1、理論力學(xué)動(dòng)量矩定理與其應(yīng)用第第10章章 動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用第三篇第三篇 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)誰(shuí)最先到誰(shuí)最先到 達(dá)頂點(diǎn)達(dá)頂點(diǎn)第第10章章 動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用 沒(méi)有尾槳的沒(méi)有尾槳的直升飛機(jī)是直升飛機(jī)是怎樣飛起來(lái)怎樣飛起來(lái)的的 10.1 10.1 幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 10.3 10.3 相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 10.4 10.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程與平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程與平面運(yùn)動(dòng)微分方程 10.5 10.5 結(jié)論與討論結(jié)論與討論 10.1 1

2、0.1 質(zhì)點(diǎn)與剛體的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)與剛體的動(dòng)量矩 第第10章章 動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用 第第10章章 動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用 10.1 10.1 質(zhì)點(diǎn)與剛體的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)與剛體的動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩力對(duì)點(diǎn)力對(duì)點(diǎn)O的力矩的力矩質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)z軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩力對(duì)力對(duì)z軸的力矩軸的力矩質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 LO(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的動(dòng)量矩第

3、第i個(gè)個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)動(dòng)量矩為點(diǎn)動(dòng)量矩為 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)動(dòng)量矩為點(diǎn)動(dòng)量矩為 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的動(dòng)量矩（1 1）平移剛體平移剛體的動(dòng)量對(duì)的動(dòng)量對(duì)O點(diǎn)之矩點(diǎn)之矩剛體的動(dòng)量矩剛體的動(dòng)量矩 剛體剛體（2 2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量的動(dòng)量矩矩剛體對(duì)軸剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的動(dòng)量矩剛體的動(dòng)量矩 rimi（1 1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相關(guān)概念）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相關(guān)概念度量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的物理量。度量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的物理量。 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對(duì)某軸剛體對(duì)某軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按下式計(jì)算的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

4、可按下式計(jì)算剛體對(duì)任一軸剛體對(duì)任一軸z的回轉(zhuǎn)半徑（或慣性的回轉(zhuǎn)半徑（或慣性半徑）為半徑）為 rimi（2 2）簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算（a）均質(zhì)細(xì)直桿分別對(duì)）均質(zhì)細(xì)直桿分別對(duì)z軸和軸和zC轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zdxxxOl2lzCdxxxC 設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，取微，取微段段dx, , 則則dxlmdm 20231mlxdxlmJlz2222121mlxdxlmJllzC剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2iizrmJzR設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R。則。則222zi iiJm rRmmR xyRrdr設(shè)圓板

5、的質(zhì)量為設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R。將圓板分為無(wú)數(shù)同。將圓板分為無(wú)數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為（b）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（c）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rdrRmRmrdrrdrdm22222203202212mRdrrRmdmrJRRZ2iizrmJ剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 zOzCC（m ，l ）2mRJZ231mlJZ簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算zR（m，R）xyR（m，R）221mRJZ2121mlJZC 平行移軸定理平行移軸定理：剛體對(duì)

6、于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量通過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。與兩軸間距離平方的乘積。（3 3）平行移軸定理）平行移軸定理231mlJZ剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 zCCzO（m ，l ）22lmJJZCZ2121mlJZC思考思考Jz？2zzCJJmdOABll 2OABll 2 均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量分均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量分別為別為m和和2m，求其對(duì)，求其對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABOAOJJJl 2OABll 2（4）組

7、合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 222)2)(2()2)(2(12131lmlmml25ml 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 第第10章章 動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用 Lo(mv)OA(x,y,z)BrmvyxzOLmrv()ddmmdtdtrvrv()OddLmdtdtrv()O MF rFmvv質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)FMo(F)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 FMLOOdtd0)(iiOFM質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系m1m2mnO質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理eeOiOOd

