1、將探究性學習引入數學課堂教學 一道課本例題的開發(fā)利用 上海市松江二中 黃繼紅上海二期課改高中數學教材由“基礎內容、拓展內容、探究與實踐”三部分組成，教師在處理“探究與實踐”內容時，很多人只是把教材中的探究內容和作業(yè)作為應用題講一下，缺少真正意義上的探究。實質上，“探究性學習”是一種教學理念，是對以“接受性學習”為主的傳統課堂教學理念的一種挑戰(zhàn)方式，它是強調以學生的探究活動為中心的開放式學習，在此過程中應顯現學生的學習主動性、自主性與創(chuàng)造性等。因此，高中數學“探究性學習”不應僅僅局限于教材的“探究與實踐”內容，而應輻射到數學的各個分支，因為對數學的每一個問題都可以探討研究，可以說數學學科的“探究

2、性學習”無處不有。下面是本人就“一道課本例題的開發(fā)利用”開展 “探究性學習”的一個課例。二期課改教材高中數學一年級第一學期課本P81有這樣一道例題：設f(x)=x,g(x)=,p(x)= f(x)+ g(x),求p(x),并利用y= f(x)及y= g(x)的圖象作出y=p(x)的圖象。此題看似平常，實則內涵豐富，有著廣闊的開發(fā)利用前景。經過充分思考，我以此題為基礎進行延伸，挖掘原題的潛在功能，課堂實際證明效果很好。1. 課例1.1 教學目標1. 掌握關于x函數y=ux+ (uv)的圖象與性質，并會利用其解決形如關于x函數y=()的有關性質。 2. 創(chuàng)設問題情景，通過啟發(fā)、誘導，與學生一起經歷

3、函數y= ux+ (uv)的圖象與性質及其應用的探究過程，體驗特殊一般特殊、具體抽象具體的科學探究方法，增強學生對轉化、數形結合和分類討論等思想方法的理解，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、猜想、類比、抽象、概括等邏輯思維能力。3. 在學習過程中，通過學生自主探究和合作學習相結合的方式，培養(yǎng)學生主動探究和合作的精神，促進班級“學習共同體”的形成。1.2 教學重點、難點重點： 函數y= ux+ (uv)的性質的發(fā)現、證明和應用。難點：形如函數y=()的最值問題的轉化 。1.3 教學模式：自主探究合作1.4 學生現狀 松江二中高一實驗班的學生，已經學習二期課改教材高中數學一年級第一學期課本的前三章內容，掌

4、握了正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數的圖象與性質，并學會了形如函數y=(c,ad)的圖象與性質的研究方法，能應用其性質解決有關問題。為了研究方便，我和學生對假分式函數和真分式函數作了如下的定義：對于一個分式函數，若分子的次數大于或等于分母的次數，則這個分式函數稱為假分式函數；反之，稱為真分式函數。顯然，假分式函數可以變形為一個整式函數與一個真分式函數的和。1.5 教學過程 (課堂實錄)1. 復習回顧，提出課題教師：前面我們研究了分式函數y=(c,ad)的圖象與性質，請各位回憶以下其研究的途徑和方法。學生1：分式函數y=(c,ad)可以變形為y=m+(n)的形式，利用函數圖象的平移規(guī)律

5、可知，原函數y=圖象可由基本函數y=圖象向左（右）、上（下）平移而得，然后類比y=的性質來研究y=的性質。教師：也就是說分式函數y=通過變形可轉化為反比例函數y=研究，“轉化”是數學中重要的數學思想方法，可以達到“化生為熟”的目的。同學們，你們是否考慮過若分式函數y=的分子或分母的次數升為二次，那么形如函數y=()的性質如何研究？今天我們就來研究這個問題。我們把剛才的抽象、一般問題具體化、特殊化，請看課本P81例2，可以發(fā)現函數p(x)=（）是y=()的一個特例。由此，你們能確定這個問題的探究方案嗎？2. 自由辯論，確定方案學生2：我認為先研究a的情形，利用假分式函數可以變形為一個整式函數與一

