1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上三角函數(shù)的實際應用知識：直角三角形中其他重要概念 仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角如圖 坡角與坡度：坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則坡度越大，坡面就越陡如圖 方向角（或方位角）：方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達為北（南）偏東（西）××度.如圖2. 解直角三角形應用題的解題步驟及應注意的問題： 分析題意，根據已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清

2、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義； 找出要求解的直角三角形有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； 根據已知條件，選擇合適的邊角關系式解直角三角形； 按照題目中已知數(shù)據的精確度進行近似計算，檢驗是否符合實際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位3. 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)0°30°45°60°90°011001-10典型例題類型一.所求線段由兩段和差組成。例題1.（2

3、018成都） 由我國完全自主設計、自主建造的首艦國產航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務.如圖，航母由西向東航行，到達處時，測得小島位于它的北偏東方向，且于航母相距80海里，再航行一段時間后到達處，測得小島位于它的北偏東方向.如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處，求還需航行的距離的長.（參考數(shù)據：，） .解：由題知：，.在中，（海里）.在中，（海里）.答：還需要航行的距離的長為20.4海里. 變式1.為了減輕二環(huán)高架上汽車的噪音污染，成都市政府計劃在高架上的一些路段的護欄上方增加隔音屏如圖，工程人員在高架上的車道 M 處測得某居民樓頂?shù)难鼋茿BC的度數(shù)是 20°，儀器 BM

4、 的高是 0.8m，點M 到護欄的距離 MD 的長為 11m，求需要安裝的隔音屏的頂部到橋面的距離 ED 的長（結果保留到 0.1m，參考數(shù)據：sin20°0.34，cos20°0.94，tan20°0.36）解：由題意：CDBM0.8m，BCMD11m，在RtECB中，ECBCtan20°11×0.363.96（m），EDCD+EC3.96+0.84.8（m），答：需要安裝的隔音屏的頂部到橋面的距離 ED 的長4.8m2.如圖，登山纜車從點出發(fā)，途徑點后到達終點。其中段與段的運行路程為，且段的運行路線與水平面的夾角為，段的運行路線與水平面的夾

5、角為，求纜車從點運行到點的垂直上升的距離。（參考數(shù)據：，）答案：234米3.（成華二診）如圖，大樓沿右側有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓，在小樓的頂端處測得障礙物邊緣點的俯角為，測得大樓頂端的仰角為（點在同一水平直線上）。已知，求障礙物兩點間的距離。（結果精確到，參考數(shù)據：）解：如圖，過點D作DFAB于點F，過點C作CHDF于點H則DEBFCH10m，在直角ADF中，AF80m10m70m，ADF45°，DFAF70m在直角CDE中，DE10m，DCE30°，CE10（m），BCBECE70107017.3252.7（m）答：障礙物B，C兩點間的距離約為52.7m類型二

6、：輔助線技巧例題1（2017成都）科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行。如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)游玩，到達地后， 導航顯示車輛應沿北偏西方向行駛4千米至地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)， 小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)恰好在地的正北方向，求兩地的距離。解：過B作BDAC于點D在RtABD中，AD=ABcosBAD=4cos60°=4×=2（千米），BD=ABsinBAD=4×=2（千米），BCD中，CBD=45°，BCD是等腰直角三角形，CD=BD=2（千米），BC=BD=2（千米）答：B，C兩地的距離是2千米變式1如圖，南沙群島是我國固有

7、領土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè)，當漁船航行至海面處時，測得該島位于正北方向海里的處，為了防止某國海巡警干擾，就請求我處的漁監(jiān)船前往處護航，已知位于處的北偏東方向上，位于的北偏西的方向上，求、之間的距離。解：如圖，作ADBC，垂足為D，由題意得，ACD45°，ABD30°設CDx，在RtACD中，可得ADx，在RtABD中，可得BDx，又BC20（1+），CD+BDBC，即x+x20（1+），解得：x20，ACx20（海里）答：A、C之間的距離為20海里2.（2017武侯二診）為促進我市經濟的快速發(fā)展，加快道路建設，某高速公路建設工程中需修隧道，如圖，在山