8、tdMFMLieiOiOFMFMiOOitFMLddieddiOiOOitFMFML質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 微分形式微分形式m1m2mnOyxzeeOiOOdtdMFMLeeeddddddzzyyxxMtLMtLMtL質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理在直角坐標(biāo)中投影在直角坐標(biāo)中投影 tiiOOde0FrLL12質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的積分形式。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的積分形式。 積分形式積分形式與沖量定理一起應(yīng)用于求解碰撞問(wèn)題。與沖量定理一起應(yīng)用于求解碰撞問(wèn)題。 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩守恒定律 eeOiOOdtdMFML恒矢量恒矢量10C LL0eOMedtdx

9、xML恒量恒量20CLLxx0exM上次課內(nèi)容小結(jié)上次課內(nèi)容小結(jié) 1. 動(dòng)量矩動(dòng)量矩 2）剛體的動(dòng)量矩：）剛體的動(dòng)量矩：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)z軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩3）剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡(jiǎn)單均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算平行移軸定理平行移軸定理組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理的動(dòng)量矩定理， 1）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩：點(diǎn)的動(dòng)量矩：平移剛體對(duì)平移剛體對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩點(diǎn)的動(dòng)量矩zOzCC（m ，l ）2mRJZ231mlJZ簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算zR（m，R

10、）xyR（m，R）221mRJZ2121mlJZC 均質(zhì)圓輪半徑為均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為質(zhì)量為m。圓輪在重物圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為動(dòng)，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度。求：重物下落的加速度。P例題例題1 1 例題例題1 1 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 解：對(duì)象：解：對(duì)象：整體整體受力：如圖所示受力：如圖所示方程：圓輪對(duì)方程：圓輪對(duì)O軸軸的的動(dòng)量矩動(dòng)量矩重物對(duì)重物對(duì)O的的軸動(dòng)量矩軸動(dòng)量矩2121mRJLOO2OWLvRgvRgWmRLLLOOO22121系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)O的的軸總動(dòng)量矩軸總動(dòng)量矩P運(yùn)動(dòng)：圓

11、輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊平移運(yùn)動(dòng)：圓輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊平移FOxFOyWmg 例題例題1 1 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 vRgWmRLLLOOO22121系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)O的的軸總動(dòng)量矩軸總動(dòng)量矩應(yīng)用動(dòng)量矩定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理WRvRgWmRt)21(dd2WRRagWmRP221aP=R#2gWmWaP運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系 例題例題1 1 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 aPeddOOMtLPFOxFOyWmg？圓輪的角加速度是否相同？圓輪的角加速度是否相同？若用手拉繩子？若用手拉繩子？思考思考 例題例題1 1

12、 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 WF PPW分別選輪和物體為研究對(duì)象？分別選輪和物體為研究對(duì)象？PFTFT圓輪：圓輪：物體：物體：OOLJ 思考思考eddOOMtLaPaP=RTPFWma 例題例題1 1 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 RFT誰(shuí)最先到誰(shuí)最先到 達(dá)頂點(diǎn)達(dá)頂點(diǎn) 實(shí)例解釋實(shí)例解釋 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 aa0A AB Bm vr m vr uvvuvvBrBaArAaaaABvv2BrArvvu2BrArBaAavvvvgAmBgmaAvaBvu

13、u 實(shí)例解釋實(shí)例解釋 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 OxFOyF0eizM F0 constLz 實(shí)例解釋實(shí)例解釋 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 2BrArBaAavvvv 實(shí)例解釋實(shí)例解釋 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 2BrArBaAavvvv沒(méi)有尾槳的沒(méi)有尾槳的直升飛機(jī)是直升飛機(jī)是怎樣飛起來(lái)怎樣飛起來(lái)的的 實(shí)例解釋實(shí)例解釋 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 zMrFMz(F )= Mr旋翼旋翼尾槳尾槳 實(shí)例解釋實(shí)例解釋

14、 10.2 10.2 動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律 第第10章章 動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用 10.3 10.3 相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理！對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理！ 一般的動(dòng)點(diǎn)？一般的動(dòng)點(diǎn)？aveOOdtdML固定點(diǎn)固定點(diǎn)iiiOmvrL固定點(diǎn)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩 miviC COxyzzyxrirCriiiiCmvrL irCivvvirCiiCmvvrL 0iriiCiimmvrvrCCmvr iriimvr iriim vr iriiiiiCmmvrvrL 質(zhì)心質(zhì)心質(zhì)心質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)

