1、For personal use only in study and research; not for commercial use全等三角形輔助線系列之一與角平分線有關(guān)的輔助線作法大全一、角平分線類輔助線作法角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等對于有角平分線的 輔助線的作法，一般有以下四種.1、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等：過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題；2、截取構(gòu)全等利用對稱性，在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；3、延長垂線段題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三

2、角形；4、做平行線：以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形.或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形.通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形.至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件.圖三圖四MM典型例題精講【例 1】 如圖所示，BN 平分/ ABC, P 為 BN 上的一點(diǎn)，并且 PD 丄 BC 于 D,AB+BC =2BD.求證：.BAP + . BCP =180.【解析】過點(diǎn) P 作 PE 丄 AB 于點(diǎn) E.VPE

3、AB, PD 丄 BC, BN 平分/ABC,：PE二PD.在 Rt APBE 和 Rt APBC 中，BP 二 BPPE =PD，Rt z2PBE 細(xì) t BC ( HL),BE = BD. AB BC =2BD,BC =CD BD,AB=BE -AE, AE =CD.PE 丄 AB, PD 丄 BC,：/PEB PDB =90.在 AFAE 和 Rt APCD 中，PE =PDI gPEB 二.PDC ,AE =DC AE 織 t ACD，PCB = EAP. BAP EAP =180 ,. BAP BCP =180.【答案】見解析.【例 2】 如圖，已知：.A=90, AD / BC,

4、P 是 AB 的中點(diǎn)，PD 平分/ ADC，求證：CP 平分/ DCB .【解析】因?yàn)橐阎?PD 平分/ ADC，所以我們過 P 點(diǎn)作 PE 丄 CD，垂足為 E,貝UPA = PE，由 P 是 AB的中點(diǎn)，得PB二PE，即 CP 平分/ DCB .【答案】作 PE 丄 CD，垂足為 E, /PEC厶=90, PD 平分/ ADC , PA二PE,又 B = PEC =90, PB=PE ,點(diǎn) P 在/ DCB 的平分線上， CP 平分/ DCB .【例 3】 已知： AOB =90, OM 是/ AOB 的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P 在射線 OM 上滑動(dòng)，兩直角邊分別與 OA、OB 交于

5、C、D .DC(1) PC 和 PD 有怎樣的數(shù)量關(guān)系是 _(2) 請你證明(1)得出的結(jié)論.【解析】(1)PC =PD.(2)過 P 分別作 PE 丄 OB 于 E, PF 丄 OA 于 F , CFP二DEP =90,OM 是/AOB 的平分線，PE二PF,T. 1. FPD =90，且.AOB =90, FPE =90, 上2 ZFPD =90，匚1厶2,在CFP 和 ADEP 中CPF ZDEPPF =PE, AZCFP 也 zDEP ,PC =PD.1 =/2【答案】見解析.【例 4】 如圖，OP 是/ MON 的平分線，請你利用該圖形畫一對以 OP 所在直線為對稱軸的全等三角形請你

6、參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：(1)如圖，在 ABC 中，/ ACB 是直角，.B =60, AD、CE 分別是/ BAC、/ BCA 的平分線，AD、CE 相交于點(diǎn) F，請你判斷并寫出 FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系(不需證明)；(2)如圖，在 ABC 中，.B =60，請問，在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.【解析】如圖所示;(1)FE =FD.(2)如圖，過點(diǎn) F 作 FG 丄 AB 于 G,作 FH 丄 BC 于 H，作 FK 丄 AC 于 K,AD、CE 分別是/BAC、/BCA 的平分線，F(xiàn)G二FH二FK,在四邊形 BGFH 中，/G