6、個真分式函數的和的特點，可把y=變形為y=u(x-k)+h的和，然后利用函數圖象的平移規(guī)律，把原問題的研究轉化為函數y= ux+性質的研究。教師：很好，a的情形確實可以達到這樣的轉化目的。其他情形怎么處理呢？學生3：我認為當p時，可先研究（）的性質，再利用的互倒關系，進一步研究原函數的性質。學生4：當a時，利用假分式函數可以變形為一個整式函數與一個真分式函數的和的特點，可先把原函數變形為一個常數與一個真分式函數的和，再仿造學生3的辦法繼續(xù)研究。教師：非常好！我們一起來回顧一下剛才三位同學提出的研究方案。（大屏幕顯示研究方案）（1） 當a時，（q=0或v=0的情形比較簡單，由學生自行研究）y=

7、變形y=u(x-k)+h平移y= ux+ (uv)；（2） 當p時，利用的互倒關系，轉化為（1）；（3） 當a時，利用變形可轉化為（2），進而轉化為（1）。教師：可見，我們只需探究y=ux+ (uv)性質，就能進一步研究y=()的性質。那么如何研究y=ux+ (uv)性質呢？這是本課研究的重點。 事實上，y=ux+ (uv)是由一個正比例函數y=ux與一個反比例函數y=的和構成的函數，我們知道，正比例函數y=ux性質的研究必須分u >0和u>0討論，反比例函數y=性質的研究必須分v >0和v<0討論。那么，y=ux+ (uv)性質的研究須分幾種情況研究呢？學生5：四種情

8、況討論，即（1）u >0， v >0；（2）u >0 ，v<0 ；（3）u<0， v >0；（4）u<0， v<0.學生6：我認為不需要分四種討論，因為利用圖象的對稱關系，可以將情形（3）與（4）的研究分別轉化為（2）與（1）的情況。教師：很好，同學們能靈活應用分類討論和轉化思想將y=ux+ (uv)性質的研究歸為兩種情況研究。那么，如何開展（1）與（2）的研究呢？學生7：仿照課本P81例題，用圖象的疊加法先作出y=ux+圖象，再探究其性質。教師：當然可以，如果從解析式本身入手，不便研究其性質時，我們經常采用先描點作出草圖，然后發(fā)現并證明其性質。

9、同學們，你們若從函數式入手，能得到哪些性質呢？學生8：不妨先看兩個具體的函數y=x+和y= x-，由奇偶函數的定義，很容易證得這兩個函數是奇函數，則它們的圖象關于原點對稱；由基本不等式可得y=x+（x）的值域是；因為y=x(x)是增函數、y=-在x>0和x<0時分別都是增函數，所以y=x-在x>0和x<0時也都是增函數，而且其值域是R。教師：學生8通過一般問題特殊化，讓我們清晰地看到，從函數式本身入手能直接研究一些性質，當然，如果數與形相結合，那么我們對y=ux+的圖象與性質研究更深入。下面就請各位利用數形結合先研究y=x+和y=x-的圖象與性質，然后進一步研究y=ux

10、+的一般情況。按照課前分好的小組在組內研究，重點是研究（1）u >0， v >0；（2）u >0 ，v<0情況，有時間的小組可以研究所有情況。3. 小組學習，突破重點將全班劃分為十個小組，在各小組內進行。教師引導，學生自主探究，合作學習，交流研究方法和研究成果。各組組內展開討論，提出方法并自主探索性質，教師在學生探索的過程中進行巡視，了解學生的進展情況。發(fā)現有的組在探索的過程中遇到了困難，老師根據實際情況進行了引導，并參與了某些組的討論。在整個過程中，同學們都能積極思考問題，參與的熱情很高，提出了很多解決的思路。4 .班級討論，展示成果要求各小組簡述解決方案以及解決的思