8、外一點測得距離為，求隧道的長。解：過點C作CDAB于D，BC800m，CBA30°，在RtBCD中，CDBC400m，BDBCcos30°800×400693（m），CAB54°，在RtACD中，AD231（m），ABAD+BD693+231924（m）答：隧道AB的長為924m3.漁船上的漁民在處看見燈塔在北偏東方向，這艘漁船以海里/時的速度向正東航行，半小時到處.在處看見燈塔在北偏東方向，求此時燈塔與漁船的距離.BM=例題2（錦江二診）如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角CED=60°，在離電線桿6米

9、的B處安置高為1.5米的測角儀AB，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，求拉線CE的長CE=4+變式1如圖，某中學在主樓的頂部D和大門A的上方之間掛一些彩旗，經測量，大門距主樓的距離BC90m，在大門處測得主樓頂部的仰角是30°，而當時測傾器離地面BE1.5m求：學校主樓CD的高度（結果精確到0.01m）解：（1）作EFBC交DC于點F，BC45m，EF45m，DEF30°，DFE90°，tan30°，解得，DE15，EBm，DC1516m，即學校主樓的高度是16m；（2）作AGBC交DC于點G，BCAG45m，ABm，DC16m，GCAB3

10、m，DG16313m，AGD90°，AD2m，即大門上方A與主樓頂部D的距離是2m2如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為40cm，燈罩BC長為30cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的BAD60°使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm？（結果精確到0.1cm，參考數(shù)據：1.732）解：由題意得：ADCE，過點B作BMCE，BFEA，燈罩BC長為30cm，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，CMMB，即三角形CMB為直角三角形，sin30°，CM15cm，在直角三角形ABF中

11、，sin60°，解得：BF20，又ADCBMDBFD90°，四邊形BFDM為矩形，MDBF，CECM+MD+DECM+BF+ED15+20+251.6cm答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是51.6cm3如圖，要在寬為22米的大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，求路燈的燈柱BC高度解：如圖，延長OD，BC交于點PODCB90°，P30°，OB11米，CD2米，在直角CPD中，DPDCcos30°m，PCC

12、D÷（sin30°）4米，PP，PDCB90°，PDCPBO，PB11米，BCPBPC（114）米類型三.雙直角三角形與方程思想例題1.如圖，為了測量某條河的寬度，現(xiàn)在河邊的一岸邊任意取一點，又在河的另一岸邊取兩點,測得,，量得長為米，求河的寬度（結果保留根號）。解答:50+50變式1如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行100米到達C處，再測得山頂A的仰角為45°，那么山高AD為多少米？（結果保留整數(shù)，測角儀忽略不計，1.414，1.732）ABCD30°45°解：如圖，ABD30&

13、#176;，ACD45°，BC100m，設ADxm，在RtACD中，tanACD，CDADx，BDBC+CDx+100， 4分在RtABD中，tanABD，x（x+100），x50（+1137即山高AD為137米 2.如圖，是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高BC是10米，坡面10米處有一建筑物HQ，為了方便使行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面DC的傾斜角BDC=30°，若新坡面下D處與建筑物之間需留下至少3米寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除（計算最后結果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據： =1.414， =1.732）3.為了測量白塔的高度AB，在D處用高為

14、1.5米的測角儀 CD，測得塔頂A的仰角為42°，再向白塔方向前進12米，又測得白塔的頂端A的仰角為61°，求白塔的高度AB（參考數(shù)據sin42°0.67，tan42°0.90，sin61°0.87，tan61°1.80，結果保留整數(shù)）解：設AEx，在RtACE中，CE1.1x，在RtAFE中，F(xiàn)E0.55x，由題意得，CFCEFE1.1x0.55x12，解得：x，故ABAE+BE+1.523米答：這個電視塔的高度AB為23米例題2（2014成都）如圖，從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ，測得桿頂端點P的仰角是45°，向前