7、FH =360 -60 -90 2 =120,AD、CE 分別是/BAC、/BCA 的平分線，B =60,1 FAC FCA 180 60=60 .2在AFC 中，AFC =180-：i/FACFCA =180 -60 =120, 二EFD一AFC =120，二EFG一DFH在 AEFG 和 ADFH 中,EFG -. DFH .EGF =.DHF ,AZEFG 也QFHFE二FDFG =FH【答案】見解析.【例 5】已知.MAN =120, AC 平分/ MAN，點(diǎn) B、D 分別在 AN、AM 上.（1） 如圖 1，若/ABC ZADC =90，請你探索線段 AD、AB、AC 之間的數(shù)量關(guān)系

8、，并證明 之；（2） 如圖 2，若.ABC . ADC =180，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明; 若不成立，請說明理由.1【解析】（1）得到ACD =/ACB =30后再可以證得 AD =AB 二-AC，從而，證得結(jié)論；2（2）過點(diǎn) C 分別作 AM、AN 的垂線，垂足分別為 E、F，證得 CED 也 JCFB 后即可得到AD AB二AE - ED AF FB二AE AF，從而證得結(jié)論.【答案】（1 ）關(guān)系是：AD AB二AC.證明：TAC 平分/MAN ,- MAN =120* CAD “AB =60又乙ADC ABC =90,ACD -ACB =301則 AD =AB =

9、-AC （直角三角形一銳角為 30 ,則它所對直角邊為斜邊一半）2 AD AB =AC;(2 )仍成立.證明：過點(diǎn) C 分別作 AM、AN 的垂線，垂足分別為 E、FAC 平分/MANCE =CF(角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等). ABC：_ADC =180,. ADC：_CDE =180 CDE = ABC又/CED ZCFB =90,z.JCED /CFB (AAS )ED =FB,AD AB二AE - ED AF FB二AE AF由(1)知AE AF二AC,-AD AB二AC.【例 6】 如圖，在 ABC 中，.C =2. B, AD 平分/ BAC，求證：AB - AC二CD.A【解析

10、】在 AB 上截取點(diǎn) E,使得AE二AC.TAD 平分/BAC ,EAD =/CAD,ZADE 也 zADC (SAS).NAED =NC,ED =CD.復(fù)C =2/B，：乙AED=2NB. AED =/BEDB, B =/EDB, BE =DE.CD =BE = AB -AE =AB -AC.【答案】見解析.【例 7】 如圖，ABC中，AB =AC,A =108,BD平分.ABC交AC于D點(diǎn).求證：BC =AC - CD.【解析】在BC上截取E點(diǎn)使BE = BA，連結(jié)DE. BD平分ABC, . ABD =/EBD.在ABD與EBD中TAB=EB,- ABD “EBD,BD =BDABD也E

11、BD，二A= DEB AB=AE,上BAD BED,乙DEC =72又ADB =36 18 =54,CDE =72ECDE /DEC, CD =CE/BC二BE EC, BC二AC CD【答案】見解析.C【例 8】 已知ABC中， A =60,BD、CE分別平分 ABC和.ACB,BD、CE交于點(diǎn)O，試判 斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【解析】在BC上截取一點(diǎn)F使得BF二BE,易證ABOE幻厶BOF,在根據(jù)三BOC =120推出.BOE - . COF =60，再證明.：OCF幻厶OCD即可.【答案】BC =BE CD.【例 9】 如圖：已知 AD ABC 的中線，且.1=2 ,/

12、34，求證：BE CF . EF.【解析】在 DA 上截取DN =DB，連接 NE, NF，則DN =DC,在 ADBE 和 ADNE 中：DN二DB丿上1二/2ED =ED/ZDBE zDNE ( SAS),/ BE=NE同理可得：CF =NF在 AEFN 中，EN FN EF(三角形兩邊之和大于第三邊) BE CF EF.【答案】見解析.【例 10】已知：在四邊形 ABCD 中，BC . BA,. A C =180，且.C =60, BD 平分/ ABC,求證:BC二AB DC.【解析】在 BC 上截取BE =BA,BD 平分/ABC,：ABD二EBD, 在 ABAD 和 ABED 中,B

