1、2022上海高考數(shù)學考點大全1 .上海高考數(shù)學重難點：重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何。難點：函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線。2 .上海高考數(shù)學考點：(1)集合與命題：集合的概念與運算、命題、充要條件。(2)不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用。(3)函數(shù)：函數(shù)的定義、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用。(4)三角比與三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、萬能公式、輔助角公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應用

2、、反三角函數(shù)、最簡三角方程。(5)平面向量：有關概念與初等運算、線性運算、三點共線、坐標運算、數(shù)量積、三角形“四心”及其應用。(6)數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項公式求法、數(shù)列求和、數(shù)列的應用、數(shù)學歸納法、數(shù)列的極限與運算、無窮等比數(shù)列。直線和圓的方程：方向向量、法向量、直線的方程、兩直線的位置關系、線性規(guī)劃、圓的方程、直線與圓的位置關系。(8)圓錐曲線方程：橢圓的方程、雙曲線的方程、拋物線的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、中點弦問題、圓錐曲線的應用、參數(shù)方程。(9)立體幾何與空間向量：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球與球面距離、幾何體的三視圖與直觀圖

3、、幾何體的表面積與體積、空間向量。(10)排列、組合：排列、組合應用題、二項式定理及其應用。(11)概率與統(tǒng)計：古典概型、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、互斥事件、對立事件、獨立事件、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、頻率分布直方圖。(12)復數(shù)：復數(shù)的概念與運算、復數(shù)的平方根與立方根計算、實系數(shù)一元二次方程。(13)矩陣與行列式初步：二元線性方程組、矩陣的基本運算、二階行列式、三階行列式、對角線法則、余子式與代數(shù)余子式。(14)算法初步：流程圖、算法語句、條件語句、循環(huán)語句。集合及其表示法集合三性特殊數(shù)集列舉法描述法集合集合之間的關系集介的運算：容斥原理命題四種命題逆命題 否命題第一章集合和命題包含真包含相等交集并

4、集補集德摩根定律集合和命題原命題等價關系逆否命題原命題與逆否命題等價1 .集合及其表示法能夠確切指定的一些對象組成的整體叫做集合，簡稱集；集合中的各個對象叫做這個集合的元素；集合的元素具有確定性、互異性和無序性；集合常用大寫字母A、B、C表示，集合中的元素用小寫字母以b、c表示；如果a是集合A的元素，就記作aeA,讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素，就記作。任A,讀作“a不屬于A”；數(shù)的集合簡稱數(shù)集；全體自然數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集，記作N,不包括零的自然數(shù)組成的集合，記作N*；全體整數(shù)組成的集合即整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)組成的集合即有理數(shù)集，記作Q；全體實數(shù)組成的集合即實數(shù)集，記作R

5、；另外正整數(shù)集、負整數(shù)集、正有理數(shù)集、負有理數(shù)集、正實數(shù)集、負實數(shù)集分別表示為Z+、ZQ+、Q，RR點的集合簡稱點集，即以直角坐標平面內(nèi)的點作為元素構(gòu)成的集合；含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集：規(guī)定空集不含元素，記作0.集合的表示方法常用列舉法和描述法；將集合中的元素一一列出來，并且寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法；在大括號內(nèi)先寫出這個集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上集合中元素所共同具有的特性，即A=巾滿足性質(zhì),這種表示集合的方法叫做描述法.2 .集合之間的關系對于兩個集合A和B,如果集合A中任何一個元素都屬于集合B,那么集合A叫做集合

6、B的子集，記作A=8或83A,讀作“A包含于B”或“B包含A”；空集包含于任何一個集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若AqB,不要遺漏A=0的情況；對于一個含有個元素的集合P，它的子集個數(shù)為2",真子集個數(shù)為2"-1,非空子集個數(shù)為2"-1,非空真子集的個數(shù)為2"-2；用平面區(qū)域來表示集合之間關系的方法叫做集合的圖示法，所用圖叫做文氏圖；對于兩個集合A和8,如果A=B且那么叫做集合A與集合8相等，記作4=8,讀作“集合A等于集合8”，因此，如果兩個集合所含的元素完全相等，那么這兩個集合相等；對于兩個集合A和如果A=并且8中至少有一個

7、元素不屬于4,那么集合A叫做集合8的真子集，記作A呈B或B£A,讀作“A真包含于8”或“B真包含A”；對于數(shù)集N、Z、Q、R來說，有N£Z*QR；3 .集合的運算一般地，由集合A和集合B的所有公共元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A5,讀作“4交8”，即A8=x|xgA且xeB；由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素組成的集合叫做集合A、B的并集，記作A5,讀作“A并8”,在研究集合與集合之間的關系時，這些集合往往是某個給定集合的子集，這個確定的集合叫做全集，常用符合U表示；即全集含有我們所要研究的各個集合的全部元素；設U為全集，4是U的子集，則由U中所有不屬于A的元素組成