15、走6m到達B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°。（1）求BPQ的度數(shù)；（2）求該電線桿PQ的高度（結果精確到1m）。備用數(shù)據：，30度，9米變式1.如圖：某電信部門計劃修建一條連結、兩地的電纜，測量人員在山腳點測得、兩地的仰角分別為、，在地測得地的仰角為，已知地比地高，電纜要多少米？（結果保留根號）2.數(shù)學興趣小組向利用所學的知識了解某廣告牌的高度，已知CD2m，經測量，得到其它數(shù)據如圖所示，其中CAH30°，DBH60°，AB10m，請你根據以上數(shù)據計算GH的長（要求計算結果保留根號，不取近似值）解：延長CD交AH于點E，設DEx

16、，則BEx，A30°，x53，GHEC51（m）答：GH的長為（51）m3某數(shù)學社團成員想利用所學的知識測量某廣告牌的寬度（圖中線段MN的長），直線MN垂直于地面，垂足為點P在地面A處測得點M的仰角為58°、點N的仰角為45°，在B處測得點M的仰角為31°，AB5米，且A、B、P三點在一直線上請根據以上數(shù)據求廣告牌的寬MN的長（參考數(shù)據：sin58°0.85，cos58°0.53，tan58°1.60，sin31°0.52，cos31°0.86，tan31°0.60）解：在RtAPN中，NAP4

17、5°，PAPN，在RtAPM中，tanMAP，設PAPNx，MAP58°，MPAPtanMAP1.6x，在RtBPM中，tanMBP，MBP31°，AB5，0.6，x3，MNMPNP0.6x1.8（米），答：廣告牌的寬MN的長為1.8米課后練習：1. （2016成都）在學習完“利用三角函數(shù)測高”這節(jié)內容之后，某興趣小組開展了測量學校旗桿高度的實踐活動。如圖，在測點處安置測傾器，量出高度，測得旗桿頂端的仰角，量出測點到旗桿底部的水平距離，根據測量數(shù)據，求旗桿的高度。（參考數(shù)據：，）2.如圖，海面上以點A為中心的4海里內有暗礁，在海面上點B處有一艘海監(jiān)船，欲到C處去執(zhí)

18、行任務，若ABC45°，ACB37°，B，C兩點相距10海里，如果這艘海監(jiān)船沿BC直接航行，會有觸礁的危險嗎？請說明理由（參考數(shù)據：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75）】解：如果這艘海監(jiān)船沿BC直接航行，不會有觸礁的危險；理由如下：作AMBC于M，如圖所示：ABC45°，ABM是等腰直角三角形，AMBM，設AMBMx海里，則CM10x（海里），在RtACM中，tanACBtan37°0.75，解得：x，經檢驗，x是方程的根，AM海里4海里，如果這艘海監(jiān)船沿BC直接航行，不會有觸礁的危險3.某海域

19、有A,B兩個島嶼,B島嶼在A島嶼北偏西30方向上,距A島120海里,有一艘船從A島出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達位于B島嶼南偏東75方向的C處,求出該船與B島之間的距離CB的長(結果保留根號).4.一艘輪船位于燈塔南偏西方向的處，它向東航行海里到達燈塔南偏西方向上的處，若輪船繼續(xù)沿正東方向航行，求輪船航行圖中與燈塔的最短距離。（結果保留根號）5.如圖，已知樓房AB高40米，鐵塔CD塔基中心C到AB樓房房基B點的水平距離BC為50米，從A望D的仰角為26.6°，求塔CD的高（參考數(shù)據：sin26.6°0.45，cos26.6°0.89，tan26.6°

20、;0.50）解：過A作AECD于E，則AEBC50米，ABCE40米，在RtAED中，DAE26.6°，tanDAE，DEAE×tanDAE50×tan26.650×0.5025，CDCE+DE40米+25米65米，即塔CD的高約為65米6.如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需繞行B地已知B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向若打通穿山隧道，建成兩地直達高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長（結果保留整數(shù)）（參考數(shù)據：sin67°，cos67°，tan67°，1.73）解：過點B作BDAC于點D，B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，ABD67°，ADABsin67°520×480km，BDABcos67°520×200kmC地位于B地南偏東30°方向，CBD30°，CDBDtan30°200×，ACAD+CD480+480+115595（km）答：A地到C