13、A =BE；_ABD = . EBD ,BD 二 BD./BADBAED, AD =DE,A二BED.C - DEC, DE =DC. DC =AD.C =60, .ZCDE 是等邊三角形,DE二CD二CE, BC二BE CE二AB CD.【答案】見解析.【例 11】觀察、猜想、探究: BED：-DEC =180,AC =180D在厶 ABC 中，.ACB =2. B.(1)如圖，當(dāng)匕C =90,AD 為/ BAC 的角平分線時(shí)，求證：AB =AC CD;(2) 如圖，當(dāng)MC =90, AD 為/ BAC 的角平分線時(shí)，線段 AB、AC、CD 又有怎樣的數(shù)量 關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜

14、想；(3)如圖，當(dāng) AD ABC 的外角平分線時(shí)，線段 AB、AC、CD 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請 寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明. AED =/ACB，由.ACB =2. B,禾用等量代換及外角性質(zhì)得到一對角相等，禾用等角對等 邊得到BE二DE，由AB二AE EB，等量代換即可得證；(2)AB =CD AC，理由為：在 AB 上截取AG =AC，如圖 2 所示，由角平分線定義得到 一對角相等，再由AD二AD，利用 SAS 得到三角形 AGD 與三角形 ACD 全等，接下來同(1) 即可得證；(3)AB -CD -AC，理由為：在 AF 上截取AG =AC，如圖 3 所示，同(2)即可得證.

15、【答案】(1 )過 D 作 DE 丄 AB,交 AB 于點(diǎn) E,如圖 1 所示，AD 為/BAC 的平分線，DC 丄 AC, DE 丄 AB ,二DE =DC, 在 RtACD 和 RtAED 中，AD =AD,DE =DC,RtXCD 職 ZVED ( HL ) , /AC =AE，乙ACBAED,=2。，/AED=2-/B,又AED = B EDB,B=EDB,BE =DE =DC，貝 VAB =BE AE =CD AC;(2)AB二CD AC，理由為:在 AB 上截取AG =AC，如圖 2 所示,【解析】(1)過 D 作 DE 丄 AB，交 AB 于點(diǎn)形 AED 與直角三角形 ACD 全

16、等,由全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等，得到AE =AC,TAD 為/BAC 的平分線， .GAD =/CAD,AG =AC在蟲 DG 和AADC 中，！ WGAD = . CADAD 二 AD ZADG 也 zADC ( SAS), CD =CG，/AGD =/ACB,. ACB =2. B, AGD =2 B,又 AGD = B：_GDB, B = GDB,BE =DG =DC，貝U AB =BG AG =CD AC；(3)AB =CD -AC，理由為：在 AF 上截取AG =AC，如圖 3 所示，VAD 為/FAC 的平分線，/GAD ZCAD,在XDG 和AADC 中，AG =AC

17、GAD =. CAD , ADG 也 ZADC (SAS),AD =ADCD -GD,AGD 4ACD，即乙ACB FGD,ACB =2 /B，乙FGD =2/B，又VFGD B ZGDB，/BGDB,BG =DG =DC，貝U AB二BG - AG =CD -AC.【例 12】如圖所示，在 ABC 中，.ABC =3. C, AD 是/ BAC 的平分線，BE 丄 AD 于 F. 求證：BE =1 AC -AB .2【解析】延長 BE 交 AC 于點(diǎn) F.則 AD 為/BAC 的對稱軸，BE 丄 AD 于 F ,點(diǎn) B 和點(diǎn) F 關(guān)于 AD 對稱，1 BE =EF BF ,AB =AF,AB

18、F =/AFB.2/ABF+ZFBC /ABC =3心，/ABF ZAFB ZFBC+ /C,.上FBC+/C+FBC =3/C,:上FBC ZCFB =FC,11 1 BEFC AC AF AC AB22 21 BEAC - AB .2【答案】見解析.【例 13】如圖，已知： ABC 中 AD 垂直于/ C 的平分線于 D, DE / BC 交 AB 于 E.求證：EA = EB.【解析】由 AD 垂直于/C 的平分線于 D，可以想到等腰三角形中的三線合一，于是延長 AD 交 BC 與點(diǎn)F，得 D 是 AF 的中點(diǎn)，又因?yàn)?DE /BC，由三角形中位線定理得EA二EB.【答案】延長 AD 交