8、的集合叫做集合A在全集U中的補集，記作MA,讀作“A補”，即CuA=x|xwU,x任A；德摩根定律：Q(AB)=QACljB；Q(AB)=QACl,B-.容斥原理：用IA|表示集合A的元素個數(shù)，則|ABA+B-A例；|ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC|；4 .命題可以判斷真假的語句叫做命題，命題通常用陳述句表述，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題：如果命題a成立可以推出命題p也成立,那么就說由a可以推出夕，記作a=>夕，讀作“。推出夕”,換言之，a=>/3表示以a為條件、夕為結(jié)論的命題是真命題；如果an尸，并且尸=>a,那么記作ao力，叫做a與夕等價；推出

9、關系滿足傳遞性：a=夕，/?=>/,那么any：一個數(shù)學命題用條件a,結(jié)論夕表示就是“如果a,那么夕”，如果把結(jié)論和條件互相交換，就得到一個新命題“如果夕，那么a"，這個命題叫做原命題的逆命題；一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定與結(jié)論的否定，我們把這樣兩個命題叫做互否命題，如果其中一個叫原命題，那么另一個命題就叫做原命題的否命題：如果把a、夕的否定分別記作a、夕，那么命題“如果a,那么夕”的否命題就是“如果7,那么方”；如果把原命題“如果a,那么夕”結(jié)論的否定作條件，把條件的否定作結(jié)論，那么就可得到一個新命題,我們把它叫做原命題的逆否命題，即''如

10、果/，那么1"；如果4、B是兩個命題，A=>B,B=>A,那么A、8叫做等價命題；原命題與逆否命題是等價命題；不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡單命題，由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復合命題；復合命題有三類：p或q,p且q,非p；Pq非Pp或q。且4真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假一些常用結(jié)論的否定形式:原結(jié)論反設詞原結(jié)論反設詞是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有n個至多有一1個小于不小于至多有n個至少有+1個p或q非p且非4對所有X成立存在某個X不成立p且q非p或非4對任何X不成立存在某個X成立5.充要條件-般地，用a、夕分別表

11、示兩個命題，如果命題a成立，可以推出夕也成立，即an萬，那么a叫做夕的充分條件，夕叫做a的必要條件;一般地，用a、夕分別表示兩個命題，如果既有an尸，又有即ao#,那么a既是夕的充分條件，又是夕的必要條件，這時我們就說，a是夕的充分必要條件，簡稱充要條件:設具有性質(zhì)p的對象組成集合A,具有性質(zhì)q的對象組成集合B,則若A=則p是q的充分條件；若A£B,則p是g的充分非必要條件；若A=則p是q的必要條件；若A共B,則p是q的必要非充分條件；若A=則p,g互為充要條件；等價關系：o“A=3"o"A8=A"O"AB=B”QB=0"o"

12、;GA8=U"（注意考慮A=0的情況）;第二章不等式1 .不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果那么a>c；性質(zhì)2如果。>/?,那么a+c>/?+c；性質(zhì)3如果4>b,c>0,那么ac>人c；如果a>h,c<0,那么acv仇?；性質(zhì)4如果。c>d,那么a+c>/?+d；性質(zhì)5如果。>人>0,。>>0,那么ac>Z?d；性質(zhì)6如果a>b>(),那么0<!<!；ab性質(zhì)7如果那么。>/'(£N*)；性質(zhì)8如果a>b>(),那么標>(gN*,>

13、;1)：2 .不等式的解法(1) 一元二次不等式對于一個整式不等式，它只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，這樣的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是OX?+bx+C>0或or?+hx+c<0(a/0);一般地，設一元二次不等式為ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0(a>0),當對應的一元二次方程ar?+法+。=0的根的判別式An/1-4ac>0時，先求出方程ad+bx+c=0的兩個實數(shù)根%(不妨設不<毛)，于是不等式以2+/>x+c>0的解集為x|x<X或X>±,不等式OX?+法+。<0的解集為

14、幻玉<X<x2:不等式的解集經(jīng)常用區(qū)間來表示，設人都為實數(shù)，并且a<6,我們規(guī)定:集合xlaWxWb叫做閉區(qū)間，表示為a,。；集合xa<x<。叫做開區(qū)間，表示為（a,8）；集合x|aWx<b或x|a<xW6叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為a,加或（a,切；實數(shù)集R表示為（yo,+8）,集合x|xNa、x|x>a、x|xW。和x|x<。分別用區(qū)間a,+a>）、（«,+<»）、（-00,何和（-oo,份表示；a與b也叫做區(qū)間的端點，“go”讀作"正無窮大”，“to”讀作“負無窮大”：前面討論的是判別式A&g

15、t;0的情形，當A<0時，拋物線丁=依2+灰+c（a>。）與軸沒有交點，整個圖像都在x軸的上方，于是不等式以2+法+。>0的解集為實數(shù)集r,不等式依2+區(qū)+c<0的解集為空集0：b當A=0時，拋物線y=at2+法+（?（a>0）與x軸兩個交點重合，即苞=%=，2a除了這一個點外，拋物線的其余部分都在x軸的上方，于是不等式af+ba的解集為bbr（-ooi）Y+j»,不等式iit2+/zx+c<0的解集為空集0；2a2a（2）高次不等式高次不等式常用“數(shù)軸標根法”來解，其步驟是：等價變形后的不等式一邊是零，一邊是各因式的積（未知數(shù)系數(shù)一定是正數(shù)）；把