11、維過程并展示研究結果。教師：我們的探究到此先暫告一個段落。下面請各組的同學來展示一下你們的研究成果。要求用實物投影打出你們的推導過程，簡述你們的解決方法、思維過程，語言要盡量簡練。第一小組：（由學生9代表第一小組發(fā)言）學生9：我們的方法主要是通過先由圖象疊加作出y=ux+ 的圖象，接著由圖象猜想函數性質，然后證明猜想正確。下面是我們組得到的探究成果。當u >0， v >0時，y=ux+ 的圖象位于一、三象限的兩支曲線組成，與直線y=ux和y軸無限接近不能相交； 函數y=ux+在上單調減，在（）上單調增，在（）上單調增，在（）上單調減。（單調性的證明過程投影略）教師：學生9借助“形”

12、助“數”的思想，采用猜想與證明的途徑研究了情形（1）的函數的單調性，不錯嘛！學生9：不過，我組研究的進程較慢，還沒研究其它任務呢。教師：希望你們進一步完成你們的研究。其他小組的進展如何呢？第二小組：（由學生10代表第二小組發(fā)言）學生10：我們的方法是先判斷函數y=ux+是奇函數，接著研究x>0時的圖象與性質，然后根據奇函數的圖象性質直接判斷x<0時的性質。所以，除了得到第一組的性質外，我們發(fā)現和證明了：當u >0， v >0時，y=ux+ 的圖象的兩支曲線關于原點中心對稱，第一象限有一最低點（），第三象限有一最高點（-）。當u >0 ，v<0時，y=ux+

13、是奇函數，它的圖象的兩支曲線關于原點中心對稱，仍與直線y=ux和y軸無限接近不能相交，但是與（1）比較位置改變了，因為y=ux與y= 都是增函數，所以y=ux+在分別是增函數，其值域是R。（投影略）（同學和教師鼓掌）教師：學生10先借助“數”助“形”，由奇函數的判斷，使得研究的工作量減少了一半。然后又借助“形”助“數”的思想，嚴密論證了觀察猜想的結論。提高了研究的效率。第三小組：（由學生11代表第三小組發(fā)言）學生11：除了第二小組的研究成果外，我們還發(fā)現情形（1）和（2）的兩個函數圖象有一定關系。它們都與直線y=ux和y軸無限接近不能相交，而且正好分布于這兩條直線的四個夾角內。（投影略）（沒等

14、學生11說完，第四小組的學生12迫不及待地站起來）教師：學生12你就代表第四小組發(fā)言吧。學生12：其實學生11說的有點錯誤，（其他同學竊笑）只有當情形（1）和（2）的u相同，v互為相反數時才成立這種位置關系。（其他同學恍然大悟，掌聲又一次響起來了）教師：學生11和學生12不僅探究了情形（1）和（2），還對兩種不同情形作了橫向探究，使清晰地看到了問題間的內在聯系，但得注意條件，正如學生12所說。其他小組還有啥新成果呢？第五小組：（由學生13代表第五小組發(fā)言）學生13：聽了剛才大家的發(fā)言，我試著畫了y=x+,y=x-,y=-x+,y=-x-的四個函數圖象，發(fā)現y=x+與y=x-的圖象有共同的漸進線

15、，y=-x+與y=-x-也有共同的漸進線。這是巧合嗎？教師：在一定程度上，提出問題比解決問題更難！待我們學完高二的雙曲線后，我們會明白其中的道理，其實，他們是一對共軛雙曲線，也就是說y=ux+（）的圖象本質上是雙曲線。還有問題嗎？第六小組：（由學生14代表第五小組發(fā)言）學生14：老師，研究了半天，我們似乎還沒解決完本課的話題。教師：學生14提醒我們看一下黑板上今天研究的課題題目（函數y=()的性質），我再一次再大屏幕上顯示上課初研究方案：（4） 當a時，（q=0或v=0的情形比較簡單，由學生自行研究）y= 變形y=u(x-k)+h平移y= ux+ (uv)；（5） 當p時，利用的互倒關系，轉化

16、為（1）；（6） 當a時，利用變形可轉化為（2），進而轉化為（1）。學生14：其實我們已經研究好了。5.課堂小結，呈現表格教師：我們這節(jié)課主要研究y=ux+ (uv)的圖象與性質，并利用恒等變形及圖象變換規(guī)律將形如函數y=()的性質研究轉化為y=ux+解決。剛才大屏幕顯示的是轉化結構圖。下面請大家重點小結y=ux+ (uv)的圖象與性質，要求以表格。學生15：設計如下表格由學生15用投影展示自己的表格，在大家的合作下，經過幾次修改，形成如下表格。教師：請大家填寫表格。解析式y=ux+ (uv)圖象（雙曲線）u >0， v >0u >0 ，v<0u <0 ，v>

