）在歐氏空間在歐氏空間V中，中，所確定所確定.任意兩個非零向量的夾角由任意兩個非零向量的夾角由 （向量的正交）（向量的正交）在歐氏空間在歐氏空間V中，若中，若 ，0,稱向量稱向量x和和y正交正交.向量向量 是與是與 同方向長度是同方向長度是1的向量，稱為對的向量，稱為對 單位化單位化.1若若x=0，則顯然，則顯然x與任何向量都正交與任何向量都正交.線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 8 若一個不含零向量

8、的向量組若一個不含零向量的向量組 中的向量兩兩中的向量兩兩正交正交: ，則稱該向量組為正交向量組，則稱該向量組為正交向量組. 又如又如果這些向量都是單位向量果這些向量都是單位向量: ，則稱該向量組為規(guī)范正，則稱該向量組為規(guī)范正交向量組交向量組. 若該向量組是一個向量空間若該向量組是一個向量空間 V 的基，又分別稱為向量空的基，又分別稱為向量空間間 V 的正交基和規(guī)范正交基的正交基和規(guī)范正交基. )(0,jijir,211i（規(guī)范正交基規(guī)范正交基）線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩

9、 陣 與 實 二 次 型 9例如例如: :100,010,001321eee是向量空間是向量空間R3的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基(通常稱為自然基通常稱為自然基).010,00121ee再如再如: :是下面向量空間是下面向量空間V的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基.),span()0 ,(|21213eexxxRxVT線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 10, 0021111T由.01從而有. 02r同理可得.,21線性無關故r使又設有數(shù)r,21，0221

10、1r得左乘上式兩端以,1aT，0111T證明證明 ,r21 設設 是正交向量組是正交向量組正交向量組必線性無關正交向量組必線性無關.線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 1100200032132121AxxxxxxxxxTT解解 這相當于要求下面齊次方程組的非零解這相當于要求下面齊次方程組的非零解12111121TTA求得基礎解系求得基礎解系( (即為所求即為所求) )為為1013121,11121已知已知R3中兩個正交向量中兩個正交向量試求試求 使使 構

11、成構成R3的一個正交基的一個正交基.3321,例例6.1線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 12(例例6.1的一般化的一般化)設設 是是Rn中的一個正交向量組中的一個正交向量組, rn,證明必可找到證明必可找到n-r個向量個向量 使使 構成構成Rn的正交基的正交基.r,21nr,1n,21都正交都正交.證明證明 只需證必可找到只需證必可找到 使使 與與 01r1rr,21記記TrTA1r(A)=r0. 必要性：設必要性：設 f 正定，即正定，即), 2 ,

12、 1(0niki對任意對任意x0，則，則y=C-1x0 ，故，故0)(2222211nnykykykxf充分性：反證。如果有某個充分性：反證。如果有某個ki0，取，取x=Cei0 ，iiTTikeACCexf)()(AxxxfT)(2222211nnykykyk證證 設設yCx C可逆與與ki0矛盾矛盾.線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 75, 011a, 022211211aaaa,01111nnnnaaaa對稱矩陣對稱矩陣A為正定的充要條件是：為正定

13、的充要條件是：A的各階主子式全為正，即的各階主子式全為正，即(霍爾維茨定理霍爾維茨定理)負定的負定的充要條件是：充要條件是：A的奇數(shù)階主子式都為負，而偶數(shù)階主子的奇數(shù)階主子式都為負，而偶數(shù)階主子式為正，即式為正，即 ),1,2,( , 01-1111nraaaarrrrr線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 76二次型二次型 f(x) = xTAx 為正定二次型為正定二次型(A為正定矩陣為正定矩陣)0(0)(TxAxxxf0)(Ai)(T可逆CCCA 0的各

14、階順序主子式A(正定二次型的充要條件正定二次型的充要條件)線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 77【方法一】判別二次型是否正定判別二次型是否正定.312322213214542,xxxxxxxxf二次型的矩陣為二次型的矩陣為502040202A其各階順序主子式其各階順序主子式024, 084002, 02321A所以二次型正定所以二次型正定.例例6.14線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對

15、 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 78502040202A6, 4, 1321即知即知A是正定矩陣，故此二次型為正定二次型是正定矩陣，故此二次型為正定二次型.求得其特征值求得其特征值【方法二】【方法三】(配方)312322213214542,xxxxxxxxf232223134)(2xxxx知知 f 的標準形系數(shù)全為正，從而的標準形系數(shù)全為正，從而 f 為正定二次型為正定二次型.線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 79

16、,051, 0262, 0803 A解解402062225A二次型的矩陣二次型的矩陣它的各階順序主子式它的各階順序主子式A是負定矩陣，二次型是負定二次型。是負定矩陣，二次型是負定二次型。或者，判別或者，判別 - 為正定為正定.判別二次型判別二次型的正定性的正定性.例例6.15xzxyzyxf444-6-5222線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 80例例6.16設設A為正定矩陣，證明為正定矩陣，證明. 1 EA證明證明因為因為A為正定矩陣，所以為正定矩陣，

17、所以A的特征值全大于零的特征值全大于零. 設設 n,21是是A的所有特征值，則的所有特征值，則A+E的特征值為的特征值為1,1, 121n從而從而111121nEA例例6.17 設設A=(aij)是正定矩陣，證明是正定矩陣，證明aii0(i=1,2,n).證明證明因為因為A為正定矩陣，則對于任意為正定矩陣，則對于任意n元實向量元實向量x0，有，有 xTAx0，特別地，取特別地，取 ., 2 , 1,niXi這里這里 是第是第i個個i分量為分量為1，而其余的分量為，而其余的分量為0的的n元列向量，則有元列向量，則有),1,2,(0niaAiiiTi這是一個必要這是一個必要而非充分條件而非充分條件

18、 線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 81與矩陣與矩陣 合同的矩陣是合同的矩陣是( )100001011A111）（A1-11）（B1-1-1）（C1-1-1-）（D例例6.18線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 82例例6.19設設 ，且，且A的秩為的秩為n，證明：，證明：ATA正定正定. )(RMAnm證明證明 由于由于(ATA)T=ATA，故，故ATA為為n階的實對稱矩陣，令以階的實對稱矩陣，令以 ATA為矩陣的二次型的為矩陣的二次型的f(x)，則：，則： 0AxAxAxAxxfTTT且且 ，由于秩，由于秩A=n， 00Axxf齊次線性方程組齊次線性方程組Ax=0只有零解，從而只有零解，從而 ，00 xAx即即 00 xxf故故f(x)為正定二次型，從而矩陣為正定二次型，從而矩陣ATA正定正定.線 性 代 數(shù) China University of Mining and Technology實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型實 對 稱 矩 陣 與 實 二 次 型 83設設f(x)=xTAx是實二