16、各因式的根標在數(shù)軸上；從右上角起，用曲線穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透），看圖像寫出解集；如圖：。-玉乂工一看乂一七）？。（假設不<<七）的解為XwK，%玉,+°0）；（3）分式不等式型如*>（）（或20）或2也<0（或W0）（其中/（幻、q（x）為整式且次x）/0）（p（x）9（x）的不等式稱為分式不等式；解分式不等式的關鍵是轉(zhuǎn)化為整式不等式；>0<=>/（X）-以x）>0,<0o/（x）-0（x）<0；e（x）9（x）（或40）=/（x）-0（x）NO（或WO）且9（x）hO；夕（x）（4）含絕對值不等式|x|表示實數(shù)為

17、在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離；所以，不等式|x|<a（a>0）的解集為（-。,。），類似地，不等式|>。（。>0）的解集為（-8,-。）（a,+8）；解絕對值不等式的關鍵在于去掉絕對值,一般有如下方法：定義法；零點分段法；平方法；數(shù)形結(jié)合法；絕對值不等式的性質(zhì):a-b<a+ba+h(5)無理不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)在根號中的不等式叫做無理不等式；解無理不等式，關鍵是轉(zhuǎn)化為有理不等式；"(x)>VJW=/(x)20,g(x)>0,f(x)>g(x)；"(x)>g(x)of(x)>0,g(x)20,/(x)

18、>g(x)了或/(x)>0,g(x)<0；(6)指數(shù)對數(shù)不等式解指數(shù)對數(shù)不等式的關鍵是化成相同的底數(shù)，然后同時去掉底數(shù)；當a>1時，a/(JI)>ax(r><=>f(x)>g(x),log,J(x)>logg(x)<=>f(x)>g(x)>0；當Oca<1時，af(x)>atM<=>f(x)<g(x),log,/(x)>logg(x)o0</(x)<g(x)3.基本不等式基本不等式1對任意實數(shù)和b,有當且僅當a=6時等號成立；基本不等式2對任意正數(shù)。和b,有巴吆2

19、疝，當且僅當a=8時等號成立：2推論I若a,c£R+,則/+6'+c',當且僅當。=/?=6時等號成立；推論2若H"ceR+,則巴等而，當且僅當。=b=c時等號成立；推論3+%+_t_2如生4,/iGN*,agR+,1<z<h；n均值不等式>>-1-,a,beR+;V221Jab柯西不等式(/+82)92+d2)>(a6h-.注意：一正二定三相等；和定積最大，積定和最小；4 .不等式的證明(1)比較法要證明a>6,只要證明a-匕>0,同樣，要證明a<匕，只要證明a6<0,這種證明不等式的方法叫做比較法;用

20、比較法證明不等式的一般步驟是：先作出要求證的不等式兩邊的差，通過對這個差的變形，確定其值是正的還是負的，從而證明不等式成立；(2)分析法從要求證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過適當?shù)淖冃危治龀鍪惯@個結(jié)論成立的條件，把證明結(jié)論轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否成立的問題，如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以斷定原結(jié)論成立，這種證明方法叫做分析法;（3）綜合法從已知條件出發(fā)，利用各種已知的命題和運算性質(zhì)作為依據(jù)，推導出要求證的結(jié)論，這種方法叫做綜合法；（4）放縮法在證明過程中，根據(jù)不等式傳遞性，常采用舍去（或添加）一些項而使不等式的各項之和變?。ɑ蜃兇螅虬涯承╉棑Q成較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴大（或縮?。┓质降姆?/p>

21、子（或分母），從而達到證明的目的，這種證明不等式的方法叫做放縮法；（5）換元法根據(jù)證明需要進行一些等量代換，選擇適當?shù)妮o助參數(shù)簡化問題的一種方法；（6）判別式法根據(jù)證明需要，通過構(gòu)造一元二次方程，利用關于某一變量的二次三項式有實根時的判別式的取值范圍來證明不等式；（7）分解法按照一定的法則，把一個數(shù)（或式）分解為幾個數(shù)（或式），使復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單易解的基本問題，然后各個擊破，從而證明不等式的一種方法；（8）反證法（9）數(shù)學歸納法5 .線性規(guī)劃在線性規(guī)劃問題中，所應滿足的條件叫做線性約束條件，要求最值的函數(shù)叫做線性目標函數(shù)，把在線性約束條件下尋求線性目標函數(shù)的最大（?。┲档膯栴}叫做線性規(guī)劃問

22、題；建立線性規(guī)劃模型的一般步驟如下：根據(jù)題意設未知量x,y,z等；建立線性目標函數(shù)：找出未知量滿足的不等式，得未知量的線性約束條件；在線性規(guī)劃問題中，滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解，所有可行解構(gòu)成的區(qū)域叫做可行域：它是二元一次不等式組的解集所表示的一個平面區(qū)域；在線性規(guī)劃問題中，使目標函數(shù)達到最大（小）值的可行解叫做最優(yōu)解：x+2y>4例求滿足下列約束條件的目標函數(shù)f=x+y的最小值：（2x+y23x>0,y>0二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：由于直線Ar+8y+C=0的同一側(cè)的所有點的坐標代入Ar+gv+C后所得的實數(shù)的符號相同.所以，在實