19、 BC 與點(diǎn) F,CD 平分ZACF , /1 Z2，又 AD 丄 CD ,從 DC 迫 FDC ,AD=FD,又/DE /BC, EA 二 EB .【例 14】 已知：如圖，在 ABC 中，.ABC =3. C，乙1=2, BE 丄 AE.求證：AC AB =2BE.【解析】延長 BE 交 AC 于 M ,TBE 丄 AE ,AEB = AEM =90在ABE 中一3 : -AEB =180, 3 =90 _1同理，4 =90_2/ 1=/2 ,3,AB=AMBE 丄 AE ,BM =2BE,ACAB二ACAM二CM, 2 是厶 BCM 的外角，-4 =/5CABC =3/C，乙ABC 3

20、乙5乙4乙5.3.乙C = 4乙5 =2 5：-C ,三5 = C CM =BM , AC AB = BM =2BE【答案】見解析.【例 15】如圖，已知AB =AC,. BAC =90, BD 為/ ABC 的平分線,【解析】延長 CE，交 BA 的延長線于點(diǎn) F .BD 為/ABC 的平分線，CE 丄 BE, ZBEF 也EC,.BC =BF,CE =FE. BAC =90, CE 丄 BE,.ABD - ACF,又AB二AC,.ZABD 也 ZACF, BD =CF. BD【答案】見解析.A課后復(fù)習(xí)【作業(yè) 1】如圖所示，在ABC中，BP、CP 分別是/ ABC 的外角的平分線，求證：點(diǎn)P

21、 在/ A 的平分線上.【解析】過點(diǎn) P 作 PE 丄 AB 于點(diǎn) E, PG 丄 AC 于點(diǎn) G, PF 丄 BC 于點(diǎn) F.因?yàn)?P 在/EBC 的平分線上，PE 丄 AB, PH 丄 BC,所以PE =PF.同理可證PF =PG.所以PG =PE,又 PE 丄 AB, PG 丄 AC,所以 P 在/A 的平分線上,【答案】見解析.【作業(yè) 2】已知：如圖，AB =2AC，乙BAD ZCAD,DA二DB，求證：DC 丄 AC.1【解析】在 AB 上取中點(diǎn) E,連接 DE，則 AE 二 BE AB .2DA二DB,.DE 丄 AB，/AED =90.又:AB =2AC , AE二AC. ./B

22、AD =. CAD ,.ZADE zADC ( SAS). /AED ZACD =90，即 DC 丄 AC.【答案】見解析.【作業(yè) 3】已知等腰ABC,. A =100,ABC的平分線交AC于D，則BD AD二BC.【解析】如圖，在BC上截取BE =BD，連接DE,過D作DF II BC,交AB于F，于是3 “2,- ADF “ECD.又1=2, -1 =/3，故DF =BF.顯然FBCD是等腰梯形.BF二DC,DF二DC.1112=/ABC180 -100 =20 ,22 21 BED - BDE 180 _2 尸 80 ,/DEC =180BED =100，/FADDEC =100，:AF

23、D幻：EDC,AD = EC.又BE =BD, BC =BD EC =BD AD.【答案】見解析.【作業(yè) 4】如圖，已知在厶 ABC 中，AD、AE 分別為 ABC 的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)交 AD 的延長線于 F，連接 FC 并延長交 AE 于 M .求證：AM =ME.【解析】延長 AC ,交 BF 的延長線于點(diǎn) N.AD 平分/BAC, BF 丄 AD ,AXFBZAFN ,二BF =NF.AD、AE 分別為 ABC 的內(nèi)、外角平分線，EA丄 FA.VBF 丄 AF ,.BF /AE.BF : ME二CF : CM,FN : AM二CF : CMBF =NFAM二ME.【答案】見解析.EFNB