15、的動(dòng)量矩為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為 iiLrvOiim iiiiiCOmmvrvrLiCirrrvviiCmmLrvLOCCCm質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩與相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系與相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系 miviC COxyzzyxrirCriiriiiiiCmmvrvrL edd()ddLrvLrFnOCCCiiimttddddddrvLvrCCCCCmmttteerFrFnnCiiiiiiCirrr質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 nieiinieiCCtFrFrLddLrvLOCCCmeOOdtdMLCvCa0nieiCFreddini

16、iCtFrLeCnieiCMFM質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 miviC COxyzzyxrirCrieCCdtdML質(zhì)心質(zhì)心注意：注意：1.1.隨質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，一定是平移坐標(biāo)系。隨質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，一定是平移坐標(biāo)系。2.2.該定理只適用于質(zhì)心這一特殊動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于其他動(dòng)點(diǎn)，將該定理只適用于質(zhì)心這一特殊動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于其他動(dòng)點(diǎn)，將出現(xiàn)附加項(xiàng)。出現(xiàn)附加項(xiàng)。eOOdtdML第第10章章 動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用 10.4 10.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程與平面運(yùn)動(dòng)微分方程與平面運(yùn)動(dòng)微分方程 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 zzJL eOzM

17、dtdLeizM FzzMJzzJM剛體定軸轉(zhuǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程動(dòng)微分方程突解約束問(wèn)題突解約束問(wèn)題解除約束前解除約束前后約束力的后約束力的變化？變化？ 例題例題2 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 FT平衡問(wèn)題平衡問(wèn)題動(dòng)力學(xué)問(wèn)題動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 例題例題2 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 213m l02nCCala32gl動(dòng)力學(xué)問(wèn)題動(dòng)力學(xué)問(wèn)題()zzJMF2lmg nCaCaxy 例題例題2 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 mgFmaFmaOycOxcn420mglmmgFFOyOx 例題例題2 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 剛體的平面運(yùn)動(dòng)

18、剛體的平面運(yùn)動(dòng)CCJL剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 前提：前提：剛體對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩為剛體對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩為隨隨質(zhì)心質(zhì)心的平移的平移繞繞質(zhì)心質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)+C COxyzzyx FCCMJeiCmFa剛體具有質(zhì)量對(duì)稱面剛體具有質(zhì)量對(duì)稱面質(zhì)量對(duì)稱面平行于運(yùn)動(dòng)平面質(zhì)量對(duì)稱面平行于運(yùn)動(dòng)平面當(dāng)作用于剛體上的力系可以簡(jiǎn)化為質(zhì)量對(duì)稱面內(nèi)的平面力系。當(dāng)作用于剛體上的力系可以簡(jiǎn)化為質(zhì)量對(duì)稱面內(nèi)的平面力系。eiCCMJFeiCmFa剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 exCFxm eyCFym eiCCMJF 動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理的綜合應(yīng)用主矢主矢iFFeR主矩主矩

19、iOFMMeOniFFFFF,21nippppp,21動(dòng)量動(dòng)量iiim vpp動(dòng)量矩動(dòng)量矩iiOOiOmvMLLeddOOtMLeRddFpt動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理應(yīng)用于剛體？動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理應(yīng)用于剛體？eddOOtMLeRddFptxCFxm yCFym zzMJ eiCCMJF xCFxm yCFym 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程可以描述剛體的總體運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程可以描述剛體的總體運(yùn)動(dòng))(eiiCCiyCixCMJFymFxmF 0)(00eiiCiyixMFFF動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)靜力學(xué)靜力學(xué)靜力學(xué)是動(dòng)力學(xué)的特殊情形靜力學(xué)是動(dòng)力學(xué)的特殊情形內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量和動(dòng)量矩！內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的