23、際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(%,%)(如原點)，由A$+B為+C的正負即可判斷出Ax+By+C>0(或<0)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.法二：根據(jù)Ax+5)，+C>0(或<0),觀察8的符號與不等式開口的符號，若同號，Ar+5y+C>0(或<0)表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.|即：同號上方，異號下前(2)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)z=Ax+By(A,8為常數(shù))的最值：法一：角點法：如果目

24、標函數(shù)z=Ax+5y(x、y即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標)的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數(shù)，得到一組對應z值，最大的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最大值,最小的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最小值法二：畫移一一定一求：第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線4):Ax+3y=0,平移直線4(據(jù)可行域，將直線平行移動)確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目標函數(shù)z=Ax+8y即可求出最大值或最小值.第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用z的幾何意義：y=-x+-,-為直線的縱截距.BBB若8>0,則使目標函數(shù)二=所表

25、示直線的縱截距最大的角點處，z取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最小值；若8<0,則使目標函數(shù)二=Ar+5)，所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最大值.常見的FI標函數(shù)的類型：“截距”型：z=Ax+By;“斜率”型：Z=，或z=上心;xx-a"距離"型：z=Y+y2或z=yjx2+/;z=(x_a)2+(yb)2或z=y/(x-a)2+(y-h)2.在求該“三型”的目標函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.第三章函數(shù)的基本性質(zhì)1 .函數(shù)概念與運算(1)函數(shù)概念在某個變化過程中有兩

26、個變量x,y,如果對于x在某個實數(shù)集合。內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應法則/,y都有唯一確定的實數(shù)值與它對應，那么y就是x的函數(shù)，記作y=f(x),x&D,x叫做自變量，y叫做因變量，x的取值范圍。叫做函數(shù)的定義域，和x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域；求函數(shù)定義域時，主要考慮以下因素：分母不為零；偶次方根號內(nèi)大于等于零；真數(shù)大于零；實際意義；求定義域時，遵循“括號內(nèi)范圍一致”原則；當我們要用數(shù)學方法解決實際問題時，首先要把問題中的有關變量及其關系用數(shù)學的形式表示出來，通常這個過程叫做建模；(2)函數(shù)的和與積一般地，已知兩個函數(shù)y=/(x)(xe。)，y=g(

27、x)(xw£>2)，設。=/并且0/0,那么當xe。時，y=/0)與曠=g()都有意義，于是把函數(shù)y=/(x)+g(x)(xe。)叫做函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的和；類似于求兩個函數(shù)的和，我們也可以求兩個函數(shù)的積，同樣考慮兩函數(shù)的公共定義域后，可以定義兩個函數(shù)的積：2 .函數(shù)的基本性質(zhì)(1)奇偶性一般地，如果對于函數(shù)y=/(x)的定義域。內(nèi)的任意實數(shù)x,都有/(-x)=/(x),那么就把函數(shù)y=/(x)叫做偶函數(shù)：如果函數(shù)y=f(尤)(xe£>)是偶函數(shù)，那么y=/(x)的圖像關于y軸成軸對稱圖形，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關于y軸成軸對稱圖形，那么這個函數(shù)

28、必是偶函數(shù)；如果對于函數(shù)y=/(x)的定義域。內(nèi)的任意實數(shù)x,都有/(一x)=-/(x),那么就把函數(shù)y=/(x)叫做奇函數(shù)；如果函數(shù)y=/(x)(x£>)是奇函數(shù)，那么y=f(x)的圖像關于原點成中心對稱圖形，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關于原點成中心對稱圖形，那么這個函數(shù)必是奇函數(shù)；由上可知，函數(shù)定義域。關于原點對稱是這個函數(shù)有奇偶性的必要非充分條件；奇偶性分類：奇函數(shù)；偶函數(shù)；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；非奇非偶函數(shù)；奇偶性常用性質(zhì)結(jié)論：奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義=/(0)=0；奇函數(shù)關于原點對稱；偶函數(shù)關于y軸對稱； 對于多項式函數(shù)/(x)=ox"+5?+dx

29、+e；若/(x)是奇函數(shù)。/(x)偶次項的系數(shù)全為零；若f(x)是偶函數(shù)o/(幻奇次項的系數(shù)全為零； 曠=/(+。)為奇函數(shù)<=>/(一%+。)=一/(+。)；y=/(x+a)為偶函數(shù)<=>/(-x+a)=/(x+a)；曠二人月為奇函數(shù)義%+沖二一八-%-。)：y=/(x)為偶函數(shù)o/(x+a)=/(-x-a)：任意一個定義域關于原點對稱的函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和；Hn，.、/(x)-/(一外，f(x)+f(-x)即：J(x)=+；復合函數(shù)奇偶性：對于f(g(x)，同奇則奇，有偶則偶；奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇X奇=偶；奇4"奇=偶

30、；偶X偶=偶；偶偶=偶；奇X偶=奇；奇4"偶=奇；(2)單調(diào)性一般地，對于給定區(qū)間/上的函數(shù)y=f(x)：如果對于屬于這個區(qū)間/的自變量的任意兩個值內(nèi),*2,當N<時，都有/(王)</()，那么就說函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，簡稱增函數(shù)；如果對于屬于這個區(qū)間/的自變量的任意兩個值須,七，當司<七時，都有/(內(nèi))>)(%2)，那么就說函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，簡稱減函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間/上是增(減)函數(shù)，那么說函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間/叫做函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；證明單調(diào)性步驟：在定義域上任取玉