17、;0u <0 ，v<0定義域值域對稱中心漸進線單調性教師：在我們探究本課題的過程中都用到了哪些的數學思想方法？學生16：函數y=變形為y=ux+研究。教師：實際上應用了轉化的思想。y=ux+四種情況的研究也化歸為兩種討論。學生17：在上述轉化之前，我們對各種情形進行了分類討論。教師：不錯，當遇到的問題比較復雜，不能一次性研究，可以選擇某一標準進行分類研究，這是一種很重要的數學思想。學生18：在探究y=ux+的性質時，我們使用圖象的直觀作用。教師：實際上就是數形結合的思想。有沒有注意到解決問題的其他方法呢？學生（很多學生回答）：要注意抽象問題具體化和一般與特殊的思考。教師：同學們的體

18、會很深刻，這對于我們今后的學習是有幫助的。課后請進一步落實今天的知識，圍繞課題自編題目，加強應用。下課。2.對教學案例的反思2.1關于教學內容的思考分式函數y=(c,ad)和y=()是兩個常見函數，曾經在全國高考試卷中多次考查過這兩個函數模型的性質，但幾乎沒有哪一版本教材或輔導書對它作過專門研究，而每一屆的高三學生在解決有關這兩類函數性質的問題時，大多感到無頭無緒。作為高一學生，若不給予科學研究方法的指導學習這兩類函數，則情況更是不堪設想。上海二期課改高中數學教材高一年級第一冊課本P81例題2：設f(x)=x,g(x)=,p(x)= f(x)+ g(x),求p(x),并利用y= f(x)及y=

19、 g(x)的圖象作出y=p(x)的圖象，給了我很大的啟發(fā)。經過充分思考，結合我的教學對象市重點中學實驗班高一學生，決定：在我的課時計劃中增加兩節(jié)“探究性學習”內容，也就是這兩類分式函數性質的探究。通過實踐，效果確實很好。本課例是第二課時。知識經濟時代，人們把知識分成是什么、為什么、怎么樣、誰知道四類。其中是什么、為什么的知識通常稱為"編碼的知識"。隨著計算機技術的不斷完善，這類知識中的絕大多數會編成碼，輸入計算機。怎么樣、誰知道的知識，無從編碼，通常稱為"難于表述的知識"。未來的學校教育將主要不是講授編碼知識，而是教給學生難于表述的知識，也就是教給學生如

20、何學習。為此，我確定本課例的設計目的：本課教學不僅僅是課本知識的一個補充，更應是學生如何探究函數性質的一次體驗，所以將科學研究方法論和數學思想方法的學習作為作為本課教學的重要內容。2.2關于教學方法的思考美國著名數學教育家波利亞指出：“思想是從學生頭腦中產生出來的，教師僅僅起著一個助產婆的作用”。教師的角色，應從知識的傳播者轉為學生主動學習、主動探索的指導者和促進者。著名數學特級教師馬明在一次研究課后的點評中指出：“教學過程是一個數學的文化過程，是育人的過程，是學生自主學習、自主探索、合作交流、實踐創(chuàng)新的過程，學生是學習的主人，他們在這個過程中享受到一次參與后成功的喜悅，情感領域得到豐富的發(fā)展。而教師適時介入，成為學生學習的組織者、引導者和合作者。我們反對告訴教育、復制教育。”為此，在認真鉆研教材、課標的同時，我們應更新教學理念，改革課堂教學模式，真正確立以學生為主體的課堂教學觀，提高課堂教學質量。本課以“自主探究合作”為模式就是作為改革傳統課堂教學的一次實踐。2.3值得總結的幾個特點1. 主題與主線突出本課以學生自主探究作為主題。探究內容不僅是函數y= ux+ (uv)的