20、動(dòng)量和動(dòng)量矩！)(eiOdtdFMLOeReiFFpdtd 一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r，無(wú)初速地放在傾角為，無(wú)初速地放在傾角為q q 的的斜面上，不計(jì)滾動(dòng)阻力偶。求：其質(zhì)心的加速度。斜面上，不計(jì)滾動(dòng)阻力偶。求：其質(zhì)心的加速度。解：以圓柱體為研究對(duì)象。圓柱體在斜面上的運(yùn)解：以圓柱體為研究對(duì)象。圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種動(dòng)形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種情況進(jìn)行討論：情況進(jìn)行討論：(1) (1) 設(shè)接觸處完全光滑設(shè)接觸處完全光滑此時(shí)圓柱作平移，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理此時(shí)圓柱作平移，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即即得圓柱質(zhì)心的加速度得圓柱質(zhì)心的加速度

21、sinCagqqCxyO(e)CxxmaF sinCmamgqCqaCFNmg例題例題3 3 例題例題3 3 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 (2) (2) 設(shè)接觸處足夠粗糙設(shè)接觸處足夠粗糙 此時(shí)圓柱作純滾動(dòng)，列出平此時(shí)圓柱作純滾動(dòng)，列出平面運(yùn)動(dòng)微分方程面運(yùn)動(dòng)微分方程2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq2sin3Cagq解得解得11sin23CFmamgq由于圓柱作純滾動(dòng)，故由于圓柱作純滾動(dòng)，故maxcosNFFf Ff mgqF由純滾動(dòng)條件有由純滾動(dòng)條件有Car所以所以1cossin3f mgmgqq，可得，可得1tan3fq這就是圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件。這就

22、是圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件。qCxyaCOFNmg 例題例題3 3 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 rvC(3) (3) 設(shè)不滿足圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件設(shè)不滿足圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件1tan3fq設(shè)圓柱體沿斜面滑動(dòng)的動(dòng)摩擦系數(shù)為設(shè)圓柱體沿斜面滑動(dòng)的動(dòng)摩擦系數(shù)為f ，則滑動(dòng)摩擦力，則滑動(dòng)摩擦力cosNFf Ff mgq于是于是2cosgfrq(sincos )Cagfqq圓柱體在斜面上既滾動(dòng)又滑動(dòng)圓柱體在斜面上既滾動(dòng)又滑動(dòng), , 在這種情況下，在這種情況下，aCr2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqqFqCxyaCOFNmg 例題例題3 3 剛體平面運(yùn)動(dòng)微

23、分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B質(zhì)量均為質(zhì)量均為m，半徑均為，半徑均為r。圓柱。圓柱A可繞固定軸可繞固定軸O轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱上，繩的另一端繞在圓柱B上。上。 求：求：B下落時(shí)，質(zhì)心下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。解：對(duì)象：圓柱體解：對(duì)象：圓柱體A受力：如圖受力：如圖運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得到方程：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得到OABAFTOA例題例題4 4 例題例題4 4 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 FOymgFOxCTmamgFCBTJF r其中其中2

24、2ACJJmrOABCFTBCDB對(duì)象：圓柱體對(duì)象：圓柱體B受力：如圖受力：如圖運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：B作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng)方程：根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的微分方程方程：根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aDrA,()CDBABaarrgaC54AATJF r 例題例題4 4 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 AFTOAFOymgFOxmgaC以以D點(diǎn)為基點(diǎn)點(diǎn)為基點(diǎn)nCDCDDCaaaa？例題例題5 5 均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為l，放置于鉛垂，放置于鉛垂平面內(nèi)，桿一端平面內(nèi)，桿一端A靠在光滑的鉛垂靠在光滑的鉛垂墻上，另一端墻上，另一端B放在光滑的水平面放在光滑的水平面上，與水平面的夾角為上，與