31、</；作差/(X)-/(w)；變形判斷；單調(diào)性常用性質(zhì)結(jié)論：在對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)單調(diào)性相同，偶函數(shù)單調(diào)性相反；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性復合函數(shù)單調(diào)性:對于/(g(尤)，同增異減；增+增=增；減+減=減；增一減=增；減一增=減；注意：單調(diào)性是函數(shù)局部的性質(zhì)，奇偶性是整體的性質(zhì)；(3)最值一般地，設函數(shù)y=/(x)在總處的函數(shù)值是_/(毛),如果對于定義域內(nèi)任意x,不等式/(幻>/(/)都成立,那么/(不)叫做函數(shù)y=f(X)的最小值，記作'min=/(/)；如果對于定義域內(nèi)任意x，不等式f(x)4/(%)都成立，那么/(毛)叫做函數(shù)y=f(x)的最大值，記作丁

32、麗=/(不)；求函數(shù)最值的方法：利用基本初等函數(shù)的值域：反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、基指對函數(shù)等；配方法：主要用于二次函數(shù)求最值；換元法：無理函數(shù)，復合函數(shù)等，包括三角換元，注意新變量的取值范圍：數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖像求最值，或根據(jù)幾何意義(斜率、距離等)；單調(diào)性法：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值；不等式法：利用常見的基本不等式，注意一正二定三相等；分離常數(shù)法：分式函數(shù)；判別式法：定義域為R,有二次項的分式方程，轉(zhuǎn)化法：利用某些式子的有界性進行轉(zhuǎn)化求最值：或轉(zhuǎn)化成求反函數(shù)的定義域；其他法：包括向量法、構(gòu)造法、平方法、導數(shù)法等；(4)零點一般地，對于函數(shù)y=/(x)(xG。)，如果存在實數(shù)c(ceD

33、),當x=c時，/(c)=0,那么就把x=c叫做函數(shù)丫=/(幻(。)的零點；實際上，函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0的解，也就是函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標：通過每次把y=f(x)的零點所在的小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近函數(shù)的零點，以求得零點的近似值，這種方法叫做二分法；零點定理：若/(加)/()<0,則方程f(x)=0在區(qū)間(加,)內(nèi)至少有一個實根；(5)周期性一般地，對于函數(shù)/(x),如果存在一個常數(shù)7(ThO),使得當x取定義域。內(nèi)的任意值時，都有f(x+)=f(x)成立，那么函數(shù)/(x)叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做函數(shù)/'(x)的周期

34、，對于一個周期函數(shù)/(x)來說,如果在所有的周期中存在一個最小正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做函數(shù)/(x)的最小正周期；周期性的判斷：f(x+a)=f(xa),T=2aif(x+a)=f(x+b),T-a-b；T - 2a ；11一f(x+a)=-f(x),f(x+a)=±,f(x+a)=-/(x)1+/Wf(x + a) =1l-7(x)或 f(x) = 1-f(x + a)T = 3a；Grz、l-/(x)J、14-/(X)/./(x+a)=-,/(+)=i：、，7=4；l+/(x)1-/U) /(x)+/(x+a)=/(x)/(x+。),7=2a；/(x)+/(x+a)+f(x+2

35、a)=f(x)/(x4-a)/(x4-2a),T=3a；f(x)+于(x+a)+f(x4-na)=/(x)-/(x+a)/(x+a),T=(+1)a；+i項(6)對稱性一個函數(shù)的對稱性對于函數(shù)y=/(x),若/"(a+用=/(6/-;或/(x)=f(2a-x)恒成立，則函數(shù)對稱軸是x=a：若a-h/(。+力=Kb-.恒成立，則函數(shù)對稱軸是x=3h；若f(a+x)+f(a-x)=O或f(x)+f(2a-x)=0恒成立，則函數(shù)對稱中心是(a,，；若/(a->+X-a)作，則函數(shù)的對稱中心是(a,6)；注意：括號內(nèi)相減得常數(shù)，一般有周期性；括號內(nèi)相加得常數(shù)，一般有對稱性；兩個函數(shù)的對

36、稱性函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(2ax)的圖像關于直線x=a對稱；函數(shù)y=/(x+a)與函數(shù)y=/Sx)的圖像關于直線x對稱；函數(shù)y=/(x)與函數(shù)乃一y=/(2a-x)的圖像關于點(a,b)對稱；3 .函數(shù)的圖像變換(1)平移變換左加右減j=fi力上型型一4x-；y=/(x)型現(xiàn)個單空4y=/a)；上加下減y=y(力一"移”個M佻y4)；y=f(x)下9個單位Jy=f(x)-匕;(2)伸縮變換_縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?quot;!倍y=/(x)>y=f(ox)(<w>o)；y=/(x)時標伊.縱婀炳原睜=4Ax)(A>0)；(3)翻折變換y=/(x)

37、fy=|/(x)|：函數(shù)y=/(x)圖像在X軸上方的部分保持不變，將函數(shù)y=/(x)圖像在x軸下方的部分對稱翻折到x軸上方；y=/(x)->y=/(|x|)；保留y=/(x)圖像在y軸右邊的部分，并將y軸右邊的部分沿y軸對稱翻折到y(tǒng)軸左邊，替代原有的y軸左邊圖像；(4)對稱變換函數(shù)y=/(幻與函數(shù)y=/(-X)的圖像關于)，軸對稱；函數(shù)y=/(X)與函數(shù)y=/(X)的圖像關于X軸對稱；函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(-x)的圖像關于原點對稱；函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(2a-x)的圖像關于直線x=a對稱；函數(shù)y=/(x+a)與函數(shù)y=/S-x)的圖像關于直線犬=三對稱;函數(shù)y=f(x)

38、與函數(shù)力一y=f(2a-x)的圖像關于點(a,b)對稱；第四章幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)1.幕函數(shù)一般地，函數(shù)y=3（女為常數(shù)，ZwQ）叫做基函數(shù)；基函數(shù)y=x*（ZeQ）的性質(zhì)：塞函數(shù)的圖像最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限，且不經(jīng)過第四象限；如果與坐標軸相交，則交點一定是原點；所有幕函數(shù)在（0,+8）上都有定義，并且圖像都經(jīng)過點（1,1）：若40,基函數(shù)圖像都經(jīng)過點（0,0）和（1,1）,在第一象限內(nèi)遞增；若左0,塞函數(shù)圖像只經(jīng)過點（1,1）,在第一象限內(nèi)遞減：注意：畫事函數(shù)圖像時，先畫第一象限的部分，再根據(jù)奇偶性完成整個圖像:2 .指數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)y="（。0且。工1）叫做指數(shù)函數(shù)

39、，自變量x叫做指數(shù)，a叫做底數(shù)，函數(shù)的定義域是R；指數(shù)運算法則：ax-ay=a'+y(a>O,x,yeR)；(ar)v=a0(a>O,x,ygR)；(a-by=ax-bx(a,b>O,xeR)s一般地，指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)在底數(shù)a>1及0<a<1這兩種情況下的圖像如圖所示:指數(shù)函數(shù)有下列性質(zhì):性質(zhì)1指數(shù)函數(shù)y=a的函數(shù)值恒大于零，定義域為R,值域(0,+8)；性質(zhì)2指數(shù)函數(shù)y=a'的圖像經(jīng)過點(0,1)；性質(zhì)3函數(shù)y=a'(a>l)在R上遞增，函數(shù)y=優(yōu)(0<a<1)在R上遞減;3 .對數(shù)及其運算一般地，如果a(a>

40、0,axl)的b次幕等于N,即。"=可，那么叫做以a為底N的對數(shù)，記作log“N=,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)；根據(jù)對數(shù)定義，可知：零和負數(shù)沒有對數(shù)，真數(shù)大于零；1的對數(shù)為0,即log“l(fā)=0：底的對數(shù)等于1,即log“a=l：對數(shù)恒等式：a啕n=N成立；通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，常用對數(shù)log”'N簡記作lgN；以無理數(shù)e=2.71828為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，自然對數(shù)log,N簡記作InN；對數(shù)運算性質(zhì)：如果a>0,arl,M>0,N>0,那么:log, M + log, N = log。(初V)；. 一 ，. Mlog(,M-logu/

41、V = log(1 ；ogaMn =nogaM ；logN對數(shù)換底公式：logbN=-(其中a>0,aHl,b>0/Hl,N>0)；log小常用恒等式：=n；loguaN=N；logaRlog8aul；log"bloghclogcd=log"d；logbn=ogab:m4 .反函數(shù)一般地，對于函數(shù)y=/(x),設它的定義域為。，值域為A,如果對A中任意一個值y,在。中總有唯一確定的x值與它對應，且滿足y=/(x),這樣得到的x關于y的函數(shù)叫做y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),在習慣上，自變量常用x表示，而函數(shù)用y表示，所以把它改寫為y=/T(x)(

42、xeA)；反函數(shù)的判定：反函數(shù)存在的條件是原函數(shù)為一對應函數(shù)；定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；周期函數(shù)不存在反函數(shù)；定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)；反函數(shù)的性質(zhì)： 原函數(shù)y=/(x)和反函數(shù)y=/-(x)的圖像關于直線y=x對稱；若點(。,份在原函數(shù)y=/(x)上，則點(b,。)必在其反函數(shù)y=/-'(%)±： 函數(shù)y=/(x)與y=/T(x)互為反函數(shù)；原函數(shù)y=/(x)的定義域是它反函數(shù)y=/-i(x)的值域；原函數(shù)y=/(x)的值域是它反函數(shù)y=/T(x)的定義域；原函數(shù)與反函數(shù)具有對應相同的單調(diào)性；奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；求反函數(shù)步驟：用y表示x,即求出x=/T