25、水平面的夾角為 0。然后，。然后，令桿由靜止?fàn)顟B(tài)滑下。令桿由靜止?fàn)顟B(tài)滑下。求：求：1 1、當(dāng)當(dāng) 為任意值時(shí)，桿質(zhì)心為任意值時(shí)，桿質(zhì)心C的加速度和桿的加速度和桿AB兩端兩端A、B處的約處的約束力。束力。(法法1)2 2、剛開始滑動(dòng)的瞬時(shí)桿兩端所受剛開始滑動(dòng)的瞬時(shí)桿兩端所受的約束力。的約束力。 (法法2、3) 例題例題5 5 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 解（法解（法1）：）：對(duì)象：桿對(duì)象：桿AB受力：如圖所示受力：如圖所示運(yùn)動(dòng)：在鉛直平面內(nèi)作平面運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：在鉛直平面內(nèi)作平面運(yùn)動(dòng)方程：方程：1、 為任意值時(shí)，桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程為為任意值時(shí)，桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程為 1NAcFxm 2m

26、gFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBc 例題例題5 5 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 建立直角坐標(biāo)系如圖，由幾何條件得質(zhì)心的坐標(biāo)為建立直角坐標(biāo)系如圖，由幾何條件得質(zhì)心的坐標(biāo)為xyO 4sin2cos2lylxcc并注意并注意 （即角速度方向與夾角增大的方向相反）。（即角速度方向與夾角增大的方向相反）。 式（式（4）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 5)sincos(2)cossin(222lylxcc 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2121mlJc將（將（5）式代入（）式代入（1）（）（2）（）（3）聯(lián)立求解，得桿）聯(lián)立求解，得桿AB的角加速度為的角加速度為 例題例題5 5 剛體

27、平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 4sin2cos2lylxccxyO 1NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBc 62cos3lg對(duì)角速度作如下的變換為對(duì)角速度作如下的變換為dtddddtd代入式（代入式（6），并積分得桿），并積分得桿AB的角速度為的角速度為 7)sin(sin3olg將式（將式（6）（）（7）代入（）代入（5），得質(zhì)心加速度為），得質(zhì)心加速度為 8)sinsin2sin1 (43cos)sin2sin3(432ococgygx 則桿則桿AB兩端兩端A、B處的約束力為處的約束力為 9)sinsin2(sin4341cos)sin2sin3

28、(432oNBoNAmgmgFmgF 例題例題5 5 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 1NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBcxyO解（法解（法2）：）： 1NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBcaBaCxaCyatBC以以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為點(diǎn)的加速度為在運(yùn)動(dòng)開始時(shí)在運(yùn)動(dòng)開始時(shí), , 0, 故故 , , 將上式投影到將上式投影到y(tǒng) 軸上，得軸上，得an 0BCnCBBCBCaaaacos0BCCyaa 4cos2coslayBCCya 例題例題5 5 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 a

29、AatACaBaCxaCyatBC以以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則點(diǎn)為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為點(diǎn)的加速度為在運(yùn)動(dòng)開始時(shí)在運(yùn)動(dòng)開始時(shí), , 0, 故故 , , 將上式投影到將上式投影到x 軸上，得軸上，得an 0ACnCAACACaaaasin0ACCxaa 4cos2coslayBCCya 5sin2sinlaxACCxa 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1) (5)式，并注意到式，并注意到2121mlJC可得可得lg2cos30 1NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBc 例題例題5 5 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 解（法解（法3）：相對(duì)特殊瞬心的動(dòng)相對(duì)特殊瞬心的動(dòng)量矩定理：

30、一個(gè)剛體平面運(yùn)動(dòng)過(guò)量矩定理：一個(gè)剛體平面運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果剛體的質(zhì)心程中，如果剛體的質(zhì)心C到速度到速度瞬心瞬心C*的距離保持不變時(shí)，則相的距離保持不變時(shí)，則相對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)對(duì)速度瞬心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩，即數(shù)等于外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩，即C*ed()dFCiCiLMt 注意到桿的質(zhì)心到速度瞬心的距離恒等于注意到桿的質(zhì)心到速度瞬心的距離恒等于l/2，故，故可應(yīng)用相對(duì)特殊瞬心的動(dòng)量矩定理。這時(shí)可應(yīng)用相對(duì)特殊瞬心的動(dòng)量矩定理。這時(shí) CCLJ 例題例題5 5 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 ed()dFCiCiLMt 對(duì)上式積分可以得到桿的角速度，進(jìn)而可以比較方