43、(y)；互換，即寫出y=/T(x)； 確定反函數(shù)定義域；注意事項：若函數(shù)y=/(ax+b)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y='"T(x)-6,而不是ay=f'(ax+b),函數(shù)y=/T(ax+。)是y="(x)-b的反函數(shù)；a5 .對數(shù)函數(shù)一般地，對數(shù)函數(shù)丁=108*(。>0且。工1)就是指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)(。>0且。#1)的反函數(shù)；因為丁=優(yōu)的值域是(0,+oo),所以，函數(shù)y=log“x的定義域是(0,+8)；對數(shù)函數(shù)y=logx(a>0且awl)在a>l及0<a<l兩種情形下的圖像如圖所示：對數(shù)函數(shù)y=log“x(a0且aR1

44、)的性質(zhì)：性質(zhì)1對數(shù)函數(shù)y=log“x的圖像都在y軸的右方，定義域(0,+8),值域為R；性質(zhì)2對數(shù)函數(shù)y=log,x的圖像都經(jīng)過點(1,0)；性質(zhì)3對數(shù)函數(shù)y=log“x(a>l),當x>l時，y>0；當()<x<l時，y<0；對數(shù)函數(shù)y=logx(0<a<l),當x>l時，y<0；當。<x<l時，y>0；性質(zhì)4對數(shù)函數(shù)y=log”x(a>1)在(0,+8)上是增函數(shù),y=log”x(0<a<1)在(0,+8)上是減函數(shù)；6 .指數(shù)對數(shù)方程我們把指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫做指數(shù)方程；在解指數(shù)方程時，

45、常利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：=其中a>0且awl,將指數(shù)方程化為整式方程求解；在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程叫做對數(shù)方程；解對數(shù)方程時，必須對求得的解進行檢驗，因為在利用對數(shù)的性質(zhì)將對數(shù)方程變形過程中，如果未知數(shù)的允許值范圍擴大，那么可能產(chǎn)生增解；解指數(shù)對數(shù)方程的基本思路是通過“化成相同底數(shù)”“換元”等方法轉(zhuǎn)化成整式方程；7 .抽象函數(shù)抽象函數(shù)的解法：賦值法；如賦值x=0、x=±l、y=±x、x=y=O等；結(jié)構(gòu)變換法；如/(5)=/1(內(nèi)一切+七、/(%)=/(-x2)；抽象函數(shù)特征可能對應函數(shù)/(x+y)=/(x)+/(y)或f(xy)=x-f(y),/(l)=c正比例函

46、數(shù)f(x)=cx(cHO)/(x+y)=/(xA/(y)或f(xy)=f(xW，/(0)=1指數(shù)函數(shù)y=a"(a>0且aw1)/(孫)=/(x)+/(y)或f(x>)=yf(x),/(1)=0對數(shù)函數(shù)y=log。x(a>0且aw1)=/(I)=1基函數(shù)f(x)=f第五章三角比符號看象限1.角的概念與度量一條射線繞端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為正角，其度量值是正的；按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角為負角，其度量值是負的：特別地，當一條射線沒有旋轉(zhuǎn)時，我們也認為形成了一個角，這個角叫做零角：在平面直角坐標系中，把角的頂點置于坐標原點，角的始邊與X軸的正半軸重合，此時角的終邊

47、在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角，或者說這個角屬于第幾象限；當角的終邊在坐標軸上時，就認為這個角不屬于任何象限；我們把所有與角a有重合終邊的角（包括角a本身）的集合表示為/7|p=V36O°+a,AwZ；在平面幾何里，我們把周角分成360等份，每一份叫做1度的角，這種用“度”作為單位來度量角的單位制叫做角度制；我們也可以用圓弧的長與圓半徑的比值來表示這個圓弧或圓弧所對的圓心角的大小；把弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號md表示，讀作弧度：用“弧度”作為單位來度量角的單位制叫做弧度制；如果一個半徑為r的圓的圓心角a所對的弧長為/，那么比值，就是角a的弧度數(shù)的絕對值，

48、即|a|=,，這里arr的正負由它的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定：零角的弧度數(shù)為零;1 QQO萬弧度制與角度制的換算關系：1弧度="；1°=上弧度；在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一7T180一對應的關系；例如，與角a終邊相同的角可以表示為月|尸=2Qr+a,keZ,與角a終邊共線的角可以表示為/3/3=k7r+a,keZ；弧長公式：/=|a|r：扇形面積公式：S剛形=g|a|/=g/r；aa附表：由a的象限判斷2a、3a、一、一的象限：2 3a二四2a三、四、«三、四3a-,、«、.一、二、四一、三、四二、三、四a2、二、-二、四二、四aT一、.、一、二

49、、四一、三、四二、三、四2 .任意角的三角比在任意角a的終邊上任取一點P,設P的坐標為(x,y),OP=r,則r=次+yVXVX(r>0),我們規(guī)定：sina=工；coscr=；tancr=；cola=,akn(kgZ)；rrxyynrseca=,axk兀+(kgZ)；esca=,a*k兀也eZ)；x2y根據(jù)三角比的定義，各三角比的正負值如下所示：sina(esca)cosa(seca)tana(cota)y、+I/1+OXOXOX一+一在平面直角坐標系中，稱以原點。為圓心，以1為半徑的圓為單位圓，把點P(x,y)看作角a的終邊與單位圓的交點，如圖，過點P作x軸的垂線，垂足為過點A(l,

50、0)作單位圓的切線，這條切線必然平行于y軸，設它與角a的終邊或其反向延長線相交于點T；于是，cosa=x=OM,siner=y=PM,tana=AT；所以點P坐標總可以表示成(cosa,sina)；我x們把PM、OM>AT這三條線段分別叫做角a的正弦線、余弦線、正切線，這些線段通稱為三角函數(shù)線；由三角函數(shù)線得出的常用三角不等式： 0sinx|< 1, Ocosx|<llsinx|+|cosx|<V2；若x£（0,一）,則sinxvx<tanx；附表：特殊角的三角比a07t6n77t3n77131Tsina02V22V3210-1cosa132近2i_20

51、T0tana0BV1G不存在0不存在3 .同角三角比關系與誘導公式(1)同角三角比關系倒數(shù)關系：sinacsca=1,costz-seca=1,tanacotcz=1；.皿"sina/八、cosa/八、商數(shù)關系：tana=(cosaw。)，cota=(sinaw0)；cosasina平方關系：sin?a+cos2a=1,1+tan22a=sec2a,1+cot2cr=csc2a；利用同角三角比的關系，可以實現(xiàn)“弦”、“切”、“割”之間的互化：切割化弦，“切”通過商數(shù)關系化為“弦”，“割”通過倒數(shù)關系化為“弦”；弦化切，一般和“齊次式”有關，通過分式上下同時除以COS或COS?得到“切

52、”;1的代換，通過平方關系，將1代換成所需的三角比；(2)誘導公式：奇變偶不變，符號看象限；第一組：sin(2k乃+a)=sina；cos(2A1+a)=cosa；tan(2&乃+a)=tana；第二組：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；第三組：sin(;r+a)=-sina；cos(+a)=-cosa；tan(4+a)=tana；第四組：sin(乃一a)=sina；cos(ra)=coscr；tan(4一a)=tana；第五組：sin(、一a)=cosa；cos(5-a)=sina；tan(g-a)=cota；科、ATI/I、/冗、/1

53、、第K組：sin(-a)=cosa；cos(na)=sina；tan(-a)=cotcr：4.三角恒等變換(1)和與差公式cos(cr-J3)=cosacos+sinasin(3；cos(cr+)=cosacos/7-sincrsinp；sin(e+力)=sinacos/?+cosasin/?；sin(e")=sinorcospcosasinf3；tan(a+0Jana+tanJ=tana-tan£1-tanatan/?1+tanatanP(2)輔助角公式：asina+hcosa=Ja?+)?sin(a+0)，0通常取04°<2萬,a.bb、由cos(p=i

54、，sin(p=,(或tane=)確定；Ja2+byja2+/?2a常見類型：sina±cosa=lsin(6Z±)；V3sina±cosa=2sin(a±-)；sina±Geos。=2sin(a±馬；463(3)倍角公式cos2a=cos26z-sin2cr=2cos2a-=l-2sin2a；sin2a=2sinacosa；tan2a=；1tan-a(4)半角公式.a.Il-coscra,/1+coscra,1-cosasina1-coscrsin=±J：cos=±J；tan=±J=2v22x22vl+c

55、osa1+cosasina(5)其他公式及恒等變換gy白匕八t.g2tana1-taira2tana力口匕公式：sin2a=；cos2a=；tan2a=1+tarTa1+tarTa1tana常見公式變形：VT+cosa=>/2cos；>/l-cos«=>/2sin；221±sin2a=(sina±cosa)2；1土.a-tan(±a)；1tana4tana±tan0=tan(a±")(1tanatan/3)；常見角的變換：a=(a+尸)夕；a-2；=(+of)4-(-«)；22442a=(ex.+

56、P)+(czP)；2/7(tz+J3)(a0)；a+B/B、,a小a-。/p.a小=(a-A-(-)；=(。+今)一(5+/)；5.解三角形(1)三角形面積公式(其中R是三角形外接圓半徑，r是內(nèi)切圓半徑，p=-+b+-)2111Clk)CS.ARr=fcesinA=zesinB=-absinC；S.ARr=2R2sinAsinBsinC；MZJC2224Rs故BC=pr=p(p-aXp-b)(p-c)；(2)正弦定理：，_=_=-=2R,其中R是三角形外接圓半徑;sinAsinBsinB*22(3)余弦定理：a2=h2+c2-2bccosA,即cosA二：2bc+c?0?b1=a2+C1-la

57、ccosB,BPcosB=；lac2,>2_2c2=a2+b1-labcosC,B|JcosC=-；lab(4)三角形中常見結(jié)論avu>Av3u>sinAvsin3；sin2A=sin2B0A=8或A+8=90°；cos2A=cos2BoA=3；A8,C成等差數(shù)列=8=60。；4,8,C成等差數(shù)列，成等比數(shù)列0ABC為等邊三角形；(5)三角形中的恒等式sin(A+fi)=sinC,cos(/4+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC；人.A+8CA+B.CA+BC(2)sin=cos,cos=sin,tan=cot；222222第六章三角函數(shù)1.正弦函數(shù)圖像對任意一個實數(shù)x都有唯一確定的值sinX與它對應，按照這個對應法則所建立的