31、便對(duì)上式積分可以得到桿的角速度，進(jìn)而可以比較方便地求出其余未知量。地求出其余未知量。 CCLJ0cos2ClJmg0cos2ClmgJ22211()1223ClJmlmmlC*lg2cos30 例題例題5 5 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理應(yīng)用于剛體？動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理應(yīng)用于剛體？eddOOtMLeRddFptxCFxm yCFym zzMJ eiCCMJF xCFxm yCFym P195：102P196198： 103，108，1010，1014Nanjing University of Technology附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答作業(yè)中存在的問(wèn)題作

32、業(yè)中存在的問(wèn)題1、一定要有必要的受力分析和運(yùn)動(dòng)分析。、一定要有必要的受力分析和運(yùn)動(dòng)分析。2、運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。、運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。3、會(huì)使用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和平面運(yùn)動(dòng)微分方程。、會(huì)使用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和平面運(yùn)動(dòng)微分方程。102 圖示系統(tǒng)中，已知鼓輪以圖示系統(tǒng)中，已知鼓輪以的角速度繞的角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其大、小半徑分別軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其大、小半徑分別為為R、r，對(duì)，對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO；物塊；物塊A、B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為mA和和mB；試求系；試求系統(tǒng)對(duì)統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。 10102 2附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答rvmRvmJLBBAAOO解：解：對(duì)象：系統(tǒng)對(duì)象：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)

33、：如圖運(yùn)動(dòng)：如圖方程：方程：vBvA)(22rmRmJBAO 10103 3附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答103 圖示勻質(zhì)細(xì)桿圖示勻質(zhì)細(xì)桿OA和和EC的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為50kg和和100kg，并在點(diǎn)，并在點(diǎn)A焊成一體。焊成一體。若此結(jié)構(gòu)在圖示位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，計(jì)算剛釋放時(shí)，鉸鏈若此結(jié)構(gòu)在圖示位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，計(jì)算剛釋放時(shí)，鉸鏈O處的約束力處的約束力和桿EC在A處的彎矩。不計(jì)鉸鏈摩擦。不計(jì)鉸鏈摩擦。解：令解：令m = mOA = 50 kg，則，則mEC = 2m,l = 1 m.lmmllmODd65322剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初瞬時(shí)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初瞬時(shí)=0lmglmgJO2222223

34、2)2(212131mlmllmmlJO即即 mglml2532#rad/s17. 8652glglaD362565由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：OyDFmgam33#4491211362533NmggmmgFOy#03nOxDFam質(zhì)心質(zhì)心D位置：位置：FOxmg2mganDFOy對(duì)象：桿對(duì)象：桿OA和和EC整體整體受力：如圖受力：如圖運(yùn)動(dòng)：如圖運(yùn)動(dòng)：如圖方程：方程：Da D 10108 8附錄：附錄： 習(xí)題解答習(xí)題解答108 圖示圓柱體圖示圓柱體A的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，在其中部繞以細(xì)繩，繩的一端，在其中部繞以細(xì)繩，繩的一端B固定。圓柱固定。圓柱體沿繩子解開的而降落，其初速為零。求當(dāng)圓柱體的軸降落了高度體沿繩子解開的而降落，其初速為零。求當(dāng)圓柱體的軸降落了高度h時(shí)圓柱體時(shí)圓柱體中心中心A的速度的速度v和繩子的拉力和繩子的拉力FT。 1TFmgmaA 2TrFJA 3raA 4212mrJA#31TmgF gaA32解：對(duì)象：圓柱體解：對(duì)象：圓柱體受力：如圖受力：如圖運(yùn)動(dòng)：如圖運(yùn)動(dòng)：如圖方程：由平面運(yùn)動(dòng)微分方程